2023-2024学年辽宁省沈阳市第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市第二中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（ ）
A．02B．03C．04D．14
【答案】C
【分析】根据题意结合随机数表依次找出每一个个体的编号，即可得出结果.
【详解】总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，
因此第一个个体的编号为08，之后的编号依次为12、03、14、04.
所以选出来的第5个个体的编号为04.
故选：C
2．函数的反函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】有关分段函数的反函数的求法，，，互换可得反函数为，
故选C．
3．已知，，，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】，，，，所以，选D.
4．函数部分图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先由函数的奇偶性排除部分选项，然后再由的解及解的个数判断.
【详解】因为函数的定义域为R，又，
所以函数是偶函数，排除AD，
令，得，且只有一个解，排除C，
故选：B
5．设的两根是，则
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解得 或 或 即，
所以
故选D
6．已知不等式成立，则实数的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分成，两种情况，结合对数函数的单调性求解即可.
【详解】当时，不等式即为，由解得，又，所以；
当时，不等式即为，由解得或；
又，所以.
综上，实数的取值范围为.
故选：B.
7．设均为正数，且，，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】试题分析：在同一坐标系中分别画出，， 的图象，
与 的交点的横坐标为， 与的图象的交点的横坐标为 ，与 的图象的交点的横坐标为，从图象可以看出．
【解析】指数函数、对数函数图象和性质的应用．
【方法点睛】一般一个方程中含有两个以上的函数类型，就要考虑用数形结合求解，在同一坐标系中画出两函数图象的交点，函数图象的交点的横坐标即为方程的解．
【详解】8．已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】画出函数的图象，利用函数的图象，判断的范围，然后利用二次函数的性质求解的范围．
【详解】解：函数，的图象如图：
关于的方程有8个不等的实数根，必须有两个不相等的实数根且两根位于之间，由函数图象可知，．令，
方程化为：，，
，开口向下，对称轴为：，
可知：的最大值为：，
的最小值为：2．
．
故选：．

【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点个数的判断与应用，考查数形结合以及计算能力，属于中档题．
9．有一组样本数据，，…，，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．，，，的平均数等于，，…，的平均数
B．，，，的中位数不等于，，…，的中位数
C．，，，的标准差不小于，，…，的标准差
D．，，，的极差不大于，，…，的极差
【答案】BD
【分析】根据平均数，中位数，标准差，极差的概念逐一判定即可.
【详解】对于A，令样本数据为，
则的平均数为2，而的平均数为3，两者不相等，A错误；
对于B，不妨令，，…，从小到大排列，
所以的中位数等于的中位数等于，B错误；
对于C，令样本数据为，
可知的平均数是5，的平均数是5 ，
所以的方差，
的方差，
所以，C错误；
对于D，不妨令，，…，从小到大排列，则，
，D正确.
故选：D.
二、多选题
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的图象关于轴对称B．在区间上单调递增
C．的最大值为D．无最大值
【答案】AC
【分析】根据偶函数定义判断A，特例法排除B，结合基本不等式利用对数函数的单调性求出时的最大值，然后偶函数性质求出定义域下的最大值，从而判断CD.
【详解】函数的定义域为，且，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，故选项A正确；
因为，，所以，
显然不满足在上单调递增，故选项B错误；
当时，，
当且仅当即时，等号成立，即当时，有最大值，
又函数图象关于轴对称，所以的最大值为，故选项C正确，D错误.
故选：AC
11．已知是函数的零点（其中为自然对数的底数），下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据给定条件确定所在区间，再逐一分析各个选项即可判断作答.
【详解】函数在上单调递增，，，
而是方程的零点，因此，A正确；
由得：，两边取对数得：，B正确；
因，且在上单调递增,则，C正确；
当，，则， D错误.
故选：ABC
12．空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在数学上称为悬链线.悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A．若，则为偶函数
B．若，则函数的零点为0和
C．若，则函数的最小值为2
D．若为奇函数，且使成立，则的最小值为
【答案】ABD
【分析】根据函数的奇偶性定义判断A即可；利用函数零点的定义及指对运算即可求得函数的零点，从而判断B即可；根据得，讨论的符号从而确定函数值域，从而判断C即可；根据含参不等式能成立，利用指数函数的性质进行参变分离，结合基本不等式求得最值，即可得的取值范围，从而判断D即可.
【详解】解：对于A，当时，，函数定义域为，所以，则为偶函数，故A正确；
对于B，若，，则函数，整理得，
即，解得，，所以函数的零点为0和，故B正确；
对于C，若，则，当时，，当且仅当，即时等号成立；
当时，，当且仅当，即时等号成立；
所以，故C错误；
对于D，若为奇函数，则，所以，
所以，则，若使成立，则，
若，则，，所以
即能成立，又，当且仅当时，即时，等号成立，
所以，则的最小值为，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第百分位数是 ．
【答案】8
【分析】利用百分位数定义规则求解即可.
