2023-2024学年广东省江门市第一中学高一上学期第二次段考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省江门市第一中学高一上学期第二次段考数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数解析式直接判断单调性.
【详解】A选项：函数的定义域为，且在上单调递增，A选项错误；
B选项：函数的定义域为，且在上单调递减，B选项正确；
C选项：函数的定义域为，且在上单调递增，C选项错误；
D选项：函数的定义域为，且在上单调递增，D选项错误；
故选：B.
2．不等式成立是不等式成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据指数不等式和一元二次不等式的解法解出对应的不等式，结合必要不充分条件的概念即可得出结果.
【详解】解不等式，得，
解不等式，得，
又，
所以不等式成立是不等式成立的必要不充分条件.
故选：B.
3．世界人口在过去​年翻了一番，则每年人口平均增长率约是（ ）（参考数据​，​）
A．​B．​C．​D．​
【答案】A
【分析】根据增长型模型的指数表示即可求解.
【详解】设40年前人口数为，则现在人口数为，
假设每年的增长率为，
则经过40年增长人口数为​，即，
​， ​，
​， ​.
故选::A.
4．已知，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性，利用中间量法即可得出答案.
【详解】解：，
，
，
因为，
所以.
故选：D.
5．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，根据当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，即方程在区间上有解，进而得到答案．
【详解】解：设，
当连续函数满足（a）（b）时，在区间上有零点，
即方程在区间上有解，
又（2），（3），
故（2）（3），
故方程在区间上有解，
即利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是.
故选：C．
6．若函数分别是上的奇函数、偶函数，且满足，则有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】函数分别是上的奇函数、偶函数,
，
由，得，
，
，
解方程组得，
代入计算比较大小可得.
【解析】函数奇偶性及函数求解析式
7．函数在单调递增，求a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复合函数单调性及对数函数定义域得到不等式组，求出a的取值范围.
【详解】在上为增函数，
故要想在单调递增，
所以在上单调递增，且在恒成立，
故且，
解得：，
故选：D
8．已知函数f(x)＝，若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则的取值范围是（ ）
A．（）B．（1，4）C．（，4）D．（4，6）
【答案】A
【分析】由函数解析式作出图像，令f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），把转化为关于t的函数求解．
【详解】解：画出分段函数f(x)＝的图像如图：
令互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，t∈（0，），
则x1∈，x2∈（0，1），x3∈（1，2），
则＝1+t+1﹣t+22t﹣2＝2+22t﹣2，
又t∈（0，），
∴∈（）．
故选：A．
二、多选题
9．在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分和两种情况讨论两个函数的单调性进行判断.
【详解】当时，在单调递增且其图象恒过点，
在单调递增且其图象恒过点，
则选项B符合要求；
当时，在单调递减且其图象恒过点，
在单调递减且其图象恒过点，
则选项D符合要求；
综上所述，选项B、D符合要求.
故选：BD.
10．关于函数 有下列结论，其中正确的是（ ）
A．其图象关于y轴对称
B．的最小值是
C．当时，是增函数；当时，是减函数
D．的增区间是，
【答案】ABD
【分析】确定函数奇偶性从而判断A，由单调性求得最小值判断B，根据复合函数的单调性，结合偶函数的性质判断CD即可．
【详解】对于A，函数定义域为，又满足，所以函数的图象关于y轴对称，故A正确；
对于B，函数，当时，令，原函数变为，，原函数又是偶函数，所以函数的最小值是，故B正确；
对于C，函数，当时，令，原函数变为，在上是减函数，在上是增函数，所以在上是减函数，在上是增函数，故C错误；
对于D，由C，结合的图象关于y轴对称可得的增区间是，，故D正确.
故选：ABD
11．已知连续函数f(x)对任意实数x恒有f（x＋y）＝f(x)＋f（y），当x＞0时，f(x)＜0，f（1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ）
A．f（0）＝0
B．f(x)是R上的奇函数
C．f(x)在[－3，3]上的最大值是6
D．不等式的解集为
【答案】ABC
【分析】根据函数对任意实数恒有，令，可得，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；
【详解】解：对于A，函数对任意实数恒有，
令，可得，A正确；
对于B，令，可得，所以，
所以是奇函数；B正确；
对于C，令，则，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以，即，
所以在均递减，
因为，所以在上递减；
，可得；
令，
可得
，
；
，
在，上的最大值是6，C正确；
对于D，由不等式的可得，
即，
，
，
则，
，
解得：或；
D不对；
故选：ABC．
【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键．
12．已知函数的零点为，函数的零点为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知，关于点对称，进而可判断A，B，D正确. 由函数在上单调递增，且，，可得零点的范围，可得C不正确.
【详解】由，得，，
函数与互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数，，的图象，如图所示，

则，.
由反函数的性质知，关于点对称，
则，.因为，，且，
所以，故A，B，D正确.
因为在上单调递增，且，，
所以.
因为，所以，故C不正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.
三、填空题
13． .
【答案】2
【分析】根据指数、对数运算公式求解即可.
