2023-2024学年海南省海口市海南中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年海南省海口市海南中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，且，则的值可能为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】C
【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可.
【详解】集合，四个选项中，只有，
故选：C．
【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题
2．命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词，否结论”分析判断即可得解.
【详解】解：因为命题“，”为存在量词命题，
所以其否定为“，”．
故选：B．
3．“”是“幂函数在上单调递减”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【答案】D
【分析】由题知，解得，再根据充要条件的概念判断即可.
【详解】解：因为幂函数在上单调递减，
所以，解得，
所以“”是“幂函数在上单调递减”的充要条件.
故选：D
4．函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出.
【详解】在上单调递增，在上单调递增，
函数在上单调递增，
∵，
，
，
函数的零点所在的区间为.
故选：C
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性求出的范围即可判断.
【详解】，，
，，
，，
.
故选：D.
6．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据对数型复合函数单调性的求法求得正确答案.
【详解】对于函数，解得或，
故函数的定义域为，
函数的开口向上，对称轴为；
函数在上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，
的单调递增区间是.
故选：D
7．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】本题通过讨论的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.
【详解】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.
【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论的不同取值范围，认识函数的单调性.
8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（ ）
A．20B．18C．16D．14
【答案】C
【分析】解方程，得或，作出的图象，由对称性只要作的部分，观察的图象与直线和直线的交点的个数即得．
【详解】,或
根据函数解析式以及偶函数性质作图象，
当时，.，是抛物线的一段，
当，是由
的图象向右平移2个单位，并且将每个点的纵坐标缩短为原来的一半得到，依次得出y轴右侧的图象，根据对称轴可得左侧的结论，
时，，的图象与直线和的交点个数，分别有3个和5个，
∴函数g(x)的零点个数为，
故选：C．
【点睛】本题考查函数零点个数，解题方法是数形结合思想方法，把函数零点个数转化为函数图象与直线交点个数，由图象易得结论．
二、多选题
9．下列转化结果正确的是（）
A．化成弧度是B．化成角度是
C．化成弧度是D．化成角度是
【答案】ACD
【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案.
【详解】化成弧度是，A选项正确.
化成角度是，B选项错误.
化成弧度是，C选项正确.
化成角度是，D选项正确.
故选：ACD
10．下列四个选项中错误的是 （ ）
A．与互为反函数，其图像关于对称
B．已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是
C．已知角的终边经过点，则
D．2023°角是第三象限角
【答案】BC
【分析】根据反函数、扇形面积、三角函数的定义、象限角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于A：根据反函数性质可知与互为反函数，
其图像关于对称，正确；
对于B：扇形的周长为，又因为扇形的圆心角，
所以，则扇形的面积，故B错误；
对于C：根据三角函数的定义，角的终边经过点，
则，故C错误；
对于D：和223°的终边重合，是第三象限角正确.
故选：BC
三、单选题
11．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ）
A．当，时，二氧化碳处于液态
B．当，时，二氧化碳处于气态
C．当，时，二氧化碳处于超临界状态
D．当，时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【分析】根据与的关系图可得正确的选项.
【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.
当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
四、多选题
12．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石·布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】根据题中所给定义，只需判断是否有解即可.
【详解】对于A：当，即时，该方程无解，故A不满足；
对于B：当时，解得或，满足定义，故B满足；
对于C：当时，时，解得或，
当时，时，无解，综上C满足；
对于D：当时，解得，故D满足.
故选：BCD
五、填空题
13．钟表的分针在一个半小时内转过的角是 （以弧度制表示）.
【答案】
【分析】根据任意角和弧度制的知识求得正确答案.
【详解】分针是顺时针旋转，
一个半小时顺时针旋转了，
也即顺时针旋转了，
所以转过的角是.
故答案为：
14．函数的值域为 ．
【答案】
【解析】利用换元法求解，设，则，而，再利用在定义域内为减函数，可求出函数的值域
【详解】解：设，则，
因为，在定义域内为减函数，
所以，即，
所以函数的值域为，
故答案为：
15．已知，在区间上有一个零点，则 .若用二分法求的近似值（精确度0.1），则至少需要将区间等分 次.
