2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市第九中学校高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解指数不等式化简集合A，再利用交集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
所以.
故选：D
2．（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】根据指对数的运算即可求出结果.
【详解】因为，
故选：C.
3．下列函数中，值域为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】逐项判断函数值域，即可得到正确选项.
【详解】对于,，故A不正确；对于，，故B正确;
对于，故C不正确；
对于，，故D不正确；
故选：B
4．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用中间量1做比较即可.
【详解】因为，，所以.
故选：C
5．若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件，利用分段函数增减性的判断方法即可求出结果.
【详解】因为函数在R上单调递增，
所以，解得，
故选：D.
6．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是．那么后物体的温（单位：℃）可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的常数．现有46℃的物体，放在10℃的空气中冷却，以后物体的温度是38℃，则k的值约为（ ）
A．0.25B．C．0.89D．
【答案】A
【详解】由题意可知：
当，，时，，
代入公式得：即，
则.
故选：A.
【点睛】本题主要考查指数对数函数的运算，属于简单题.
7．函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先用定义判断函数奇偶性，得到图象的对称性，再取特殊值找点.
【详解】因为，所以，
所以为奇函数，图象关于原点对称，排除A选项，
当时，，
所以，排除B、D选项，选C.
故选：C.
8．若关于x的函数的最大值为M，最小值为N，且，则实数t的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，判断其奇偶性，利用所构造函数的奇偶性的性质进行求解即可.
【详解】依题意，函数的定义域为R，
令，则，即为奇函数，
由于函数有最大值为M，最小值为N，则函数有最大值，最小值，
由奇函数的性质知，所以.
故选：B
二、多选题
9．下面说法正确的有（ ）
A．化成弧度是；
B．终边在直线上的角的取值集合可表示为；
C．角为第四象限角的充要条件是；
D．若角的终边上一点的坐标为，则.
【答案】AD
【分析】根据角度制与弧度制的转化可判定A，由终边相同的角的概念可判定B，由象限角的三角函数值符号可判定C，由三角函数的定义可判定D.
【详解】根据角度制与弧度制的转化得，即A正确；
易知终边在直线上的角与的角的终边相同，故其取值集合可表示为，即B错误；
易知第四象限角的余弦为正数，故C错误；
由三角函数的定义可知角的终边上一点的坐标为，则，即D正确.
故选：AD
10．已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的可能值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】令，利用零点存在性定理，建立参数所满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．
【详解】因为一元二次方程有两个实数根，，
且，令，
则由题意可得，即
解得，
故选：ABC.
11．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．在平面直角坐标系中，若一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，则称这个函数为这个圆的“太极函数”，下列说法中正确的有（ ）
A．对于一个半径为1的圆，其“太极函数”仅有1个
B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数”
C．函数不可能是某个圆的“太极函数”
D．函数是某个圆的“太极函数”
【答案】BD
【分析】若函数有对称中心且圆的圆心在对称中心时，该函数一定是该圆的“太极函数”，根据这一性质判断各个选项，D项需要证明奇函数.
【详解】A项，对于任意一条过圆心的一次函数的图象都能够将该圆的周长和面积同时平分，所以有无数个，所以A项错误；
B项，若函数经过圆的圆心，则该函数是“太极函数”，因为可以有无数个圆的圆心均在函数上，所以B项正确；
C项，函数满足，奇函数，对称中心为，当某个圆的圆心为时，则该函数是“太极函数”，所以C项错误；
D项，函数，
因为，
所以对称中心为，同理是“太极函数”，所以D项正确.
故选：BD.
12．已知函数，若函数有四个零点，，，，且，则下列正确的是（ ）
A．的范围B．+++的范围
C．的取值范围 D．的范围
【答案】AC
【分析】根据给定的分段函数，作出函数的图象，把函数零点问题转化为直线与函数图象交点求解，再逐项分析、计算判断作答.
【详解】函数有四个零点，等价于直线与函数的图象有4个交点，其横坐标依次为，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，，由得，，
由，即得，且有，
因此的范围是，A正确；
由得，，显然在上递减，
因此，则，B不正确；
，显然函数在上单调递减，则，当且仅当时取等号，C正确；
因为，，则有，
当时，，当时，，即的取值范围是，D不正确.
故选：AC
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.
三、填空题
13．若一扇形弧长为2，圆心角为90°，则该扇形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据扇形弧长公式先求出扇形半径，再用扇形面积公式即可求解.
【详解】设扇形半径为r，而圆心角为，弧长.
因此，则扇形面积为.
故答案为：
14．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：
则函数至少有 个零点．
【答案】3
【分析】根据函数的零点存在性定理即可判断.
【详解】由题设可得，，则在区间内至少有一个零点；
同理，则在区间内至少有一个零点；
，则在区间内至少有一个零点；
则函数至少有3个零点.
故答案为：3.
15．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】对任意，都存在，使得，只需即可.
【详解】，在上单调递减，在上单调递增.
所以当时，.
在R上单调递减，所以当时，.
因为对任意，都存在，使得，
所以只需即可，
即，解得，即m的取值范围是.
