2023-2024学年北京市海淀区北京交大附中高一上学期12月月考数学试题含答案

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一、单选题
1．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题，的否定为：，.
故选：C
2．设集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先化简集合A，B，再根据集合的运算得解.
【详解】由，即，因为是上的单调递增函数，
所以，；
又，解得，
；
.
故选：A.
3．以下函数既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】利用奇偶性的定义和指数函数、对数函数、幂函数的性质，对选项逐一判断即可.
【详解】选项A中，，满足，是偶函数，但由幂函数性质知在上单调递增，故不符合题意；
选项B中，由幂函数性质知，在定义域内单调递增，无意义，故不具有奇偶性，不符合题意；
选项C中，由指数函数性质可知，在R上单调递减，但，故不是偶函数，不符合题意；
选项D中，定义域，满足，故是偶函数，当 时，，由对数函数性质可知，在上单调递减，故符合题意.
故选：D.
4．已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据不等式的性质，幂函数，指数函数和对数函数的性质判断．
【详解】对A，根据幂函数在上单调递增得时，，故A正确；
对B，当时，，B错；
对C，，则，根据指数函数在上单调递增得，故C错误；
对D，时，例如，，
则，根据对数函数在上单调递增，
则，因此D错；
故选：A．
5．函数的图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将函数的图象进行变换可得出函数的图象，由此可得出合适的选项.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得到函数的图象，
再将所得函数图象位于轴下方的图象关于轴翻折，位于轴上方图象不变，可得到函数的图象.
故合乎条件的图象为选项C中的图象.
故选：C.
【点睛】结论点睛：两种常见的图象翻折变换：
，
.
6．已知是定义域为的奇函数，当时，单调递增，且，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由奇函数的定义和单调性的性质，即可求解不等式．
【详解】因为是定义在R上的奇函数，时，单调递增，且，
所以当时，，
当时，，
不等式，则
当时，有，即或，解得或，又，；
当时，有，即或，又，解得；
综上，不等式的解集为.
故选：C.
7．已知函数，则“函数有两个零点”成立的充分不必要条件是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据单调性，结合已知条件，求得有两个零点的充要条件，再结合选项进行选择即可.
【详解】
在上单调递增，在上单调递减．
故“函数有两个零点” ，
解得，
“函数有两个零点”成立的充分不必要条件必须为的子集，只有C符合，
故选：C．
【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，涉及由函数零点个数求参数范围问题，属综合基础题.
8．在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同.甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n.如果m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据古典概型的计算公式，结合绝对值不等式进行求解即可.
【详解】根据题意，m，n的情况如下：
共16种情况，
其中m，n满足的情况如下：
共10种情况，
所以两人“心领神会”的概率是，
故选：D
9．函数在上恒为正数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据底数是，在上恒为正数，故在上恒成立，进而解不等式就可以了．
【详解】解：由于底数是，从而在上恒为正数，
故在上恒成立，
即
由于，当且仅当即时取等号；
由对勾函数的性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且
所以．
故选：．
【点睛】本题主要考查对数型函数，一元二次函数值域问题，属于中档题．
10．形如(n是非负整数)的数称为费马数，记为数学家费马根据都是质数提出了猜想:费马数都是质数.多年之后，数学家欧拉计算出不是质数，那的位数是（ ）
(参考数据: lg2≈0.3010 )
A．9B．10C．11D．12
【答案】B
【解析】,设,两边取常用对数估算的位数即可.
【详解】,设，则两边取常用对数得
.
，
故的位数是10，
故选：B．
【点睛】解决对数运算问题的常用方法：
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．
(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．
(4)利用常用对数中的简化计算.
二、填空题
11．函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用对数函数真数大于零，解不等式即可求得结果.
【详解】由对数函数定义可得，解得或，
所以函数定义域为.
故答案为：
12．某高中学校进行问卷调查，用比例分配的分层随机抽样方法从该校三个年级中抽取36人进行问卷调查，其中高一年级抽取了15人，高二年级抽取了12人，且高三年级共有学生900人，则该高中的学生总数为 人.
【答案】
【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解.
【详解】由题意可知：高三年级抽取了人，
由于高三共有900人，所以抽样比为，
所以高中学生总数为，
故答案为：
13．令，，，则三个数，，的大小顺序是 .（用“<”连接）
【答案】
【分析】根据指数函数和对数函数单调性，结合临界值即可确定大小关系.
【详解】，.
故答案为：.
14．为了解本书居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得的数据分别绘制成频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，，，则它们的大小关系为 .（用“<”连接）
【答案】
【分析】根据平均数公式及方差公式分别计算、、，即可判断；
【详解】由图甲：平均值为，
，
，
，
，
，
则标准差，
故答案为：.
15．如图，在等边三角形ABC中， AB=6.动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f(x)，给出下列三个结论：
①函数f(x)的最大值为12；
②函数f(x)的图象的对称轴方程为x=9；
③关于x的方程最多有5个实数根.
其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】①②
【解析】写出分别在上运动时的函数解析式，利用分段函数图象可解.
【详解】
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
分别在上运动时的函数解析式，
，
由图象可得，方程最多有个实数根
故正确的是①②.
故答案为：①②
【点睛】利用函数图象可以解决很多与函数有关的问题，如利用函数的图象解决函数性质问题，函数的零点、方程根的问题，有关不等式的问题等.解决上述问题的关键是根据题意画出相应函数的图象，利用数形结合思想求解.
三、解答题
16．已知集合，.
(1)当时，求集合；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接代入计算，再根据并集含义计算即可；
（2）分集合是否为空集讨论即可.
