2023-2024学年上海市朱家角中学高一上学期第二阶段质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年上海市朱家角中学高一上学期第二阶段质量检测数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题
1．已知对数函数过点，则其解析式为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法，设出函数解析式，把点代入求解即可.
【详解】设对数函数解析式为（，且），
因为对数函数过点，
所以，解得，
所以对数函数解析式为.
故答案为：
2．设函数是偶函数．且时，．则 ．
【答案】9
【分析】根据函数的奇偶性代入求值即可.
【详解】因为函数是偶函数，
所以.
故答案为：.
3．十八世纪，瑞士数学家欧拉指出：指数源于对数，并发现了对数与指数的关系，即当，时，．已知，．则＝ ．
【答案】2
【分析】利用指数与对数的关系、对数的运算性质、换底公式运算即可得解.
【详解】解：由题意，，时，，
∴，，
∴
.
故答案为：2.
4．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可.
【详解】等价于，
因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：
5．若幂函数在上单调递增，则实数 .
【答案】6
【分析】根据幂函数定义及性质求解即可.
【详解】由函数为幂函数可知，，
解得或，
因为幂函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故答案为：6
6．若函数在区间上单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】讨论中的取值范围．当函数为一次函数时，直接根据斜率判断．当函数为二次函数时，算出对称轴，根据在区间上单调递减判断与区间端点的位置关系即可．
【详解】当时，，满足在区间上单调递减；当时，开口向下，且对称轴在区间左边，所以成立；当时，开口向上，则对称轴要在区间右边，所以，所以，综上所述，故填．
【点睛】形如二次函数的最高项系数带参数时，注意讨论系数的取值范围，系数为0则变化成一次函数．二次函数有关的单调性主要讨论对称轴和区间的位置关系．
7．已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝－|x＋3|＋m.若函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，则m的取值范围为 ．
【答案】(－∞，5)
【解析】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，可转化为不等式|x－2|＋|x＋3|>m恒成立，利用不等式的性质求出|x－2|＋|x＋3|的最小值，就可以求出的范围.
【详解】函数f(x)的图像恒在函数g(x)图像的上方，
即为|x－2|>－|x＋3|＋m对任意实数x恒成立，
即|x－2|＋|x＋3|>m恒成立．
因为对任意实数x恒有|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5，
所以m<5，即m的取值范围是，
故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关利用两个函数图象的关系，得出函数值的大小关系，之后将恒成立问题向最值靠拢，利用绝对值不等式的性质求得结果，属于简单题目.
8．已知函数为奇函数，且，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由奇函数的性质求得，然后可得．
【详解】因为函数为奇函数，所以[，可得
，
故答案为：0．.
9．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，其中．用直线l：（）截这个正方形，将正方形分为两个部分，其中包含了顶点D部分的面积记为S，将S表示为t的函数，则其解析式为 ．
【答案】
【分析】讨论当直线在的左侧时，利用三角形的面积公式可求解；当直线在的右侧时，利用间接法即可求解.
【详解】由题意可知为等腰直角三角形，,
当直线在的左侧时，即直线与正方形的交点在上时，
即当 时，直线的左侧为等腰直角为三角形，
此时，
当直线与正方形的交点在上时，
即，直线的左侧为五边形，
则，
所以S表示为t的函数解析式为，
故答案为：.
10．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使为常数），则称函数在上均值为.下列五个函数：①；②；③；④；⑤.则满足在其定义域上均值为2的所有函数的序号是 .
【答案】①
【解析】根据定义分别验证对于任意的，存在唯一的，使成立的函数即可.
【详解】;首先分析题目求对于任意的，存在唯一的，使成立的函数.
①，得，解得，满足唯一性，故成立.
②，由得，此时，当时，有两个值，不满足唯一性，故不满足条件.
③，由得，此时，当时，有两个值，不满足唯一性，故不满足条件.
④，由得，此时，当时，无意义，即不存在对应的值，不满足存在性，故不满足条件.
⑤，由得，解得，当，时，不存在对应的值，不满足存在性，故不满足条件.
故答案为：①
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是理解函数在上均值为这个函数新定义，判断的过程中要注意存在唯一一个.
11．已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】由于，借助基本不等式即可求出最小值.
【详解】因为，所以
所以
，
当且仅当，即时等号成立.
故答案为：
12．已知函数，下列命题中：
①都不是R上的单调函数；
②，使得是R上偶函数；
③若的最小值是，则；
④，使得有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.
【详解】对于①，当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
即，且，，
即在处的函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
则存在区间，使在上递增，
存在区间，使在上递减，
故都不是R上的单调函数，①正确；
对于②，当时，，定义域为R，
此时，即为偶函数，②正确；
对于③，由①的分析可知的最小值在或时取到，
，，，
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，由于，恒成立，
不合题意，舍去；
故的最小值是，则或，③错误；
对于④，当时，，
当，即时，当时，令，解得；
当时，令，解得；
即此时有三个零点，④正确，
故答案为：①②④
【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.
