2023-2024学年云南省昆明市第八中学高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省昆明市第八中学高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，作图题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断．
【详解】由已知，因此AB错，C表达方式错，D正确．
故选：D．
2．已知：，下列式子正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】运用作差法比较各项即可.
【详解】对于A项，因为，
又，，所以，，
所以，所以，故A项错误；D项正确；
对于B项，，
又，，所以，
所以，所以，故B项错误；
对于C项，，
又，，所以，
所以，所以，故C项错误.
故选：D.
3．已知扇形的周长为，圆心角为，则此扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据扇形周长，应用扇形弧长公式列方程求半径，再由面积公式求面积即可.
【详解】令扇形的半径为，则，
所以此扇形的面积为.
故选：D
4．下面给出4个幂函数的图像，则图像与函数大致对应的是（ ）
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，③，④
【答案】A
【分析】根据幂函数的图像特征，对照四个选项一一验证，即可得到答案.
【详解】函数为奇函数且定义域为R，该函数图像应与①对应；
函数，且该函数是偶函数，其图像关于y轴对称，该函数图像应与②对应；
的定义域、值域都是，该函数图像应与③对应；
，其图像应与④对应．
故选：A．
5．已知函数是R上的减函数，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围.
【详解】由于函数是定义在R上的减函数，
所以，函数在区间上为减函数，
函数在区间上为减函数，且有，
即，解得.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
6．核酸检测在新冠疫情防控核中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加．若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为（ ）．（参考数据：，）
A．36.9B．41.5C．58.5D．63.1
【答案】C
【分析】设DNA数量没有扩增前数量为a，由题意可得，，化简得，再根据指数函数的运算，即可求解．
【详解】设DNA数量没有扩增前数量为a，
由题意可得，，即，
所以，即，
故．
故选：C．
7．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对数的运算性质可得，，，即可得出答案.
【详解】，
，
，
故
故选：C.
8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，为了纪念数学家高斯，人们把函数称为高斯函数，其中表示不超过的最大整数.设，则函数的所有零点之和为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】A
【分析】由题意知，当时，，所以不是函数的零点，当时，令，作出函数的图象，利用数形结合思想，结合函数零点的定义即可求解.
【详解】由题意知，当时，，所以不是函数的零点，
当时，可得，，
令，
作出函数的图象如图所示：
由图象可知，除点外，函数图象其余交点关于（0，1）中心对称，∴横坐标互为相反数，即，
由函数零点的定义知，函数的所有零点之和为
.
故选：A
【点睛】本题考查函数的新定义、函数零点的求解和函数图象及其性质；考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想；把函数零点问题转化为两个函数图象的交点问题是求解本题的关键；属于创新题、难度较大型试题.
二、多选题
9．下列函数中，最小值是4的有（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用基本不等式求最值判断ACD，取，可判断B.
【详解】对于A选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，满足题意；
对于B选项，当时，，则，不满足题意；
对于C选项，，
当且仅当时，即时，等号成立，又，所以等号不成立，
即的最小值不是，不满足题意；
对于D选项，，
当且仅当时，即时，等号成立，故的最小值是4，满足题意.
故选：AD.
10．已知函数，下面命题正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称B．函数的图象关于轴对称
C．函数的值域为D．函数在内单调递减
【答案】ACD
【分析】分析函数的奇偶性从而可判断AB选项；结合指数函数的值域判断的值域即可判断C；根据复合函数的单调性判断的单调性即可判断D.
【详解】因为，所以的定义域为，且定义域关于原点对称，
又因为，所以为奇函数，故A正确，B错误；
又因为，，
所以，所以，故C正确；
因为，时，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故D正确；
故选：ACD.
11．若，则下列结论可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】分与同正、同负和异号三种情况讨论即可.
【详解】若与同号，则由得，即，∴，
当与同为正时，，故C正确；
当与同为负时，，故A错，B正确；
若，则，故D正确．
故选：BCD.
12．已知，则下列选项正确的是( )
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由已知条件，两边平方求出，即可判断A；再根据，得出和，由即可判断B；再根据即可判断C和D，进而得出答案．
【详解】两边平方，得，
即，则，选项A正确；
因为，所以，
又因为，所以，
因为，
所以，选项B正确，
因为，故D正确， C错误，
故选：ABD．
三、填空题
13．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据角终边上的点，利用三角函数的定义求值.
【详解】角的终边经过点，点在单位圆上，则．
故答案为：.
