2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年吉林省白山市抚松县第一中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若角的终边经过点，则（ ）
A．B．7C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的定义求解即可.
【详解】解：因为角的终边经过点，
所以.
故选：B.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对数函数中真数大于零列不等式即可求解.
【详解】要使函数有意义，则，所以，
所以函数的定义域为.
故选：C
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解一元二次不等式化简集合M，然后根据交集运算和补集运算求解即可.
【详解】由题意得，又，
则所以.
故选：D
4．已知幂函数为偶函数，则（ ）
A．-1B．4C．-4D．2
【答案】B
【分析】根据幂函数的定义和奇偶性判断即可．
【详解】令，得或4.
当时，为奇函数，不符合题意，舍去.
当时，为偶函数，符合题意.
故选：B.
5．巴布亚企鹅，属鸟类，是企鹅家族中游泳速度最快的种类，时速可达36千米，也是鸟类中当之无愧的游泳冠军，其模样憨态有趣，有如绅士一般，十分可爱，被称为“绅士企鹅”，若小迪是一只鸟，则“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念判断即可.
【详解】会游泳的鸟有很多种，巴布亚企鹅是其中的一种，
则“小迪是巴布亚企鹅”可以推出“小迪会游泳”，但“小迪会游泳”并不能推出“小迪是巴布亚企鹅”.
所以“小迪是巴布亚企鹅”是“小迪会游泳”的充分不必要条件.
故选：B
6．在某个时期，某湖泊的蓝藻每天以5%的增长率呈指数增长，则经过2天后，该湖泊的蓝藻变为原来的（ ）
A．1.1倍B．1.25倍C．1.1025倍D．1.0025倍
【答案】C
【分析】根据指数函数求解即可.
【详解】解：设某湖泊的蓝藻量为1，
由题意可知，每天的蓝藻量是以1.05为底的指数函数，
即，
所以经过2天后，湖泊的蓝藻量，
所以该湖泊的蓝澡变为原来的倍.
故选：C.
7．已知是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．-8B．-4C．4D．8
【答案】D
【分析】先求出，然后代入求解，最后利用偶函数性质求解即可.
【详解】由，解得，则.
所以，因为是定义在上的偶函数，所以.
故选：D
8．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由的最小公倍数来的系数统一化，再利用对数函数的单调性即可判断.
【详解】由题意可得，，.
因为函数在上单调递增.
所以，则.
故选：A.
二、多选题
9．已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且对应值如下表.
则在下列区间内一定有零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据条件，由零点存在性原理即可求出结果.
【详解】因为的图象是一条连续不断的曲线，
且，
所以根据零点存在性定理可得在区间内一定存在零点，
故选：BCD.
10．下列命题是真命题的是（ ）
A．与是终边相同的角
B．
C．
D．若角是第二象限角，则可能是第三象限角
【答案】AD
【分析】根据终边相同的角的关系即可判断A；利用诱导公式即可判断B；根据的范围即可判断C；根据象限角的定义即可判断D.
【详解】对于A，因为，所以与是终边相同的角，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，所以，故C错误；
对于D，若角是第二象限角，则，
故，
当时，，为第一象限角，
当时，，为第三象限角，
则可能是第一象限角或第三象限角，故D正确.
故选：AD.
11．人们常用里氏震级表示地震的强度，（单位：焦耳）表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为（为常数），已知甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量约为焦耳，则（ ）
A．
B．
C．乙地发生的里氏3.2级地震释放出的能量为焦耳
D．甲地发生的里氏5.0级地震释放出的能量是丙地发生的里氏4.3级地震释放出的能量的倍
【答案】BD
【分析】AB选项，得到方程，解得；C选项，将代入求出释放出的能量为；D选项，代入，求出释放出的能量为，从而得到比值.
【详解】AB选项，由题意可得，即，解得，A错误，B正确.
C选项，由题意得，解得，C错误.
D选项，由题意得，解得，，D正确.
故选：BD
12．已知函数，若，则（ ）
A．B．若，则
C．D．
【答案】ABD
【分析】由题意首先证明函数的单调性，得到，对于A，直接由指数函数单调性即可判断；对于B，由结合作差法即可判断；对于C，由结合对数函数的单调性即可判断；对于D，由结合幂函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数在上都单调递减，所以在上是减函数.
由，得，
即，则，A正确.
因为，所以，
则，所以，B正确.
因为在上是增函数，且，
所以，即，C错误.
因为，所以，因为幂函数在上单调递增，
所以，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13． .
【答案】/
【分析】根据指数幂的运算和对数运算性质求解即可.
