2022-2023学年河南省开封市高级中学高一下学期期末数学试题含答案

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注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 在中，，设，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“2枚硬币都是正面朝上”，事件“2枚硬币朝上的面相同”，则下列与的关系中正确的个数为（ ）
①
②互斥
③互为对立
④相互独立
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
4. 已知为空间中两条直线，为空间中两个平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
5. 从长度为的5条线段中任取3条，这三条线段不能构成一个三角形的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知分别是圆柱上､下底面圆的圆心，分别是上､下底面圆周上一点，若，且直线与垂直，则直线与所成的角的正切值为（ ）
A B. C. D. 2
7. 如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（ ）

A. B. C. D.
8. 如图，在平面四边形中，为等边三角形，当点在对角线上运动时，的最小值为（ ）

A. -2B. C. -1D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知复数满足，则（ ）
A.
B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C.
D.
10. 某学校为普及安全知识，对本校1000名高一学生开展了一次校园安全知识竞赛答题活动（满分为100分）.现从中随机抽取100名学生的得分进行统计分析，整理得到如图所示的频率分布直方图，根据该直方图，下列结论正确的是（ ）

A. 图中的值为
B. 该校高一学生竞赛得分不小于90的人数估计为130人
C. 该校高一学生竞赛得分的上四分位数估计大于80
D. 该校高一学生竞赛得分的平均数估计为74.6
11. 若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态.已知，与的夹角为，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 与的夹角为
C. 与的夹角为D.
12. 如图，在棱长为1的正方体中，为面对角线上的一个动点（包含端点），则下列选项中正确的有（ ）

A. 三棱锥体积为定值
B. 线段上存在点，使平面
C. 当点与点重合时，二面角的余弦值为
D. 设直线与平面所成角为，则的最大值为
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知，，若，则______.
14. 中岳嵩山是著名旅游胜地，天气预报6月30日后连续四天，每天下雨的概率为0.6，利用计算机进行模拟试验，产生之间的整数随机数，假定表示当天下雨，表示当天不下雨，每4个随机数为一组，产生如下20组随机数：
据此用频率估计四天中恰有三天下雨的概率的近似值为__________.
15. 已知三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围是__________.
16. 勒洛四面体是一个非常神奇“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体（如图乙），若勒洛四面体能够容纳的最大球的表面积为，则正四面体的棱长为______.

四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某校高一年级有学生1000人，其中男生600人，女生400人.为了获得该校全体高一学生的身高信息，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取一个容量为50的样本.
（1）求抽取男生､女生的人数；
（2）观测样本的指标值（单位：），计算得到男生样本的均值为170，方差为14，女生样本的均值为160，方差为34，求总样本的方差，并估计高一年级全体学生的身高方差.
18. 如图，在直四棱柱中，，，点为的中点.

（1）求证：平面；
（2）设是直线上的动点，求三棱锥的体积.
19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标.设向量在斜坐标系中的坐标分别为.

（1）求；
（2）求向量在向量上的投影向量在斜坐标系中的坐标.
20. 11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲､乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立.已知在某局双方平后，甲先发球.
（1）若两人又打了2个球该局比赛结束的概率为，求的值；
（2）在（1）的条件下，求两人又打了4个球且甲获胜的概率.
21. 在中，内角对边分别为.已知.
（1）求；
（2）若的面积为，且为的中点，求线段的长.
22. 三棱锥中，底面为正三角形，平面，为棱的中点，且（为正常数）.
（1）若，求二面角的大小；
（2）记直线和平面所成角为，试用常数表示的值，并求的取值范围.