【详解】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且，
所以第百分位数是第5个数，即8.
故答案为：8.
14．已知，且，则 ．
【答案】3
【分析】根据给定条件，计算即可得解.
【详解】函数的定义域为 ，
则，，
两式相加得，而，
所以.
故答案为：3
15．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是
【答案】
【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
16．设函数的定义域为D，若函数满足条件：存在，使在上的值域是，则称为“双倍函数”，若函数为“双倍函数”．则实数t的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题设条件可得的两个不同的解，利用对数的运算和换元法可得在上有两个不同的正数解，结合根分布可求参数的取值范围.
【详解】因为为增函数，设此函数的值域为，
则，而在上为增函数，
故为上的增函数，
由为“双倍函数”，故，
故为方程的两个不同的解，
故即方程有两个不同的解，
设，则在上有两个不同的正数解，
故，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．（1）计算：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）利用指数幂的运算求解；
（2）利用对数和换底公式求解.
【详解】（1），
，
；
（2），
，
.
18．已知幂函数在上单调递减．
(1)求的值；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数得到，求出或-1，根据单调性舍去，得到答案；
（2）先得到在上单调递减，分，，，，结合函数单调性得到不等式，求出解集.
【详解】（1）由题意得，解得或-1，
当时，在上单调递增，不符合题意；
当时，在上单调递减，符合题意，
故；
（2）由题意得在上单调递减，
当时，解得，无解，舍去；
当，即时，恒成立，
当，即时，由，得，得，不符合题意．
当，即时，由，得，得，所以．
综上，不等式的解集为．
19．已知且.
(1)求的值；
(2)若，解关于的不等式：（其中）.
【答案】(1)12
(2)当t=0时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当不等式的解集为.
【分析】（1）先把对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
（2）根据对数的运算性质可求出a的值，再对t分情况讨论，分别求出不等式的解集．
【详解】（1）且，
（2）
∴不等式可化为
当t=0时，不等式为，解得，
当不等式的解集为，
当不等式的解集为，
当不等式的解集为
综上所述，当t=0时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当不等式的解集为.
20．党的二十大报告强调，要加快建设交通强国、数字中国．专家称数字交通让出行更智能、安全、舒适．研究某市场交通中，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，x为道路密度，q为车辆密度，已知当道路密度时，交通流量，其中．
(1)求a的值；
(2)若交通流量，求道路密度x的取值范围；
(3)求车辆密度q的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题，待定系数解方程即可得答案；
（2）根据题意，解不等式即可得答案；
（3）由题知，进而分段研究最值即可得答案；
【详解】（1）解：依题意，，即，故正数,所以，a的值为.
（2）解：当时，单调递减，F最大为，故的解集为空集；
当时，由，解得，即
所以，交通流量，道路密度x的取值范围为．
（3）解：依题意，，
所以，当时，；
当时，，
由于，所以，当时，q取得最大值．
因为，
所以车辆密度q的最大值为．
21．已知函数的定义域为，对任意正实数、都有，且当时，.
（1）求的值，判断函数的单调性并加以证明；
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），在上是增函数，证明见解析；（2）.
【解析】（1）令可求出的值，再利用题中已知条件可求得的值，设，利用作差法以及题中已知条件化简得出，结合已知条件可得出的符号，由此可证得结论成立；
（2）利用题中已知条件可将所求不等式化简为，结合函数的定义域可得出对任意的恒成立，设，，求出函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围.
【详解】（1）令，则，所以，
所以.
函数在上是增函数，
证明：设，则，
因为，所以，故，
所以，所以函数在上是增函数；
（2）因为，所以，
又因为，则可化为.
由（1）知函数在上是增函数，
所以对任意的恒成立，所以对任意的恒成立.
所以，记，，
二次函数在区间上为增函数，所以，，所以.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】思路点睛：根据函数单调性求解函数不等式的思路如下：
（1）先分析出函数在指定区间上的单调性；
（2）根据函数单调性将函数值的关系转变为自变量之间的关系，并注意定义域；
（3）求解关于自变量的不等式 ，从而求解出不等式的解集.
22．设函数的定义域为D，若存在，使得成立，则称为的一个“不动点”，也称在定义域D上存在不动点.已知函数.
(1)若函数在区间上存在不动点，求实数a的取值范围；
(2)设函数，若，都有成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得在[0，1]上有解，令，可得在[1,2]上有解，分离参数即可求解；
（2）将问题转化为，利用单调性求出的最值，令，，可得恒成立，分离参数求解即可.
【详解】（1）由题意知，即在[0，1]上有解，
令，，则，则在[1,2]上有解，
则，
当时，在递减，在递增，则
则，即，
故实数a的取值范围为.
（2），即，
则
又在[－1,0]上是减函数，
则，
∴，
令，，则，，
则
又在上递增，则，又
∴，
∴，
∴实数a的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
7816 6572 0812 6354 3703 4308 9728 0398
3214 9204 0235 8200 3623 4869 6938 7481