【详解】（1）由
解得.
当时，，
则
（2）由，得.
当时，有，解得.
当时，有，无解.
综上，.
17．已知函数.
(1)求函数的定义域和值域；
(2)求函数在区间上的最小值.
【答案】(1)定义域为，值域为
(2)答案见解析
【分析】（1）根据二次函数的性质可得答案；
（2）讨论对称轴与区间的关系，结合二次函数性质可得答案.
【详解】（1）由题意定义域为，因为，所以，即值域为.
（2）图象的对称轴为，
当时，即时，在区间上单调递减，
则在区间上的最小值为；
当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，
则在区间上的最小值为；
当时，在区间上单调递增，
在区间上的最小值为；
综上可得时，最小值为；
时，最小值为；
时，最小值为.
18．在新高考背景下，北京高中学生需从思想政治､历史､地理､物理､化学､生物这6个科目中选择3个科目学习并参加相应的等级性考试.为提前了解学生的选科意愿，某校在期中考试之后，组织该校高一学生进行了模拟选科.为了解物理和其他科目组合的人数分布情况，某教师整理了该校高一（1）班和高一（2）班的相关数据，如下表：
其中高一（1）班共有40名学生，高一（2）班共有38名学生.假设所有学生的选择互不影响.
(1)从该校高一（1）班和高一（2）班所有学生中随机选取1人，求此人在模拟选科中选择了“物理+化学”的概率；
(2)从表中选择“物理+思想政治”的学生中随机选取2人参加座谈会，求这2人均来自高一（2）班的概率；
(3)该校在本学期期末考试之后组织高一学生进行了第二次选科，现从高一（1）班和高一（2）班各随机选取1人进行访谈，发现他们在第二次选科中都选择了“物理+历史”.根据这一结果，能否认为在第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化？说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）（2）根据古典概型的概率公式即可求解，
（3）根据小概率事件即可求解.
【详解】（1）依题意得高一（1）班和高一（2）班学生共有人，即该随机试验的样本空间有78个样本点.
设事件“此人在模拟选科中选择了“物理+化学”，
则事件包含个样本点，
所以.
（2）依题意得高一（1）班选择“物理+思想政治”的学生有2人，分别记为；
高一（2）班选择“物理+思想政治”的学生有3人，分别记为.
该随机试验的样本空间可以表示为：
{}
即.
设事件“这2人均来自高一（2）班”，则，
所以，故.
（3）设事件“从高一（1）随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“从高一（2）班随机选取1人，此人在第二次选科中选择了“物理+历史”，
事件“这两人在第二次选科中都选择了“物理+历史”.
假设第二次选科中选择“物理+历史”的人数没有发生变化，
则由模拟选科数据可知，.
所以.
答案示例1：可以认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生变化.理由如下：
比较小，概率比较小的事件一般不容易发生.一旦发生，就有理由认为第二次选科中选择“物理+历史”的人数发生了变化.
答案示例2：无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否发生变化.理由如下：
事件是随机事件，虽然比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生，所以无法确定第二次选科中选择“物理+历史”的人数是否有变化.
19．已知函数（且）．
(1)求的定义域；
(2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；
(3)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在；
【分析】（1）由可得的定义域；
（2）注意到在上单调递增，则在，即的范围是就是在上的值域；
（3）由题可得，则问题转化为在上有两个互异实根，即可得答案.
【详解】（1）由，得或．
∴的定义域为；
（2）令，
因函数在上单调递减，则在上为增函数，
又，∴在上为增函数；函数在有且只有一个零点，
即在有且只有一个解，∵函数在的值域为，
∴的范围是．
（3）假设存在这样的实数，使得当的定义域为时，值域为，
由且，可得．
又由（2）在上为增函数，在上为减函数.
则在上为减函数，得.
即在上有两个互异实根，因
即，有两个大于2的相异零点.
设零点为，则.解得．
又∵，故存在这样的实数符合题意．
20．对于函数，若在定义域内存在实数，且，满足，则称为“弱偶函数”.若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”.
(1)判断函数是否为“弱奇函数”或“弱偶函数”；（直接写出结论）
(2)已知函数，试判断为其定义域上的“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值，若不是，请说明理由；
(3)若为其定义域上的“弱奇函数”.求实数取值范围.
【答案】(1)弱奇函数
(2)不是其定义域上的“弱奇函数”.
(3)
【分析】（1）根据所给定义判断即可；
（2）对分类讨论即可；
（3）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解.
【详解】（1）当时，则，若，无实数解，舍去；
若，解得（正舍），
当时，则，若，无实数解，舍去；
若，解得（负舍），
则存在实数，满足，
则是“弱奇函数”，
（2）假设为其定义域上的“弱奇函数”，则，
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去；
若，则，则，舍去；
从而无解，所以不是其定义域上的“弱奇函数”.
（3）由在上恒成立，
转化为在上恒成立，即.
因为为其定义域上的“弱奇函数”，
所以存在实数使得，
当时，则，所以，即，
所以，，
即在有解可保证是“弱奇函数"，所以，又因为，所以；
当时，，此时，不成立；
当时，则，所以，则，
即，即在有解可保证是“弱奇函数”，
所以，由可知；
综上所述，实数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：本题属于新定义问题，对于新定义问题，关键是理解所给定义，将问题转化为方程有解，分段函数注意分类讨论.
物理+化学
物理+生物
物理+思想政治
物理+历史
物理+地理
高一（1）班
10
6
2
1
7
高一（2）班.
15
9
3
1
6