故答案为：
16．定义在上的函数满足，且，则使成立的x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】变形给定不等式，构造函数，并探讨其单调性，再利用单调性解不等式即可.
【详解】由，且，则两边同时除以可得，
令，则原不等式为，因此函数在上单调递减，
由，得，又，于是，解得，
所以使成立的x的取值范围是.
故答案为：
四、解答题
17．已知集合，非空集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据必要不必要条件与集合间的等价关系，根据集合的包含关系列出不等式解出；
（2）根据已知条件和问题列出不等式组即可解出.
【详解】（1）∵是的必要不充分条件，
∴是的真子集.
∴，
解得.
∴实数的取值范围为.
（2）由，
可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
18．在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点．
(1)若，求及的值；
(2)若，求点P的坐标．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根据三角函数定义及正余弦函数齐次式法计算即得.
（2）根据同角三角函数关系转化求得，进而求出，再结合三角函数定义求解即得.
【详解】（1）角以Ox为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，
当时，，则，
所以.
（2）依题意，，
由，得，即，
于是，
因此，即，
所以点P的坐标为.
19．已知函数．
(1)若在内单调递增，求的取值范围；
(2)若任意，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，据此列不等式组求解即可；
（2）将问题转化为对任意都成立，参变分离得，利用基本不等式求出的最小值即可.
【详解】（1）若在内单调递增，
则根据复合导函数的单调性，函数在内单调递减，且恒大于零，
即，
解得
（2），即对任意都成立
即对任意都成立，
即
又，当且仅当时等号成立，
20．设区间A是函数定义域的一个子集，若存在，使得成立，则称是的一个“不动点”，也称在区间A上存在“不动点”，例如的“不动点”满足，即的“不动点”是．
(1)若函数有两个互为相反数的“不动点”，求实数a的值：
(2)若函数在区间上不存在“不动点”，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义列方程组即可；
（2）假设存在“不动点”，根据一元二次方程无解计算即可.
【详解】（1）设两个“不动点”分别为、，由题意得：
，解得或，
；
（2）假设存在“不动点”，所以有，
，令，，
所以，所以要使没有“不动点”，即在该方程无解，
的对称轴为，
①当，即时，有，解得，所以；
②当，即时，有，
解得，
③当，即时，有，解得，所以，
综上所述，.
五、应用题
21．某公司为调动员工工作积极性拟制定以下奖励方案，要求奖金y（单位：万元）随投资收益x（单位：万元）的增加而增加，奖金不超过90万元，同时奖金不超过投资收益的20%.即假定奖励方案模拟函数为时，该公司对函数模型的基本要求是：当时，①是增函数；②恒成立；③恒成立.
(1)现有两个奖励函数模型：①；②.试分析这两个函数模型是否符合公司要求？
(2)已知函数符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a的取值范围.
【答案】(1) 函数模型：②符合公司要求；(2) ．
【解析】(1)由判断函数模型：①不符合条件③，故不符合公司要求；一一验证函数模型： ②满足题目给出的三个条件，说明函数模型： ②符合公司要求；
(2)由说明符合条件①，再求解基本不等式及基本不等式取最值时满足的条件求出a满足②③的范围，取交集即可．
【详解】(1)对于函数模型：①，验证条件③：当时而即不成立，故不符合公司要求；
对于函数模型：②，当时，条件①是增函数满足；
∴，满足条件②；
对于条件③：记
则
∵∴当时，
∴恒成立，即条件③也成立.
故函数模型： ②符合公司要求.
(2)∵，∴函数符合条件①；
由函数符合条件②，得，解得：；
由函数符合条件③，得对恒成立，
即对恒成立.
∵，当且仅当，即x=50时等号成立，
∴
综上所述，实数a的取值范围．
【点睛】数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)求解应用性问题时，不仅要考虑函数本身的定义域，还要结合实际问题理解自变量的取值范围．
六、解答题
22．已知函数是定义域上的奇函数，且．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若在上有两个零点，求实数m的取值范围；
(3)设函数，若对，，都有，求实数t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据奇函数性质和已知列方程求出a，b，然后得到函数的解析式；
（2）利用一元二次方程根的分布列不等式组求解可得；
（3）令换元得，将问题转化为求最值问题，然后由求解可得.
【详解】（1）由，且是奇函数，得，
于是，解得，即．
经验证，函数满足定义域，成立，
所以.
（2）函数在上有两个零点，即方程在上有两个不相等的实数根，
所以在上有两个不相等的实数根，
则，解得．
（3）任取，且，
则，
当，且，
则，，∴，
∴，即，
所以，函数在上单调递减．
当，且，
则，，∴，
∴，即
所以，函数在上单调递增．
由题意知，
令，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
因为函数的对称轴方程为，
∴函数在上单调递增，
当时，取得最小值，；
当时，取得最大值，．
所以，，
又因为对任意的都有恒成立，
∴，
即，解得，
又∵，所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：含参数的二次函数在指定区间上的最值问题，按二次函数对称轴与区间的关系分类求解，再综合比较即可.
x
1
2
3
4
5
6
y
136.13
15.55
-3.12
10.66
-52.32
-12.34