2023-2024学年广东省鹤山市第一中学高一上学期第二阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省鹤山市第一中学高一上学期第二阶段考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】图中阴影部分表示为，因为，所以，故选.
2．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据由能不能推出及由能不能推出即可得答案.
【详解】解：由，可得或；
由可得且，
所以由不能推出，但由能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】结合中间值比较大小即可.
【详解】
∴
故选：A
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用转化法，结合数形结合思想进行判断即可.
【详解】
函数和函数在同一直角坐标系内图象如下图所示：
一方面，
另一方面根据数形结合思想可以判断两个函数图象的交点只有一个，
故选：B
5．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性判断所给函数的奇偶性，再通过函数值的正负即可判断.
【详解】函数，则，
即函数为奇函数，则A、B错误，当时，.故D正确
故选：D
6．给定函数对于用表示中的较小者，记为，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先把写成分段函数的形式，再求最大值即可.
【详解】解：令，即,解得,
所以，
当时，，
当或时，,
所以函数的最大值为3，
故选：．
7．若，且，则k的值为（ ）
A．B．C．15D．225
【答案】B
【分析】把指数式改写对数式，利用对数换底公式、对数运算法则可得结论、
【详解】由得，，
所以，，（负值舍去）．
故选：B．
8．已知函数有三个零点，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用常变量分离法，结合数形给思想进行判断即可.
【详解】令，显然有且且，
于是有，
设，它的图象如下图所示：
因此要想函数有三个零点，只需，
故选：A
【点睛】方法点睛：解决函数零点个数问题一般的方法就是让函数值为零，然后进行常变量分离，利用数形结合思想进行求解.
二、多选题
9．下列命题中，真命题的是（ ）
A．，是的充分不必要条件
B．的充要条件是
C．命题“，使得”的否定是“，都有”
D．命题“，”的否定是“，”
【答案】ACD
【分析】根据充分条件、必要条件判断选项A,B；根据含有一个量词的否定判断选项C,D.
【详解】对于选项.，，则，反之不一定成立，所以正确；
对于选项B.当，时，不能得，由得，所以B错误；
对于选项C.命题“，使得”的否定是“都有”，所以C正确；
对于选项D.命题“，”的否定是“，”，所以D正确.
故选：ACD
10．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.
【详解】，是偶函数，且在上单调递增
是奇函数，在上单调递减
故选：AC
11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）
A．的最大值为
B．
C．若，则
D．的解集为
【答案】BD
【分析】根据分段函数的性质直接判断.
【详解】函数，在上单调递增，在上单调递减，故函数在时取最大值为，A选项错误；
，B选项正确；
当时，，解得，当时，，解得，C选项错误；
当时，，解得，当时，，解得，D选项正确；
故选：BD.
12．下列说法正确的是（ ）
A．函数（且）的图像恒过定点
B．若不等式的解集为或，则
C．函数的最小值为6
D．函数的单调增区间为
【答案】BD
【分析】选项A，根据指数函数的性质即可判断；
选项B，根据一元二次不等式的性质即可判断；
选项C，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断；
选项D，根据复合函数的单调性即可判断.
【详解】选项A，函数（且）的图像恒过定点为，与不符，故A错；
选项B，不等式的解集为或，故必有，
解得，进而得到，故B正确；
选项C，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C错误；
选项D，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区间为，又因为，故，解得，得，综上，函数的单调增区间为，故D正确
故选：BD
三、填空题
13．已知集合，，若，则 .
【答案】0
【分析】由可知，再由可得答案
【详解】若时，由可知，必有.
故答案为：0
14．已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.
【详解】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，
且，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
当时，，，，符合题意，
当时，，，，不符合题意，
综上的解集为
故答案为：
15．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速(单位：)可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼的耗氧量是个单位时，它的游速是 .
【答案】
【分析】代入，利用对数的运算求解出此时的值.
【详解】当时，.
故答案为：.
16．若函数满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】若对任意的实数都有成立，则函数在上单调递增，进而可得答案．
【详解】对任意的实数都有成立，
函数在上单调递增，
，
解得：，，
故答案为：．
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）1；（2）65.
【分析】根据指数运算法则，对（1）（2）进行计算即可.
【详解】（1）
．
（2）因为，所以，
所以，
所以．
18．已知函数.
(1)判断函数的单调性，并证明你的结论；
(2)若函数在区间（，1）上有零点，求a的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析.
(2).
【分析】（1）根据函数的单调性的定义可得证；
（2）根据函数的单调性和零点存在定理建立不等式，由此可求得a的范围.
【详解】（1）解：在上单调递增，证明如下：
的定义域为任取且，
则，
在上单调递增且，
，即在上单调递增.
（2）解：由（1）知在上单调递增.又函数在区间（，1）上有零点，所以，即，解得.
19．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设不等式的解集为，若是的充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知在时恒成立，利用二次函数的基本性质可求得实数的取值集合；
（2）分析可知，分、两种情况讨论，求出集合，结合可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围.
【详解】（1）解：由，都有不等式成立，
得在时恒成立，所以，
因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以，当时，，，所以，.
（2）解：由可得.
①当时，可得或，
因为是的充分条件，则，则，此时，；
②当时，可得或，
因为是的充分条件，则，则，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
20．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．
(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利；
(2)方案二更合适，理由见解析.
【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；
（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.
【详解】（1）由题意可得，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．
（2）方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，
此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，
平均盈利额为
，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，
此时处理掉设备，总利润为万元．
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．
21．已知函数是幂函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）试判断是否存在实数，使得函数在区间上的最大值为6，若存在，求出b的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【分析】（1）根据函数是幂函数，且，求出实数，即可求出函数的解析式；
（2）化简得，求出对称轴，分，，三种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.
【详解】解：因为函数是幂函数，
所以，解得或，
当时，，则，故不符题意，
当时，，则，符合题意，
所以；
（2）由（1）得 ，
函数图像开口向下，对称轴为：，
当时，函数在区间上递减，
则，解得，符合题意；
当时，函数在区间上递增，
则，解得，符合题意；
当时，，解得，不符题意，
综上所述，存在实数满足题意.
22．已知函数的图象过点，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上有零点，求整数k的值；
（3）设，若对于任意，都有，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）的取值为2或3；（3）.
【解析】（1）根据题意，得到，求得的值，即可求解；
（2）由（1）可得，得到，设，根据题意转化为函数在上有零点，列出不等式组，即可求解；
（3）求得的最大值，得出，得到，设，结合单调性和最值，即可求解.
【详解】（1）函数的图像过点，所以，解得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）可知，，
令，得，
设，则函数在区间上有零点，
等价于函数在上有零点，所以，解得，
因为，所以的取值为2或3.
（3）因为且，所以且，
因为，
所以的最大值可能是或，
因为
所以，
只需，即，
设，在上单调递增，
又，∴，即，所以，
所以m的取值范围是.
【点睛】已知函数的零点个数求解参数的取值范围问题的常用方法：
1、分离参数法：一般命题的情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从中分离出参数，构造新的函数，求得新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，从而确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题的情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.