2023-2024学年广东省珠海市第二中学高一上学期第二阶段考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省珠海市第二中学高一上学期第二阶段考试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求两个集合中函数的值域，得到这两个集合，再进行补集和交集的运算.
【详解】函数在上单调递增，时，，
所以，
函数在R上单调递减，当时，，所以，
则，得.
故选：A
2．是幂函数，且在上是减函数，则实数（ ）
A．2B．C．4D．2或
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质和定义即可求解.
【详解】由于是幂函数，所以，解得或，
由于在上是减函数，所以，故，
因此，
故选：A
3．若函数的定义域为，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据已知可得函数的定义域需满足：,
解得，
即函数定义域为，故选B.
【解析】求函数定义域
4．某服装店开张第一周进店消费的人数每天都在变化，设第天进店消费的人数为y，且y与（表示不大于的最大整数）成正比，第1天有10人进店消费，则第4天进店消费的人数为（ ）
A．74B．76C．78D．80
【答案】C
【分析】利用题中的条件，第1天有10人进店消费，即可得出比例系数，进而可以解出．
【详解】由题意可设比例系数为，所以，
，，
当时，，
故选：C．
5．若函数是定义在上的偶函数，对任意的，有，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由函数是定义在上的偶函数，可得关于对称，即，可得，再由在上单调递减，即可得解.
【详解】由函数是定义在上的偶函数，
可得关于对称，即
可得，
又，有可得：
在上单调递减，
所以，
可得，
故选：C.
6．已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据在上的单调性，可以列出相应的不等式方程组，计算求解即可.
【详解】因为在上是单调的，
当时，，不满足条件；
当时，若在上单调递增，则，解得，
当时，若在上单调递减，则，解得，
所以实数a的取值范围是.
故选：B
7．若函数有两个零点，则整数a的值共有（ ）
A．7个B．8个C．9个D．17个
【答案】A
【分析】先判断出函数在R有两个零点为和，由a的范围求出符合题意的整数a.
【详解】因为方程在R上有且仅有一解，
所以要使函数在R有两个零点,
只需在R上有且仅有一个解,同时该解不能为.
因为在R上值域为(0,+∞），因此要满足即有解,只需a>0.
又因为在R上单调递增,因此当a>0时, 在R上有且仅有一个解.
因为且a>0,所以整数a可以为1,2,3,4,5,6,7,8,9,其中当a=3或a=9时, .
因此满足条件的a为1,2,4,5,6,7,8共7个.
故选：A
8．定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数：
①；②；③；④能被称为“理想函数”的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】首先求得“理想函数”的等价条件，然后对题目所给四个函数逐一分析，从而确定正确选项.
【详解】依题意，定义在上的函数满足：对于定义域上的任意，当时，恒有，
不妨设，可得，即，
即，所以函数在上单调递增.
也即为“理想函数”的等价条件是函数在上单调递增.
①，在上单调递减，不符合；
②，在上单调递增，符合；
③，在上单调递减，不符合；
④，在上单调递增，符合；
综上所述，②④符合题意.
故选：C
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．，B．若，则
C．若，则D．若，，，则
【答案】BD
【分析】对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.
【详解】当时，为负数，所以A不正确；
若，则，考虑函数在R上单调递增，
所以，即，所以B正确；
若，则，，所以C不正确；
若，，，根据基本不等式有
所以D正确.
故选：BD
【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.
10．（多选题）下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．已知，则
【答案】BC
【解析】根据根式运算和指数幂的运算法则求解判断.
【详解】A. ，故错误；
B. ，故正确；
C. ，故正确；
D. 因为，所以，则，故错误；
故选：BC
11．给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．若函数的定义域为，则函数的定义域为
C．函数定义域，值域，则满足条件的有个
D．若函数，且，则实数的值为
【答案】ABC
【分析】利用分离常数法结合不等式的基本性质可判断A选项；利用抽象函数定义域的求解原则可判断B选项；求出满足条件的集合，结合函数的概念可判断C选项；利用配凑法求出函数的解析式，结合求出的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，则，
此时，，
则，则，
所以，函数的值域为，A对；
对于B选项，对于函数，，则，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则，解得，
所以，函数的定义域为，B对；
对于C选项，由，可得，
所以，函数的定义域可以是：或或，
故满足条件的有个，C对；
对于D选项，由，
当时，，当且仅当时，即当时，等号成立，
当时，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以，，其中或，
由可得，合乎题意，D错.
故选：ABC.
12．对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（ ）
A．B．
C．函数的最大值为1D．方程有无数个根
【答案】BD
【分析】由函数的定义进行判断A，由题意画出函数的图像，可对B，C，D进行判断
【详解】解：因为，
所以，
所以，所以A错误；
作出的图像，如图所示，
由图像可知没有最大值，且为周期为1的函数，所以B正确，C错误，
方程有无数个根，所以D正确，
故选：BD

三、填空题
13．已知函数，则 ．
【答案】
【分析】利用函数的解析式由内到外逐层计算可得的值.
【详解】由已知，所以
故答案为：.
