2023-2024学年湖南省株洲市第二中学高一上学期阶段性测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省株洲市第二中学高一上学期阶段性测试数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用三角函数值即可求得对应的角的取值，可得出结论.
【详解】根据题意由可得，则，
即充分性成立，
若可得，此时或，显然必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件,
故选：A
2．已知均为的子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意利用集合的包含关系或者画出Venn图，结合Venn图即可确定集合的运算结果.
【详解】解法一：,，据此可得.
故选：B.
解法二：如图所示，设矩形ABCD表示全集R，
矩形区域ABHE表示集合M，则矩形区域CDEH表示集合，
矩形区域CDFG表示集合N，满足，
结合图形可得：.
故选：B.
3．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成形式，再求的单调区间，只需把看作一个整体代入的相应单调区间内即可，注意要先把化为正数．
4．著名数学加华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征.函数的图象大致是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用的奇偶性和在上的符号可选出答案.
【详解】因为的定义域是
所以是奇函数，排除A、B
因为当时，，排除D
故选：C
5．实验室一种药丸，由于密封不严密，随着时间的推移会挥发而体积缩小，若设原来体积为，经过时间t天后体积V与天数t的关系式为.已知新药丸经过40天后体积变为，则其体积为时经过的天数为（ ）
A．80B．160C．200D．240
【答案】B
【分析】根据新药丸经过40天后体积变为，求出，再结合体积为，结合指数幂的运算，即可求得答案.
【详解】由题意可知，即，
故令，则，则，
即，所以（天），
故选：B
6．若，，，则a，b，c为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】判断出，即可判断的范围，与b可判断大小，根据诱导公式化简求得c的值，即可判断a，b，c的大小，即得答案.
【详解】由于，故，
而，故，
又，即，
故选：B
7．设，，则
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果．
详解：.
,即
又
即
故选B.
点睛：本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题．
8．设，若的最小值为，则a的值为（ ）
A．0B．1或4C．1D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式分别求出两段的最小值，再根据为函数最小值，建立方程与不等关系，即可求解.
【详解】当时，，
当且仅当，即时等号成立.
故时，，
由二次函数性质可知对称轴，且，
解得或（舍去），
故选：C
二、多选题
9．给出下列四个命题，其中正确的有（ ）
A．函数的最小值为2
B．若，则
C．若，则
D．命题：，的否定为：，
【答案】BC
【分析】举反例判断A；根据三角函数诱导公式可判断B；根据三角函数齐次式法求值，判断C；根据含有一个量词的命题的否定判断D.
【详解】对于A，取，，故A错误；
对于B，，所以，故B正确；
对于C，，则，故C正确；
对于D，命题：，为全称命题，它的否定为：，，故D错误，
故选：BC.
10．如图，A，B是在单位圆上运动的两个质点.初始时刻，质点A在（1，0）处，质点B在第一象限，且.质点A以的角速度按顺时针方向运动，质点B同时以的角速度按逆时针方向运动，则（ ）
A．经过1后，扇形AOB的面积为
B．经过2后，劣弧的长为
C．经过6后，质点B的坐标为
D．经过后，质点A，B在单位圆上第一次相即
【答案】BD
【分析】根据任意角的概念和题意逐项进行分析即可求解.
【详解】对于，由题意可知：经过1后，，
所以此时扇形AOB的面积为，故选项错误；
对于，经过2后，，
所以此时劣弧的长为，故选项正确；
对于，经过6后，质点转过的角度为，结合题意，此时质点为角的终边与单位圆的交点，所以质点B的坐标为，故选项错误；
对于，经过后，质点转过的角度为，质点转过的角度为，因为，所以经过后，质点，在单位圆上第一次相遇，故选项正确，
故选：.
11．函数部分图象如下图所示，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据函数图象确定A的值，利用可求出，判断A；判断的范围，并结合可求出，即可求得最小正周期，可判断B；将代入解析式求值，判断C；求出，代入解析式求值，判断D.
【详解】由函数图像可知，，
即，而，故，A正确，
又，即，
故，
即，而结合图象知，
故当时，，而当时，，均不符合题意；
则，B错误；
，C正确；
结合图象可知，
故，D错误，
故选：AC
12．关于x的方程，给出下列四个命题，其中真命题的是（ ）
A．存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根
B．不存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
C．存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
D．存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
【答案】ACD
【分析】令，作出函数的图象，将方程的解的问题转化为的图象的交点问题，分别对于k取一定范围内的数值或特殊值，数形结合，即可判断的解的个数，即得答案.
【详解】令，
作出函数的图象，如图：
对于A，当时，，此时的图象有2个交点，
不妨设交点横坐标为，且，结合图象可知，
当时，无实数解，
当时，有2个不等实数解，
即存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根，A正确；
对于B，当时，，此时的图象有2个交点，
不妨设交点横坐标为，且，结合图象可知，
当时，有2个不等实数解，
当时，有2个不等实数解，
即此时方程有4个不同的实根，B不正确；
对于C，当时，的图象有3个交点，
交点横坐标t的值依次为，
令，则；令，则；令，则；
即此时方程有5个不同的实根，C正确；
对于D，当时，，的图象有4个交点，
不妨设交点横坐标从左到右为，
分别令，，，，每个方程都有2个不等实根，
故此时方程有8个不同的实根，D正确；
故选：ACD
三、填空题
13．计算 .
