2023-2024学年福建省厦门市杏南中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省厦门市杏南中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，计算题，作图题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
2．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】解一元二次不等式化简集合A，再利用交集的定义求解作答.
【详解】解不等式，得或，则或，而，
所以.
故选：B
3．在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角函数定义直接计算作答.
【详解】依题意，，所以.
故选：A
4．已知， ，则（ ）
A．B． C．D．
【答案】D
【分析】先求出，，再根据对数函数的单调性结合中间量法即可得解.
【详解】，，，
.
故选：D.
5．若“”为假命题，则的取值可以是（ ）
A．5B．3C．1D．-1
【答案】A
【分析】利用假命题的否定为真命题，分离参数即可求得.
【详解】因为“”为假命题，
所以其否定恒成立，
所以在上恒成立，
所以即，
所以的取值可以是5.
故选：A
6．某同学在用二分法研究函数的零点时，．得到如下函数值的参考数据：
则下列说法正确的是（ ）
A．1.25是满足精确度为0.1的近似值B．1.5是满足精确度为0.1的近似值
C．1.4375是满足精确度为0.05的近似值D．1.375是满足精确度为0.05的近似值
【答案】D
【分析】根据二分法基本原理判断即可.
【详解】因为，
且，故AC错误；
因为，，且，故D正确；
因为，且故C错误；
故选:D
7．已知函数为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是奇函数求出参数的值，求解不等式.
【详解】函数定义域为，又为奇函数，所以，故，经检验符合题意；
不等式，即，，，，所以.
故选：D.
8．已知定义在上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.则下列选项不成立的是（ ）
A．
B．若，则
C．若，则
D．，使得
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性和单调性，由题意可知函数是偶函数且在上单调递增，利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断BC，结合函数恒成立即可判断D.
【详解】A：由条件①得是偶函数，条件②得在上单调递增，
所以，故A正确；
B：若，则，得，故B错误；
C：若，则或，
因为，所以或，故正确；
D：因为定义在上函数的图象是连续不断的，且在上单调递增，
所以，所以对，只需即可，故D正确.
故选：B
二、多选题
9．已知集合,若是的充分条件,则a可以是（ ）
A．-1B．0C．1D．2
【答案】AB
【分析】根据充分条件的概念,得出集合之间的包含关系,即可得出的范围,选出选项.
【详解】解:因为是的充分条件,
所以,所以有.
故选:AB
10．若且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】由且，得出，结合作差比较法和基本不等式可得答案.
【详解】对于A，因为且，所以，所以，即，A不正确；
对于B，由选项A可知，所以，即，B正确；
对于C，由于异号，所以，所以，由于等号只能在时取到，所以，即，C正确；
对于D，因为，所以，D正确.
故选：BCD.
11．若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】BC
【分析】变换，计算二次函数值域得到答案.
【详解】，则，
函数在上单调递增，
当，，BC满足.
故选：BC.
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．的图象关于中心对称
D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】A选项，利用三角函数的周期公式即可判断；BCD选项，利用代入检验法即可判断.
【详解】因为，
所以的最小正周期，故A正确；
因为，
所以不是的对称轴，是的对称中心，故B错误，C正确；
因为，所以，
所以在区间上单调递增，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．已知扇形的圆心角为,弧长为,则该扇形的面积为 .
【答案】/
【分析】根据圆心角和弧长求得半径,根据弧长和半径利用扇形面积公式即可求得结果.
【详解】解:记扇形的半径为,因为圆心角,弧长,
所以,即,解得,
所以扇形的面积.
故答案为:
四、单空题
14．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
【答案】
【分析】根据抽象函数定义域结合余弦函数性质即可求解新函数的定义域.
【详解】函数的定义域为，
的定义域为：
,
，
故答案为:.
五、填空题
15．若函数为偶函数，则 .
【答案】
【分析】由偶函数的定义求出参数即可.
【详解】因为，定义域，
又，
由，则对任意都成立，
故，解得，
故答案为：
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
16．已知函数且，若，则的单调递增区间为 ．
【答案】
【分析】化简函数，求出的范围，即可得出的单调递增区间.
【详解】由题意，
在且中，
，
∵，
∴，函数在上单调递增，在上单调递减，
∴的单调递增区间为，
故答案为：.
六、问答题
17．已知函数.
(1)若，求的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明.
【答案】(1)；
(2)为奇函数，证明见解析.
【分析】（1）由可得，解指数方程即可求解；
（2）求出，结合奇函数的定义即可判断.
【详解】（1）由，可得,即，解得（舍）或，解得.
（2）的定义域为，且，
故函数为奇函数.
七、计算题
18．已知
(1)化简；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接通过诱导公式化简即可；
（2）通过二次齐次式的化简即可得结果.
【详解】（1）
（2）由（1）易得，
所以
八、作图题
19．已知函数，其中为三角形的内角且满足.
(1)求出角.（用弧度制表示）
(2)利用“五点法”，先完成列表，然后作出函数，在长度为一个周期的闭区间上的简图.（图中轴上每格的长度为轴上每格的长度为1）
【答案】(1)
(2)列表见解析，图像见解析
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值结合三角形内角范围可得；
（2）根据五点法作图即可.
【详解】（1）为三角形的内角，可得，又得
（2）列表：
九、证明题
20．已知函数.
(1)求的解析式；
(2)令函数，判断在上的单调性，并用单调性的定义证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）运用配凑法，解决问题；
（2）运用函数单调性定义，进行证明.
【详解】（1） ，
所以.
（2），
在上单调递减，证明如下：
设，
，
因为
所以，
所以，
所以在上单调递减.
十、计算题
21．设函数且的图像经过点，记.
(1)求；
(2)设函数的反函数为.当时，求函数的最值.
【答案】(1)
(2)..
【分析】（1）根据已知代入点坐标，求得的值，求出，进而求出集合；
（2）由（1）可得，表示出，然后利用换元法求解函数最值即可.
【详解】（1）由题知，，得，故，
由可得，
所以，即，
解得，故.
（2）由（1）知，，则，
，
令，则，
则令，
当或，即或时，.
当，即时，.
即最大值，最小值.
十一、问答题
22．近期，全国新冠肺炎疫情防控工作领导小组召开第九十六次会议在京.会议指出，虽然当前全国各地疫情得到初步控制，但疫情形势依然严峻复杂，对疫情的战斗还远未结束，会议上再次强调了精准防控疫情的十条最新措施，以减轻疫情防控对企业经营和民众生活带来的损失.厦门一家医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为10万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为30万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是180万元.
【分析】（1）根据题意列出函数表达式即可；
（2）分别求出每一段函数的最大值即可利润最大值.
【详解】（1）当时，，
当时，，
所以.
（2）若，
所以当时，万元；
若，
当且仅当时，即时，万元.
综上，该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是180万元.
x
1
1.25
1.375
1.40625
1.4375
1.5
0.0567
0.1460
0.3284
0
0
0
1
0
-1
0