2023-2024学年北京市第十二中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第十二中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，四象限或轴负半轴上，，双空题，填空题，问答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用给定函数有意义，列出不等式求解即得.
【详解】函数有意义，则，即，
整理得，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A
3．若且，则的终边所在象限为（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据角的终边的位置与三角函数值符号的关系可出结论.
【详解】因为，则的终边在第三、四象限或轴负半轴上，
因为，则的终边在第一、三象限，
因此，的终边所在象限为第三象限.
故选：C.
4．已知：角的终边过点，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由，则终边可能落在第一或三象限，则由两个方向的是否推出关系可得.
【详解】若角的终边经过点，
则，故充分性成立，
若，设的终边上一点为，
则，
不妨设，则,，
解得，或，
显然当时，的终边不过点，故必要性不成立.
综上，是的充分不必要条件.
故选：A.
5．将函数的图象向右平移1个单位长度后，再向上平移4个单位长度，所得函数图象与曲线关于轴对称，则（ ）
A．-4B．-2C．0D．4
【答案】C
【分析】先根据对称变换和平移变换得到，再代入求值即可.
【详解】因为函数的图象向右平移1个单位长度后，
再向上平移4个单位长度，设所得函数图象为，
因为与曲线关于轴对称，所以，
则向下平移4个单位长度，再向左平移1个单位长度后可得，
则，所以.
故选：C.
6．函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可.
【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意；
当时，因为函数的对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则或，所以或；
综上，，故实数的取值范围是.
故选：D
7．今年月日，日本不顾国际社会的强烈反对，将福岛第一核电站核污染废水排入大海，对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究，福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上；有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时，；若时，.则据此估计，这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要（ ）（参考数据:）
A．年B．年C．年D．年
【答案】B
【分析】根据已知条件得，解方程组求出的值，当时，在等式两边取对数即可求解.
【详解】由题意得:，解得，
所以，
当时，得，即，
两边取对数得，
所以，
即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时，大约需要年.
故选：B.
8．已知函数，，设为实数，若存在实数，使，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据已知条件求解出的值域以及的最小值，然后根据题意得到与值域的端点的大小关系，由此求解出的取值范围.
【详解】因为，为实数，所以，
因为，所以当时，的最小值为，
因为函数的图象如下图，且，
所以结合图象可知值域为，
因为存在实数，使，所以，即，
故选：．

【点睛】结论点睛：若，，有，则的值域是值域的子集．
二、双空题（新）
9． ， .
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则和对数的运算法则即得.
【详解】，
.
故答案为：5；3.
10．将转化为角度为 ， .
【答案】
【分析】弧度数乘以即为角度数；应用诱导公式化简求值即可.
【详解】因为，所以；
.
故答案为：；.
三、填空题
11．若，则 .
【答案】
【分析】本题首先可对分式的分子分母同时除，然后借助公式以及即可得出结果．
【详解】，故答案为．
【点睛】本题考查三角函数的相关性质，主要考查利用同角三角函数公式进行化简求值，考查的公式有，考查化归与转化思想，是简单题．
四、双空题（新）
12．已知函数.
（1）若，则在上的最小值为 .
（2）若函数在区间上存在最小值，则给出一个的可能值为 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】（1）由题意可得在上单调递增，即可得出答案；
（2）由双勾函数的性质求解即可.
【详解】（1）若，则，
因为在上单调递增，则；
（2）当时，由双勾函数的性质知，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，则函数在上取得最小值，
所以当，即时，函数在区间上存在最小值，
所以的可能值为.
故答案为：；（答案不唯一）
五、填空题
13．已知函数，下列命题中：
①都不是R上的单调函数；
②，使得是R上偶函数；
③若的最小值是，则；
④，使得有三个零点．
则所有正确的命题的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】对于①，分段讨论脱去绝对值符号，结合二次函数的对称性以及单调性可判断；对于②，可取特殊值，结合奇偶性定义进行判断；对于③，分类讨论，结合二次函数的最小值求出a的值，即可判断；对于④，举特殊值，说明符合题意即可判断.
【详解】对于①，当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
当时，，其图象为开口向上的抛物线，
对称轴为，
即，且，，
即在处的函数值相等，
由于的对称轴在的对称轴的左侧，
则存在区间，使在上递增，
存在区间，使在上递减，
故都不是R上的单调函数，①正确；
对于②，当时，，定义域为R，
此时，即为偶函数，②正确；
对于③，由①的分析可知的最小值在或时取到，
，，，
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，函数最小值在处取到，由，
解得或（舍去）；
当时，由于，恒成立，
不合题意，舍去；
故的最小值是，则或，③错误；
对于④，当时，，
当，即时，当时，令，解得；
当时，令，解得；
即此时有三个零点，④正确，
故答案为：①②④
【点睛】难点点睛：本题考查了函数的单调性以及奇偶性以及零点问题，综合性较强，解答时难点在于二次函数的性质的灵活应用，要注意分类讨论，注意函数最值的确定.
六、问答题
14．已知关于的不等式.
(1)若，求此不等式的解集；
(2)若不等式的解集是，求的值；
(3)若，求此不等式的解集.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【分析】（1）解一元二次方程即可得出答案；
（2）利用根与系数关系列式，求得的值，进而求得的值.
（3）将原不等式转化为，对分三种情况，讨论不等式的解集.
【详解】（1）若，则，即
解得：.
所以，此不等式的解集为.
（2）由题意知，且1和5是方程的两根，
∴，且，
解得，，∴．
（3）若，，原不等式为，
∴，∴．
当时，，原不等式解集为，
当时，，原不等式解集为，
当时，，原不等式解集为，
综上所述：当时，原不等式解集为，
当时，原不等式解集为．
当时，原不等式解集为．
七、证明题
15．已知函数且）为定义在R上的奇函数
(1)利用单调性的定义证明：函数在R上单调递增；
(2)若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若函数有且仅有两个零点，求实数k的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）先根据奇函数满足可得，再设，证明即可；
（2）化简可得恒成立，再讨论为0和大于0时两种情况，结合判别式分析即可；
（3）将题意转化为方程有两个不相等的正根，
【详解】（1）证明：由函数为奇函数，有，解得，
当时，，，符合函数为奇函数，可知符合题意．
设，有
，
由，有，有，故函数在上单调递增；
（2）由
．
（1）当时，不等式为恒成立，符合题意；
（2）当时，有，解得，
由上知实数的取值范围为；
（3）由，方程可化为，
若函数有且仅有两个零点，相当于方程有两个不相等的正根，
故有，即解得．
故实数的取值范围为．