14．用二分法求函数的一个零点，其参考数据如下:
据此数据，可得方程的一个近似解为 （误差不超过0.01）.
【答案】1.56
【分析】判断方程的近似解所在的区间端点的函数值的符号相反即可得出结论.
【详解】由图表知, ,
函数 的一个零点在区间 上,
故函数的零点的近似值（精确到 0.01 ) 为 1.56 ,
可得方程 的一个近似解 (精确到 0.01 ) 为 1.56 ,
故答案为: 1.56 .
15．已知函数，则的值域是 .
【答案】
【分析】令，先求出的范围，再根据对数函数的性质即可得解.
【详解】令，则，
则，可得，
已知单调递减，所以，
则的值域为.
故答案为：.
16．已知函数是上的偶函数，为奇函数，若，则 .
【答案】
【分析】根据函数的奇偶性确定函数周期为，计算，根据周期性计算得到答案.
【详解】是奇函数，故，且，
偶函数，故，
则， ，函数周期为，
，故，，即，
，，，，
故，.
故答案为：.
四、问答题
17．设集合，或，或．
(1)，求；
(2)若，求m的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据交集求解；
（2）分类讨论，求解；
【详解】（1）当时，集合或，或，
或.
（2）若，则，
当时，，所以，符合题意；
当时，需满足，解得，
综上所述，m的取值范围为
五、作图题
18．已知函数，且点在函数的图象上.
(1)求函数的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数的图象；
(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
【答案】(1)，图象见解析
(2)
【分析】（1）先根据点在函数的图象上求出，再分段画出函数的图象；
（2）将问题转化为直线与函数的图象有两个公共点，在同一坐标系中作出图象，利用图象进行求解.
【详解】（1）解：因为点在函数的图象上，
所以，解得，
即，
其图象如图所示：
（2）解：将化为，
因为方程有两个不相等的实数根，
所以直线与函数的图象有两个公共点，
在同一坐标系中作出直线与函数的图象（如图所示），
由图象，得，即，
即的取值范围是.
六、问答题
19．（1）已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了.我们将这一事实表示为不等式：当时，有，请证明这个不等式；
（2）设△ABC的三边长分别为，请利用第（1）问已证不等式证明：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法比较大小即可；
（2）根据三角形两边之和大于第三边，再结合（1）中不等式放缩即可证明.
【详解】（1）证明：.
.，
.
（2）设的三边长分别为，则有，
由（1）已证不等式可得：，，，
将以上不等式左右两边分别相加得：，
所以，
七、证明题
20．已知函数对于一切，都有.
(1)求并证明在上是奇函数；
(2)若在区间上是减函数，解不等式.
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）令求出，再令，即可得到，从而证明函数的奇偶性；
（2）根据函数的奇偶性与单调性，将函数不等式化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为对于一切都有，
令，则，所以，
令，则，即，
所以在上是奇函数.
（2）因为在区间上是减函数，则在区间上是减函数，
则不等式，即，
所以，解得，
所以不等式的解集为.
八、问答题
21．已知函数是偶函数.
(1)求的值;
(2)设 ，，若对任意的 ，存在，使得，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由偶函数的性质即可求解的值；
（2）由题意可得在上的最小值不小于在上的最小值，分别求出和的最小值，即可求解.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2），
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
22．近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力、夜间经济已经成为城市经济发展的重要驱动因素.根据城市研究院发布《2023年中国城市夜间经济发展报告》，福州市入选“中国夜经济繁荣度TOP100城市”第二梯队.光明港夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：
已知第10天的日销售收入为505元.
(1)给出以下三个函数模型：
①；②；③.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（不必说明理由）来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值.
【答案】(1)
(2)，的最小值.
【分析】（1）由第10天的日销售收入为505元，求出，再根据表中数据可知时间变换时，先增后减，则选模型②，再利用待定系数法求出参数，即可得解；
（2）分和，两种情况讨论，结合基本不等式和函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）解：因为第10天的日销售收入为505元，
则，解得，
由表格中的数据知，当时间变换时，先增后减，
函数模型：①；③是单调函数，
所以选择模型②：，
由，可得，解得，
由，解得，
所以日销售量与时间的变化的关系式为；
（2）由（2）知，
所以，
即，
当时，
由基本不等式，可得，
当且仅当时，即时等号成立，
当时，为减函数，
所以函数的最小值为，
综上可得，当时，函数取得最小值.
x
10
15
20
25
30
50
55
60
55
50