【答案】 1 4
【分析】根据零点、二分法等知识求得正确答案.
【详解】在上为减函数，
又，
∴的零点，故.
设至少需等分次，则且，
解得，故至少需等分4次.
故答案为：；
16．已知函数，当时，，则的最大值是 ．
【答案】/
【分析】分别求得和时对应的自变量的值，结合的图象可确定的取值范围，由此可得结果.
【详解】令，解得：；令，解得：；
图象如下图所示，
由图象可知：，，.
故答案为：.
六、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)求值：
(2)
【答案】(1)
(2)0
【分析】（1）根据对数运算求得正确答案.
（2）根据诱导公式求得正确答案.
【详解】（1）原式.
（2）

.
18．已知函数（）．
(1)若函数在上是减函数，求的取值范围；
(2)当时，设函数的最小值为，最大值为，求函数与的表达式．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据单调区间与对称轴的关系求解；
（2）分对称轴与区间的关系求函数最小值，根据对称轴与0的大小关系分类求最大值即可.
【详解】（1）因为函数在上是减函数，且其对称轴为，
所以．
（2）①当时，函数单调递增，；
②当时，函数先减后增；
③当时，函数单调递减．
故；
当时，；当时，
故
19．（1）已知，求的最大值；
（2）已知，且，求的最小值．
【答案】（1）-1；（2）.
【分析】（1）根据x的范围，可得，原式转化为，结合基本不等式，即可得结果；
（2）根据基本不等式，“1”的妙用，即可求解.
【详解】（1），
，
，（当且仅当，即时取等号），
，
，即最大值为；
（2），则，
，
，
（当且仅当，即时取等号），
，即的最小值为.
【点睛】本题考查基本不等式中配凑法的应用、“1”的妙用等知识，应用基本不等式时，应注意： “一正，二定，三相等”，考查分析理解，求值化简的能力，属中档题.
20．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)是否存在实数，使得为奇函数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)或
(2)存在，
【分析】（1）根据函数定义域的求法求得正确答案.
（2）由进行化简，从而求得的值.
【详解】（1）要使函数有意义，则，则，得或，
∴函数的定义域为或.
（2）假设存在实数，使得为奇函数，
因为，，
所以，即，
所以，所以，
即，解得，故存在实数，使得为奇函数.
21．海南某橡胶工厂曾被曝光废气排放不达标，经了解，废气需要经过严格的过滤程序后排放.过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数.如果在前消除了20%的污染物，那么
(1)后还剩百分之几的污染物？
(2)污染物减少百分之四十至少需要花多少时间（精确到）？（参考数据：）
【答案】(1)64%
(2)10
【分析】（1）根据已知条件列方程，求得，进而求得正确答案.
（2）根据已知条件列方程，由指数、对数运算求得正确答案.
【详解】（1）由题意可知，时，污染物含量，
根据在前消除了20%的污染物得，，
∴，∴时，，
故后还剩64%的污染物；
（2）假设污染物减少百分之四十需要花小时，即小时后污染物含量
，∴，又因为，
∴，
∴，，
污染物减少百分之四十至少需要花10小时.
22．已知函数,
（Ⅰ）证明：为奇函数；
（Ⅱ）判断单调性并证明；
（III）不等式对于恒成立，求实数t的取值范围．
【答案】（Ⅰ）为奇函数；（II）在R上为增函数，证明见解析； （III）．
【详解】试题分析：（1）由 ，可证得函数为奇函数；（2）该函数为反比例型函数，利用单调性定义可证得函数在 上为增函数．（3）利用函数的奇偶性和单调性，不等式可转化为 恒成立，可求得 的取值范围．
（Ⅰ），为奇函数．
（II）在R上为增函数．
,
在R内任取，
则，
，
．
在R上为增函数．
（III）,
又在R上为增函数,
恒成立，，
即时，，
，解得．