2023-2024学年福建省泉州市永春第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省泉州市永春第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间是
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：根据表格中的数据，可以断定方程的一个根所在的区间故可知选C
【解析】零点的判定
点评：解题的关键是借助于零点存在性定理来得到零点满足的区间，属于基础题．
2．已知函数（且）的图象恒过定点，则点的坐标是．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据，求得函数所过定点的坐标.
【详解】当时，，即，故.
故选D.
【点睛】本小题主要考查指数型函数过定点问题，属于基础题.
3．下列各不等式，其中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】取特殊值可判断ACD；利用基本不等式可判断B.
【详解】对A，当时，，故A错误；
对B，，当且仅当，即时等号成立，故B正确；
对C，当时，，故C错误；
对D，当时，，故D错误.
故选：B.
4．已知角终边上有一点，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
【答案】B
【分析】首先由点的坐标确定角终边的位置，再确定所在象限.
【详解】，，即,
点在第四象限，即角的终边在第四象限，的终边为角终边的反向延长线，
那么的终边在第二象限.
故选：B
5．已知，，，则、、的大小关系是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先与0比较，c小于0，再a与b比较，即可判断大小.
【详解】，
因此
故选：C.
【点睛】本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
6．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.
【详解】解：对于A：为奇函数，但是函数在和上单调递减，在定义域上不具有单调性，故A错误；
对于B：为非奇非偶函数，在定义域上单调递减，故B错误；
对于C：为奇函数，且在定义域上单调递增，故C正确；
对于D：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故D错误；
故选：C
7．设集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解对数不等式求得集合，根据补集和交集定义即可求得结果.
【详解】，
故选：
【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到对数不等式的求解，属于基础题.
8．已知函数，若的最小值为，则实数的值不可能是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】由基本不等式可得函数在时的最小值为，当时，讨论二次函数对称轴和端点1的关系可得函数的最小值为，由题意只需满足即可.
【详解】由题意当时，，
当且仅当时，等号成立；
当时，，图象为二次函数图象的一部分，对称轴为，
当时，为函数在上的最小值，不合题意；
当时，为函数在上的最小值，，
由题意可得，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】本题考查函数的最值问题，考查基本不等式的应用和二次函数在区间上的最值问题，体现了分类讨论的思想，属于基础题.
二、多选题
9．若：，则成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】先由求出的范围，记其组成的集合为A，要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集即可
【详解】由，得，记为，
所以要求成立的一个充分不必要条件，就是要求出集合A的真子集，
对于A，集合 不是集合A的真子集，所以A不正确，
对于B，集合不是集合A的真子集，所以B不正确，
对于C，集合是集合A的真子集，所以C正确，
对于D，集合是集合A的真子集，所以D正确，
故选：CD
10．已知函数图象经过点，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为奇函数
B．函数为减函数
C．若，则
D．若，则
【答案】AD
【分析】将点代入函数得到，判断函数的奇偶性和单调性得到A正确B错误，，C错误，验证得到D选项正确，得到答案.
【详解】数图象经过点，即，即，，
，函数为奇函数，A正确；
，函数不是减函数，B错误；
，C错误；
，，
，
故，D正确.
故选：AD.
11．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则下列四个结论正确的是（ ）
A．f(x)在(0，1)上单调递增B．f(x)的值域是
C．f(x)的图象关于直线x＝1对称D．f(x)的图象上存在两点关于点(1，0)对称
【答案】ABC
【分析】根据以及复合函数的单调性可知在(0，1)上单调递增是正确的；根据在(0，1)上单调递增，在上单调递减，可知的值域为是正确的；根据可知的图象关于直线x＝1对称是正确的；利用反证法可知的图象上存在两点关于点(1，0)对称是错误的.
【详解】因为的定义域为，且，
又因为在(0，1)上单调递增，在上单调递减，所以在(0，1)上单调递增，在上单调递减，故正确；
所以时，取得最大值，当时，，，所以的值域为，故正确；
因为，所以的图象关于直线x＝1对称，故正确；
假设的图象上存在两点、关于点(1，0)对称，则，
所以，消去得，
将代入得，
所以，所以，
所以，从而，这与相矛盾，故假设不成立，
所以的图象上不存在两点关于点(1，0)对称，故不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题考查了判断复合函数的单调性，考查了求复合函数的值域，考查了判断函数的对称性，属于中档题.
12．下列结论中，所有正确的结论是（ ）
A．若，则函数的最小值为1
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为1
D．若，，，则的最小值为1
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式求各选项目标式的最值，注意验证等号成立的条件.