【详解】原式.
故答案为：
14．已知正数满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】利用基本不等式中常数代换技巧求解即可.
【详解】正数满足，则，当且仅当，即时，等号成立.
所以的最小值为9.
故答案为：
15．已知，则 .
【答案】/
【分析】利用换元法结合诱导公式直接求解即可.
【详解】令，则，则.
因为，所以.
故答案为：.
16．已知函数恰有3个零点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据有两正根，把问题转化为在上只有1个零点问题，然后分类讨论，结合二次函数的性质列不等式求解即可.
【详解】当时，令，得，
因为函数与函数的图象在上有2个公共点，
所以在上有2个零点，所以在上只有1个零点.
当时，在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴右侧，开口向下，且0，
则在上有唯一零点，符合题意；
当时，的图象的对称轴为，
在轴左侧，开口向上，，则，解得.
所以的取值范围为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知一个扇形的周长为14，圆心角的弧度数为.
(1)求这个扇形的半径；
(2)求这个扇形的面积.
【答案】(1)4
(2)12
【分析】（1）设出扇形的半径和弧长，利用周长和圆心角列式求解即可；
（2）利用扇形面积公式直接求解即可.
【详解】（1）设这个扇形的半径为，弧长为，则，且，
解得，.
（2）这个扇形的面积.
18．已知实数满足且，且函数满足.
(1)求的值；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）根据对数运算求得，再利用指数运算求解a即可；
（2）根据指数函数的单调性求解值域即可.
【详解】（1）由得，则，解得.
（2）因为在上单调递减，
所以，，
故在上的值域为.
19．已知.
(1)若，求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用诱导公式得到，利用同角三角函数关系求出答案；
（2）利用诱导公式和同角三角函数关系化为齐次式，并化弦为切，代入求解.
【详解】（1）由，得.
因为，所以，
由，可得，
代入中，得，
解得，故.
（2）
.
20．已知函数满足.
(1)求的解析式；
(2)解不等式.
【答案】(1)，
(2).
【分析】（1）根据换元法，令，得，即可代入已知得出答案，注意定义域；
（2）由（1）得出的解析式得出，即可将不等式等价于，再根据函数单调性得出，即可列出不等式解出答案.
【详解】（1）令，得，
则，，
故，.
（2）因为，
所以不等式等价于.
因为在上单调递增，所以，
即，
解得，
故不等式解集为：.
21．某厂家生产某类产品进行销售，已知该厂家的该类产品年销量（单位：万件）与年广告宣传费用（单位：万元）之间满足关系式，生产该类产品每年的固定投入费用为8万元，每年政府的专项补贴为万元，每件产品的生产费用为64元.已知该厂家销售的该类产品的产品单价每件产品的生产费用平均每件产品的广告宣传费用，且该厂家以此单价将其生产的该类产品全部售出.
(1)请写出该类产品的年度总利润（单位：万元）与年广告宣传费用（单位：万元）之间的函数关系式.（注：年度总利润年销售总收入+年度政府的专项补贴-总成本，总成本固定投入费用+生产总费用+年广告宣传费用）
(2)试问该厂家应投入多少万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大？并求出最大年度总利润.
【答案】(1).
(2)该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
【分析】（1）根据题意先表示出年生产量为万件时的总成本和年销售总收入；再根据年度总利润公式即可得出结果；
（2）先对（1）中的总利润进行变形；再利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）由题意知，当年生产量为万件时，总成本为（万元），
当销售量为万件时，年销售总收入为（万元），
由题意得，
即.
（2）由（1）得，
因为，
所以，
则
，
当且仅当，即时，等号成立.
故该厂家应投入11万元的广告宣传费用，才能使该类产品的年度总利润最大，最大年度总利润为89万元.
22．已知函数为奇函数.
(1)求的值；
(2)试判断的单调性，并用定义证明；
(3)设函数，若，函数的两个零点分别为，函数的两个零点分别为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3).
【分析】（1）利用奇函数性质建立方程求解即可.
（2）利用单调性的定义证明即可.
（3）由函数的零点得，，利用指数运算得，从而利用二次函数性质求得最大值，即可求解最大值.
【详解】（1）由，可得，
即，化简得，故.
（2）在上单调递增.由（1）得.任取，且，
则，
因为，所以，
所以，即，故在上单调递增.
（3）由题意得.
函数的两个零点分别为即，得，
从而，函数的两个零点分别为，
得，则，从而，
则，
又因为，所以，
则，即的最大值为.
2
3
4
5
6
7
8
112.11
56.88
-12.96
10.98
-35.32
-57.24
-99.15