二、单选题
13．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.
【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；
而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；
故选：C
14．已知命题p：函数与x轴有两个交点；命题q：对于任意的恒成立．若p为真命题，而命题q为假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先求出命题或和，再利用p为真命题和为假命题即可求出结果.
【详解】因为与x轴有两个交点，所以，得到或，故或，
又恒成立，所以，整理得到，得到，
而命题q为假命题，故或，
故或，得到或.
故选：C
15．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，结合不等式性质逐项分析判断.
【详解】因为，所以，
对于选项A：因为，所以，故A正确；
对于选项B：因为，所以，故B正确；
对于选项C：取，，则，，即，故C错误；
对于选项D：因为，，所以，故D正确.
故选：C.
16．函数满足，当时都有，且对任意的，不等式恒成立．则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】分析得到函数为偶函数，在单调递增，则对任意的，不等式恒成立，转化为，恒成立，再转化为，得，恒成立，再分两种情况，得到的范围.
【详解】由题得函数为偶函数，在单调递增，
则对任意的，不等式恒成立，
则不等式，恒成立，
则，恒成立，
得，得，恒成立，
则且，或且，恒成立，
即当时，且，或且，
又当，有，，
得.
故选：C.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性，单调性解不等式，考查了学生分析能力，逻辑思维能力，转化思想，综合能力强，难度大.
三、解答题
17．设集合,.
(1)若，判断集合A与B的关系；
(2)若，求实数的取值集合.
【答案】(1)是的真子集
(2)
【分析】（1）解方程得到，得到是的真子集；
（2）分，和三种情况，求出答案.
【详解】（1），
时，，
故是真的子集
（2），故，
当时，，满足要求，
当时，若时，，解得，
若时，，解得，
故实数的取值集合为.
18．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，解不等式．
【答案】
【分析】根据函数为奇函数，求出时的解析式，且，分三种情况，解不等式，得到解集.
【详解】当时，，故，
又是定义在R上的奇函数，故，且，
故，所以，
当时，令，，解得，
当时，令，，
故，解得，
显然当时，满足，
综上，不等式的解集为.
19．已知函数.
(1)若的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域；
(2)求使的自变量的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案详见解析
【分析】（1）根据对称性求得，根据二次函数的性质求得在区间上的值域；
（2）对进行分类讨论，由此求得正确答案.
【详解】（1）依题意，的图象关于直线对称，
即，所以，
，
所以函数在区间上的值域为.
（2）由得，
当时，，解得，即的取值范围是.
当时，由解得或，
即的取值范围是或.
当时，由解得或，
即的取值范围是或.
20．2022年8月9日，美国总统拜登签署《2022年芯片与科学法案》．对中国的半导体产业来说，短期内可能会受到“芯片法案”负面影响，但它不是决定性的，因为它将激发中国自主创新的更强爆发力和持久动力．某企业原有400名技术人员，年人均投入万元，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元．
(1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求调整后的研发人员的人数最少为多少人？
(2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少．请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．
【答案】(1)125.
(2)存在，.
【分析】（1）根据题意，得到，解得，结合条件，可求得，由此可知调整后的研发人员的人数最少为125人；
（2）由条件①得，由条件②得，假设存在同时满足以上两个条件，则上述不等式恒成立，进而求得，即，故确定存在，且.
【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元，
则，整理得，
解得，
因为且，所以，故，
所以要使这名研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员的人数最少为125人.
（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得，
上式两边同除以得，整理得；
由条件②由技术人员年人均投入不减少，得，解得；
假设存在这样的实数, 使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，
即恒成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立, 所以，
又因为，当时，取得最大值，所以，
所以，即，
即存在这样的满足条件，其范围为.
21．已知奇函数的定义域为.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；
(3)存在，使得成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)单调递增，证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据函数是奇函数，由求得，再根据定义域关于原点对称求解；
（2）利用定义法证明函数的单调性；
（3）存在，使得恒成立，令，，转化为，存在时成立求解.
【详解】（1）因为函数是奇函数，所以，即，则，整理可得，所以，
又因为定义域关于原点对称，所以，即，
所以;
（2）在上单调递增，
设任意，且,
则,
因为，所以，
又，，
所以，即，
所以在上单调递增；
（3）因为，所以，
由存在，使得成立，
则，存在时成立，
令，，
则，存在时成立，
构造函数，
故，
而，当且仅当，即取等号，
对于单调递减，在单调递增，
所以，,
所以,
∴
故的取值范围为.