【详解】A：由，则．又，
当且仅当时等号成立，故A错误；
B：，所以可化为，
则，
当且仅当时等号成立，故B正确；
C：由，，，即，
解得，当且仅当时等号成立，故C正确；
D：由，
即，即，
当且仅当，即，时等号成立，故D正确.
故选：BCD．
三、填空题
13．化简 的结果是 ．
【答案】
【分析】将变为，展开括号化简整理即可．
【详解】
【点睛】本题考查三角函数的化简，属于简单题．
14．若函数的图象与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】画出的图象，数形结合得到实数的取值范围.
【详解】，
当时，，
画出函数的图象，
函数的图象与直线有两个不同的交点，则.
故答案为：
15．函数的值域为R，则a的取值范围为
【答案】
【分析】根据函数的值域为R，得到真数部分范围，进而求出a的取值范围.
【详解】令，
因为函数的值域为R，
所以为函数值域的子集，
则，
所以a的取值范围为.
故答案为：
16．已知a＞0且a≠1，函数f（x）=满足对任意不相等的实数x1，x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0，成立，则实数a的取值范围 ．
【答案】（2，3]
【分析】根据已知条件（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0得到函数f(x)的单调性，然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.
【详解】对任意实数x1≠x2，都有（x1-x2）[f（x1）-f（x2）]＞0成立，
可得f（x）在R上为单调递增，
则即
解得a的取值范围为：2＜a≤3．
故答案为：（2，3]．
【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点：(1)若函数在区间[a,b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
四、解答题
17．已知二次函数，且是函数的零点．
（1）求的解析式；
（2）解不等式．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）利用韦达定理求出即得解；
（2）解一元二次不等式即得解.
【详解】解：（1）因为是函数的零点，即或是方程的两个实根，
所以，从而，
，即，
所以．
（2）由（1）得，从而即，
所以，
解得或．
18．已知角满足，求下列各式的值:
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）分子分母同时除以，将弦化切，然后代值计算，可得结果.
（2）根据平方关系，，同时分子分母除以将弦化切，然后代值计算，可得结果.
【详解】（1）=，
由，所以原式
（2）由
所以原式
则原式
原式
由，所以原式
【点睛】本题主要考查齐次化变形，将弦化切，考验观察能力以及计算能力，属基础题.
19．给定函数，，，用表示，中的较大者，记为.
(1)求函数的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，作图见解析；
(2).
【分析】（1）根据题意，分类讨论，结合一元二次不等式的解法进行求解并画出图象即可；
（2）构造新函数，利用分类讨论思想，结合二次函数的性质进行求解即可.
【详解】（1）①当即时，，则，
②当即或时，，则，
故
图象如下：
（2）由（1）得，当时，，
则在上恒成立等价于在上恒成立.
令，，
原问题等价于在上的最小值.
①当即时，在上单调递增，
则，故.
②当即时，在上单调递减，在上单调递增，
则，由时，，故不合题意.
综上所述，实数的取值范围为.
20．已知函数为奇函数.
（1）求实数a的值并证明是增函数；
（2）若实数满足不等式，求t的取值范围.
【答案】（1），证明见解析；（2）.
【解析】（1）依题意可得，即可求出参数的值，从而求出函数解析式，再利用作差法证明函数的单调性；
（2）根据函数的奇偶性及单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，再解分式不等式即可；
【详解】（1）因为是定义域为R奇函数，
由定义，所以
所以，
∴.
所以
证明：任取，
．
，．
，即．
在定义域上为增函数．
（2）由（1）得是定义域为R奇函数和增函数
所以.
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
21．已知．
(1)求的值；
(2)用m表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用对数的运算法则计算得到答案.
（2）变换得到，得到答案.
【详解】（1），则
.
（2）
.
22．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）若任意，不等式恒 成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）利用函数奇函数的性质求的值；（2）利用函数是奇函数，求的解析式，即得函数的解析式；（3）利用函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性，解抽象不等式，利用不等式恒成立，求参数的取值范围.
【详解】解：（1）因为定义域为的函数是奇函数，
所以.
（2）因为当时，，所以，
又因为函数是奇函数，所以，所以，
综上，
（3）由，得，
因为是奇函数，所以，
又在上是减函数，所以，
即对任意恒成立，
令，则，
由，解得，
故实数的取值范围为.
0
1
2
3
4
1
2.72
7.39
20.09
54.60
5
7
9
11
13