2023-2024学年北京市第一零九中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第一零九中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由交集的概念求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：A.
2．不等式的解集是（ ）
A．或B．或C．D．
【答案】B
【分析】直接解出不等式即可.
【详解】，解得或，故解集为或，
故选：B.
3．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数的单调性即可得到答案.
【详解】根据幂函数图像与性质可知，对A选项在单调递增，故A错误，
对D选项在单调性递增，故D错误，
根据指数函数图像与性质可知在单调递减，故C正确，
根据对数函数图像与性质可知在单调性递增.
故选：C.
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除BC,根据单调性可判断A，即可求解.
【详解】的定义域是，关于原点对称，，所以是偶函数，排除B，C；
当时，，易知在上是增函数，排除A．
故选：D
5．已知，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】用基本不等式求解即可.
【详解】因为，
所以，当且仅当即时取等号；
故选：B
6．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用对数函数的单调性可得，，又，从而可得.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，即，
而，所以.
故选：B.
7．已知指数函数，将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移2个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】根据函数图像变换法则求出函数的解析式，建立方程关系进行求解即可
【详解】解：将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，则，
再将的图象向右平移2个单位长度，则得到的函数关系数为，
因为所得图象恰好与函数的图象重合，
所以，，解得或（舍去），
故选：D
8．已知函数，对a，b满足且，则下面结论一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由对数函数的运算性质可知移项化简即可得.
【详解】因为函数，对a，b满足且，
所以，
则
所以，
即，
解得
故选：D
9．记地球与太阳的平均距离为R，地球公转周期为T，万有引力常量为G，根据万有引力定律和牛顿运动定律知：太阳的质量.已知，由上面的数据可以计算出太阳的质量约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数运算性质计算即可.
【详解】因为，
所以由得：
，
即，
又，
所以.
故选：A.
10．已知实数互不相同，对满足，则对（ ）
A．2022B．C．2023D．
【答案】D
【分析】根据代数基本定理进行求解即可..
【详解】国为满足，
所以可以看成方程的个不等实根，根据代数基本定理可知：对于任意实数都有以下恒等式，
，
令，于是有
，，
，
，
，
，
所以，
故选：D
【点睛】关键点睛：根据代数基本定理是解题的关键.
二、填空题
11．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据对数真数大于零可构造不等式求得结果.
【详解】由得：，的定义域为.
故答案为：.
12．
【答案】5
【分析】根据指数和对数的运算公式化简得结果即可.
【详解】根据指数和对数的运算公式得到：原式=.
故答案为5.
【点睛】这个题目考查了对数和指数的运算公式的应用，属于基础题.
13．已知，且，则的值是 .
【答案】3
【分析】根据凑配法求出解析式，代入即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
所以，.
又，所以有，
解得.
故答案为：3.
14．已知函数图象是连续不断的，并且是上的增函数，有如下的对应值表
①；②在上存在零点；
③有且仅有1个零点；④可能无零点则正确的序号为________．
【答案】①③
【分析】根据函数的单调性，结合表格中的数据和利用零点存在性定理判断.
【详解】对于①，因为函数是上的增函数，所以，故①正确；
对于②，因为函数是上的增函数，所以当时，，故②错误；
对于③，因为函数是上的增函数，且，即，所以函数有且仅有一个在区间的零点，故③正确；
对于④，因为函数连续，且，即，所以函数在区间上一定存在零点，故④错误，
故答案为：①③
15．已知函数,
①当时，在上的最小值为 ；
②若有2个零点，则实数a的取值范围是 .
【答案】 ； 或．
【分析】①根据函数式分段确定函数的单调性后可得最小值；
②结合函数和的图象，根据分段函数的定义可得参数范围．
【详解】①，时，是增函数，，
时，是增函数，因此，
所以时，的最小值是；
②作出函数和的图象，它们与轴共有三个交点，，，
由图象知有2个零点，则或．
故答案为：；或．
三、解答题
16．已知集合
(1)当时，求出；；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)答案见解析.
(2)或.
【分析】（1）根据集合运算法则计算；
（2）根据集合的包含关系列不等式求解.
【详解】（1），时，，
，，或；
（2），
，即时，，
时，或，解得或，所以，
综上，或.
17．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；
(3)直接写出函数的值域．（无需写出推理过程）
【答案】(1)奇函数，证明见解析；
(2)单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；
（2）根据单调性的定义，取值、作差（变形）、定号、下结论等步骤进行证明即可；
（3）分和讨论，运用基本不等式可求得值域.
【详解】（1）为奇函数，理由如下：
函数，定义域为，所以，
则，
所以为奇函数.