【答案】
【分析】利用分数指数幂和对数运算法则计算即可.
【详解】
.
故答案为：
14．函数在区间上的零点的个数为 .
【答案】3
【分析】令，结合余弦函数的性质求得方程的解，即得答案.
【详解】令，可得或，
由于，故由得或，
故函数在区间上的零点的个数为3，
故答案为：3
15．若、是关于的方程的两个根，则 .
【答案】/
【分析】先根据韦达定理得到，进而求得，，再结合诱导公式化简求值即可.
【详解】由题意得，，则或，
又，即，解得或（舍去），
则，
所以
.
故答案为：.
16．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“YL函数”.已知函数在定义上为“YL函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，则实数s的最大值为 .
【答案】/0.75
【分析】根据“YL函数”的定义，结合二次函数性质判断出，继而判断的单调性，即可得，求出a，根据不等式恒成立，结合判别式得，求出函数的值域，结合存在实数，使得不等式成立，即可求得s的最大值.
【详解】由于函数图象的对称轴为，且，
故当在定义上为“YL函数”时，必有，
此时在上单调递增，且，
由于，根据“YL函数”定义可知函数对定义域内的每一个值，
在其定义域内都存在唯一的，使成立，
可知，则必为上函数的最大值，即，
即，所以，即得，
由于对任意的，不等式都成立，
即恒成立，
故，即得，
令，该函数上单调递增，
故，
由于存在实数，使得成立，
故，即实数s的最大值为，
故答案为：
四、解答题
17．已知幂函数的图象过点
（1）求出函数的解析式
（2）判断在上的单调性并用定义法证明．
【答案】（1）；（2）单调递增，证明见解析.
【解析】（1）设，代入点即可求出；
（2）任取，计算化简并判断正负，即可判断.
【详解】（1）设，过点，
，解得，
；
（2）单调递增，证明如下：
任取，
，
，，
，
在上单调递增.
【点睛】思路点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
（1）在定义域内任取；
（2）计算并化简整理；
（3）判断的正负；
（4）得出结论，若，则单调递增；若，则单调递减.
18．已知．
(1)化简；
(2)若为第三象限角，且，求的值．
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用诱导公式代入计算即可得；
（2）根据角的范围将代入计算即可得.
【详解】（1）
即
（2）由，可得．
因为为第三象限角，
因此，
故.
19．已知函数，．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时x的值．
【答案】(1)最小正周期为，单调递减区间是，.
(2)，此时；，此时.
【分析】（1）由余弦函数的周期公式即可求得答案，再利用整体法即可得到单调减区间；
（2），利用余弦函数的单调性即可求得其最小值和最大值及取得最值时的值.
【详解】（1）的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
（2）∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
20．已知函数在时有最大值为1，最小值为0.
(1)求实数a与实数m的值；
(2)设，若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）判断函数在给定区间上的单调性，结合最值列式计算，即得答案；
（2）由（1）可得的表达式，从而将原不等式恒成立转化为在上恒成立，结合换元，继而转化为在上恒成立，分离参数，结合二次函数性质，即可求得答案.
【详解】（1）由题意得函数，
故在上单调递增，所以，
，
故，（不合题意，舍），
即；
（2）由（1）知，故，
则不等式在上恒成立，
即为在上恒成立，
设，则，故在上恒成立，
即得，，
当时，取到最大值，
故，即.
21．医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.
（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？
（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物?
（参考数据：，）
【答案】（1）小时；（2）见解析
【分析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.
【详解】（1）当时，，函数图像过点，
所以，得
所以当时，
当时，，函数图像过点
所以，所以
由，得，所以
则药物有疗效时间为小时.
（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为
当时，
因为函数在内单调递增，
所以当时，
当时，
因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.
【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.
22．已知函数，.
(1)若函数，，求的最值；
(2)设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且.
【答案】(1)，，
(2)证明见解析
【分析】（1）确定的值域，换元令，将化为，结合函数单调性，即可求得答案；
（2）分和讨论，时，结合函数单调性以及零点存在定理证明即可；时，说明函数值恒为正，即无零点，综合可得结论；利用零点得出，即可化简为，结合函数单调性即可证明不等式.
【详解】（1）由题意知，故，
令，在在上单调递增，故，
则，该函数在上单调递增，
故，，
（2）函数，在区间上连续不断，
当时，与在上都单调递增，
故在区间上单调递增，而，
，即，
故存在唯一的，使得，即函数在上有且只有一个零点；
当时，在上单调递增，则，
而，故，故此时在上无零点，
综上可知函数有且只有一个零点；
因为，即，
所以，，
因为在上单调递减，故，即
故.