【详解】原式.
故答案为：2
14．已知幂函数在上单调递减，则的图象过定点 .
【答案】
【分析】根据幂函数的定义结合单调性可得，进而根据过定点求解即可.
【详解】由题意，，即，解得或.
又函数在上单调递减，故，即.
故过定点.
故答案为：
15．甲、乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是 .
【答案】或
【分析】令，再根据韦达定理，结合甲乙所得分别求解，进而求解方程即可.
【详解】令，则方程转化为，即.
由题意，甲写错了常数b，得到的根为或，
由韦达定理.
乙写错了常数c，得到的根为或，由韦达定理.
故原方程为，即，故
解得或.
故答案为：或
16．已知函数是偶函数.若函数的图象与直线没有交点，则b的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据偶函数的定义得到，由此化简求解出的值，再将问题转化为“方程无解”，然后构造函数，分析其单调性和值域，再根据“无解”求解出的取值范围.
【详解】因为为偶函数且定义域为，所以，
所以，所以，
所以，所以且不恒为0，所以.
因为函数的图象与的图象没有交点，
所以方程无解，即方程无解，
即方程无解.
设，因为在上单调递增，所以在上单调递减，
所以在上单调递减，又因为，
所以，所以的值域为，
若无解，则.
故答案为：
【点睛】关键点睛：本题首先通过函数的奇偶性求出，再将题意等价转化为方程无解，再求解函数的值域即可得到答案.
四、解答题
17．已知幂函数在上单调递增，函数.
(1)求m的值；
(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，若，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解.
（2）求解，的值域，得到集合A，B，根据，列出不等关系，即得解.
【详解】（1）依题意得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，
当时，在上单调递增，故.
（2）由（1）得，当时，，即，
当时，，即，
∵
∴，∴，
∴k的取值范围是．
18．已知函数
(1)求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得定义域；利用奇偶性的定义即可判断并证明函数的奇偶性；
（2）利用对数函数的性质直接解不等式即可.
【详解】（1）由，得，所以函数的定义域为，
函数为奇函数，证明如下：
因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，
因为，
所以为奇函数.
（2）由，得，
所以，
因为在上为减函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
19．2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：
若奥密克戎变异株的感染人数y与经过个单位时间T的关系有两个函数模型与可供选择．
（参考数据：，，，）
(1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)求至少经过多少个单位时间该病毒的感染人数不少于1万人．
【答案】(1)，
(2)11个
【分析】（1）利用已知的三对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果.
【详解】（1）若选，将，和，代入得，解得
得，代入有，不合题意．
若选，将，和，代入得，
解得，得．代入有，符合题意．
（2）设至少需要x个单位时间，则，即，
则，又，，
，∵，
∴x的最小值为11，即至少经过11个单位时间不少于1万人．
20．已知函数是定义在上的奇函数，且.
(1)求，的值；
(2)用定义法证明函数在上单调递增；
(3)若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性和特殊点求得.
（2）根据函数单调性的定义证得函数在上单调递增.
（3）根据函数的单调性求得的最大值，然后以为主变量列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由于奇函数在处有定义，所以，，
，.
经检验符合题意；
（2）由（1）知.
任取、且，即，则，，
所以，，
则，所以，函数在上单调递增.
（3）由（2）知，
所以对于任意的恒成立,
即对于任意的恒成立,
所以，解得或,
所以的取值范围为.
【点睛】在利用函数的奇偶性求函数的解析式时，除了奇偶函数的定义：以外，还有一些特殊的方法.如奇函数若在处有定义，可利用来求参数.
21．已知函数，函数．
(1)若，求函数的最小值；
(2)若对，都存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意利用换元结合对勾函数分析求解；
（2）由题意分析可得：在上的值域是在上的值域A的子集，结合二次函数的性质分析求解.
【详解】（1）若，则，
因为，令，则，
又因为在上单调递增，且，
所以函数的最小值．
（2）设在上的值域为A，在上的值域为，由题意可知：，
由（1）可知：，
因为，解得或，
当时，且，则，
可得，
可知：的最大值为，最小值为，
即，可得，解得；
当时，且，则，
可得，
可知：的最大值为，最小值为，
即，可得，解得；
综上所述：的取值范围为.
【点睛】关键点睛：取特值，缩小的取值范围，进而分析求解.
22．已知函数．
(1)若函数的零点在区间上，求正整数k的值；
(2)记，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由零点存在性定理以及函数单调性的定义得出结果；
（2）根据对数运算、对数函数的定义域以及参变分离结合基本不等式求得结果.
【详解】（1）由，
得，
令，定义域为．
任取，
∵，∴，，
∴，在上单调递增．
，，由零点存在定理知．
（2）由已知得恒成立，即，
显然，首先对任意成立，即，
由，得，所以．
其次，，设，，则有，，令，，
，由基本不等式知，，当且仅当时，
有最大值1，∴
综上，实数a的取值范围为．
1
2
3
4
5
6
…
(人数)
…
6
…
36
…
216
…