（2）在上单调递减，证明如下：
证明：任取，且，则
，
因为，所以
所以，即，
故函数在上是减函数.
（3）因为，所以.
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
当时，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以
所以函数的值域为.
18．已知函数，
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数在内为增函数，求实数的取值范围.
【答案】(1)的递增区间是，递减区间是；
(2).
【分析】（1）把代入，求出函数的定义域，再利用复合函数单调性求出单调区间.
（2）利用给定的递增区间结合对数函数的定义确定，再利用二次函数单调性求出的范围.
【详解】（1）当时，函数，由，得或，
即函数的定义域为，令，
显然函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减，
所以函数的递增区间是，递减区间是.
（2）依题意，函数在上有意义，必有，解得，
令，显然函数在上单调递减，
而函数在内为增函数，则二次函数在上单调递减，
且，恒成立，因此，且，无解，
所以实数的取值范围是.
19．函数的定义域为，若对任意的，均有.
(1)若，证明：；
(2)若对，证明：在上为增函数；
(3)若，直接写出一个满足已知条件的的解析式.
【答案】(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
(3)，（答案不唯一）
【分析】（1）赋值法得到；
（2）赋值法，令，且，从而得到，证明出函数的单调性；
（3）从任意的，均有，可得到函数增长速度越来越快，故下凸函数符合要求，构造出符合要求的函数，并进行证明
【详解】（1）令，则，
因为，所以；
（2）令，且，则，
所以，
故，
因为对，
所以，
故，即，
在上为增函数；
（3）构造，，满足，
且满足对任意的，，理由如下：
，
因为，故，，
故对任意的，.
20．已知函数.
(1)若为偶函数，求a的值；
(2)从以下三个条件中选择两个作为已知条件，记所有满足条件a的值构成集合A，若，求A.
条件①：是增函数；
条件②：对于恒成立；
条件③：，使得.
【答案】(1)；
(2)选①②，不存在；选①③，；选②③，．
【分析】（1）由偶函数的定义求解；
（2）选①②，时，由复合函数单调性得是增函数，时，由单调性的定义得函数的单调性，然后在时，由有解，说明不满足②不存在；选①③，同选①②，由单调性得，然后则函数的最大值不大于4得的范围，综合后得结论；选②③，先确定恒成立时的范围，再换元确定新函数的单调性得最大值的可能值，从而可得参数范围．
【详解】（1）是偶函数，则，
恒成立，∴，即；
（2）若选①②，（），
若，则是增函数，由得，因此不恒成立，不合题意，
若，设，则，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在满足题意；
若选①③，
若，则是增函数，
若，设，则，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
又是增函数，因此在定义域内不是增函数，不合题意．
故不存在满足题意；
要满足①，则，
所以时，，由得，
综上，；
所以．
若选②③，
若，则由，不恒成立，
只有时，恒成立，设，则，
又时，，，
恒成立，设，则，
，
当时，，，，是减函数，
时，，，，是增函数，
要满足③，若即时，，所以；
若即时，，所以；
若，即时，，所以；
综上，
所以．
21．对于非空数集A，若其最大元素为M，最小元素为m，则称集合A的幅值为，若集合A中只有一个元素，则.
(1)若，求；
(2)若，，求的最大值，并写出取最大值时的一组；
(3)若集合的非空真子集两两元素个数均不相同，且，求n的最大值.
【答案】(1)
(2)的最大值为，
(3)n的最大值为11
【分析】（1）根据新定义即可求出；
（2）由，且要使得取到最大，则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中这样差值才会最大，总体才会有最大值.
（3）要n的值最大，则集合的幅值最小，且是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，故对集合中元素分析列出方程解出即可.
【详解】（1）由集合知，，
所以.
（2）因为，，
由此可知集合中各有3个元素，且完全不相同，
根据定义要让取到最大值，
则只需中元素不同且7,8,9分布在3个集合中，
4,5,6,分布在3个集合中，1,2,3分布在3个集合中
这样差值才会最大，总体才会有最大值，所以的最大值为，
所以有一组满足题意，
（3）要n的值最大，则集合的幅值要尽量最小，故幅值最小从0开始，接下来为，
因为是集合的两两元素个数均不相同的非空真子集，
不妨设是集合中只有一个元素的非空真子集，此时，例如,
则是集合中有两个元素的非空真子集，且，例如，
同理是集合中有三个元素的非空真子集，且，例如，
是集合中有个元素的非空真子集，且，例如，
所以，
解得或（舍去），
所以n的最大值为11.
【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
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