14．已知函数f（x）＝x+1，g（x）＝2|x+2|+a若对任意x1∈[3，4]，存在x2∈[﹣3，1]，使f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围是 .
【答案】（﹣∞，3]
【分析】由题意可得，由一次函数、指数函数的单调性求得最值，解不等式可得所求范围．
【详解】若对任意，，存在，，使，
可得，
由在，递增，可得的最小值为（1），
在，上递减，在，递增，可得的最小值为，
所以，
解得．
即的取值范围是，．
故答案为：，．
15．若函数（且）的值域是，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】试题分析：由于函数的值域是，故当时，满足，当时，由，所以，所以，所以实数的取值范围.
【解析】对数函数的性质及函数的值域.
【方法点晴】本题以分段为背景主要考查了对数的图象与性质及函数的值域问题，解答时要牢记对数函数的单调性及对数函数的特殊点的应用是解答的关键，属于基础题，着重考查了分类讨论的思想方法的应用，本题的解答中，当时，由，得，即，即可求解实数的取值范围.
16．设函数关于的方程有四个实根，，，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】作出函数的大致图象，当时，由二次函数的对称性可求得的值，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，
则，
由，
得或，则，
又因为，
所以，
所以，所以，
所以，且，
所以，
当且仅当，
即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
四、问答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据根式以及指数幂的运算法则即可化简求解，
（2）根据对数的运算法则和性质即可求解.
【详解】（1）原式
．
（2）原式
.
18．已知幂函数为奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）求函数的值域．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据幂函数的定义可得，即可解得或5，根据为奇函数，即可确定m的值.
（2）由（1）可得，，令，，利用换元法，即可求得的值域，即可得答案.
【详解】（1）∵函数为幂函数，
，解得或5，
当时，，为奇函数，
当时，，为偶函数，
函数为奇函数，；
（2）由（1）可知，，则，，
令，则，，
则，，
函数为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，函数，
当，函数取得最大值为1，
的值域为，故函数的值域为．
【点睛】解题的关键是熟练掌握幂函数的定义，换元法求值域等知识，易错点为换元后，需写出t的范围，再根据t的范围，进行求值计算，属基础题.
五、证明题
19．已知函数，（且）
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并予以证明；
（3）求使的x取值范围.
【答案】（1）；（2）函数是奇函数，证明见解析；（3）当时，；当时，
【解析】（1）根据对数的真数为正数列式可解得结果；
（2）函数是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；
（3）不等式化为后，分类讨论底数，根据对数函数的单调性可解得结果.
【详解】（1）要使函数数有意义，则必有，解得，
所以函数的定义域是 .
（2）函数是奇函数，证明如下：
∵，，
，
∴函数是奇函数
（3）使，即
当时，有，解得，
当时，有，解得.
综上所述：当时，；当时，.
【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：
1、有分式时：分母不为0；
2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；
3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；
4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；
5、有指数函数形式时：底数和指数都含有，指数底数大于0且不等于1；
6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.
20．已知函数是定义域在上的奇函数．
（1）求的值，并判断的单调性(不必给出证明)；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)在R上是减函数；
(2)
【分析】(1)根据求出b的值，根据函数的奇偶性求出a的值，得出的解析式，并判断单调性即可.
(2)问题等价于，得到，转化为对恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可.
【详解】(1)因为是定义域在R上的奇函数，有，
所以，
所以
所以，
所以
所以，在R上为减函数；
(2)不等式
等价于，
又在R上为减函数，
所以
即对恒成立，
所以，
即实数k的取值范围为
六、问答题
21．为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为米.
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围.
【答案】(1)4米，28800元
(2)
【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，
则
.
当且仅当，即时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得，对任意的恒成立.
即，从而恒成立，
令，
又在为单调增函数，故.所以.
22．对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：① 在[m，n]内是单调函数；② 当定义域是[m，n]时，的值域也是[m，；则称[m，n]是该函数的“美好区间”.
(1)判断函数是否存在“美好区间”，若存在，则求出m，n的值，若不存在，请说明理由；
(2)已知函数有“美好区间”[m，n]，当a变化时，求出的最大值.
【答案】(1)存在，
(2)
【分析】（1）按函数的单调区间分类讨论在区间[m，n]上的值域，根据题目要求列方程解之即可；
（2）由数有“美好区间”[m，n]，可推导出参数a需满足的条件，进而求出以参数a表示的的代数式的最大值.
【详解】（1）函数存在美好区间.
假设存在美好区间[m，n]，由函数f（x）的定义域为，∴ n>m>0
∵∴
由“美好区间”的定义可知：
1）当时，在（0，）上为减函数，
故有，即，此时实数m，n的值不存在
2）当时，在上为增函数.
故有，即由此可得m，n是方程的根.
解得，而，所以此时成立
综上所述，函数存在美好区间，其中
（2）设[m，n]是的美好区间，
则或，.
故函数在[m，n]上单调递增.
由[m，n]是函数的“美好区间”，则，
故m，n是方程，即的同号的相异实数根.
由，可知同号，只须，
即或时，函数有“美好区间”[m，n].
此时
由或得
故当即时，有最大值