2023-2024学年云南省昆明市昆一中西山学校高一上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省昆明市昆一中西山学校高一上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，四象限”是“”的，多选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知角的终边在直线上，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】根据角的终边在直线上，可得，即可求解.
【详解】由题意得角的终边在直线上，所以，
又因为，且，所以，故A项正确.
故选：A.
2．已知函数，若，则函数的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】作出函数的图象，利用函数图象的对称变换可得出函数的图象.
【详解】作出函数的图象如下图所示：
因为，则将函数的图象关于轴对称，可得出函数的图象，如下图所示：
故选：C.
3．已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设扇形的半径为，弧长为，由扇形的弧长公式结合扇形的周长可求得、的值，再利用扇形的面积公式可求得该扇形的面积.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，
扇形的周长为，可得，所以，，
故该扇形的面积为.
故选：D.
4．据市场分析某个车间产出的总利润（单位：千万元）与运行年数满足二次函数关系，其函数图象如图所示，则这个车间运行（ ）年时，其产出的年平均利润最大．

A．2B．4C．6D．8
【答案】C
【详解】先求得关于的表达式，然后利用基本不等式求得取得最大值时对应的的值.
【分析】，设，
将代入上式得，
所以，
则，
当且仅当时等号成立.
故选：C
5．设角的始边为x轴非负半轴，则“角的终边在第三、四象限”是“”的（ ）
A．充要条件B．必要不充分条件
C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用三角函数值的符号法则，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】角的终边在第三、四象限，则，
反之，若，则角的终边在第三、四象限或者y轴的非正半轴，
所以“角的终边在第三、四象限”是“”的充分不必要条件。
故选：C
6．若幂函数图象过点，且，则的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件求出的知，分析函数在上的单调性，由可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】由已知条件可得，解得，则，
所以，函数在上为增函数，
由可得，解得.
故选：B.
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数性质及指数函数性质，并借助媒介数比较大小即得.
【详解】，，
又，，
因此.
故选：A
8．已知函数，若恰有个零点、、，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，结合图形得出、、的取值范围，利用对数运算可得出，由此可得出的取值范围.
【详解】不妨设，
由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，
且有，，
由，即，即，
所以，，即，故.
故选：B.
二、多选题
9．已知集合，，且，则实数的值可以为（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】BCD
【分析】根据已知得出.分以及讨论，即可得出答案.
【详解】由可得，.
当时，满足，此时；
当时，，
解可得，.
因为，所以或.
当时，；
当时，.
综上所述，或或.
故选：BCD.
10．下列命题叙述正确的是（ ）
A．，且，当时，
B．，且，当时，
C．，且，当时，
D．，且，当时，
【答案】AD
【分析】利用作差法及特值法判断.
【详解】对于A，∵，且，，∴，
∴，即，故A正确；
对于B，∵，且，，∴，
∴，即，故B错误；
对于C，∵，且，，取，
∴，此时，故C错误；
对于D，当时，取，，满足，故D正确.
故选：AD.
11．若函数是上的奇函数，对任意的，总有成立，且当，时，有，则下列结论正确的有（ ）
A．直线是函数图象的一条对称轴
B．
C．函数在上为增函数
D．函数在上有7个零点
【答案】BCD
【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性、单调性及周期性，再逐项分析判断即可.
【详解】由当，时，有，得函数在上单调递减，
而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，因此在上单调递减，
由对任意的，总有成立，得函数的图象对称轴为，
则函数在上单调递增，且，
由，得，于是，
即函数是周期函数，周期为4，
由函数的图象关于原点对称，知函数的图象关于点对称，且在上单调递减，
显然，因此直线不是函数图象的一条对称轴，A错误；
显然，，则，
因此，B正确；
由于函数在上单调递增，则函数在上为增函数，C正确；
函数在上单调递增，在上单调递减，
且有，因此函数在上有7个零点，D正确.
故选：BCD
12．已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．函数的图象关于原点对称
B．函数的图象关于轴对称
C．，
D．函数的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用基本不等式结合对数函数的单调性可判断CD选项.
【详解】对于AB选项，对任意的，，则函数的定义域为，
且，
因为，所以，函数为偶函数，A错B对；
对于C选项，对任意的，，C对；
对于D选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故函数的最小值为，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13．对于命题，，则命题p的否定为 ．
【答案】，
【分析】利用全称量词命题的否定直接写出结论即得.
【详解】命题，是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题，的否定是：，.
故答案为：，
14．已知，则 ．
【答案】或
【分析】根据给定条件，利用齐次式法列出关于的方程求解即得.
【详解】由，得，即，解得或，
所以或.
故答案为：或
15．宇宙之大，粒子之微，无处不用到数学．2023年诺贝尔物理学奖颁给了“阿秒光脉冲”，光速约为米每秒，1阿秒等于秒．《庄子·天下》中提到，“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，如果把“一尺之棰”的长度看成1米，按照此法，需要经过 天才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．（参考数据：，）
【答案】32
【分析】根据已知求出经过天后，剩余的长度并列出不等式，借助函数单调性求解即得.
【详解】依题意，光在1阿秒内走的距离为米，
经过天后，剩余的长度米，由得，，
两边同时取对数得，
，而，则，
所以需要经过32天才能使其长度小于光在1阿秒内走的距离．
故答案为：32
16．已知函数为上的单调函数，，都有，且满足，则 ．
【答案】
【分析】分析可知，存在唯一的常数，使得，且，可得出，分析函数的单调性，可得出的值，即可得出函数的解析式，再结合已知条件可求得的值.
【详解】因为函数为上的单调函数，，都有，
则存在唯一的常数，使得，即，且，
由，
因为函数、在时单调递增，故函数在时单调递增，
又因为，由可得，所以，，
因为，解得.
故答案为：.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)16
【分析】（1）根据分数指数幂运算和根式运算法则求出答案；
（2）由对数运算法则计算出答案.
【详解】（1）
（2）
.
18．在平面直角坐标系中，单位圆与x轴的正半轴及负半轴分别交于点A，B，角的始边为x轴的非负半轴，终边与单位圆交于x轴下方一点P．
(1)如图，若，求点P的坐标；
(2)若点P的横坐标为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作于点，则，求得即可得出的坐标；
（2）由题意设，结合条件求出的坐标，利用三角函数的定义求出.
【详解】（1）
过点作于点，
若，则，
又，则，
由题意点在第四象限，所以的坐标为.
（2）由题意设，
∵点在单位圆上，且在x轴下方，
∴，且，解得，
∴.
19．关于x的不等式的解集为M．
(1)若，求正整数k的值；
(2)若M为全体实数，求实数k的取值范围．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）把1代入不等式，再解一元二次不等式即得.
（2）利用一元二次型不等式恒成立，分类讨论求解即得.
【详解】（1）由，得，即，解得，
所以正整数k的值为.
（2）依题意，，不等式恒成立，
当且，即时，恒成立，因此；
当且，即时，不等式不恒成立，因此，
当时，，解得，
所以实数k的取值范围是.
20．由于函数的图象形状如勾，因此我们称形如“”的函数叫做“对勾函数”，该函数有如下性质：在上是减函数，在上是增函数．
(1)已知函数，，利用题干性质，求函数的单调区间和值域；
(2)若对于，都有恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)递减区间是，递增区间是，值域是；
(2).
【分析】（1）换元并利用对勾函数的单调性求解即得.
（2）变形函数式，再利用对勾函数单调性求出最小值即得.
【详解】（1）函数，，令，则，
由对勾函数性质知，函数在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，又当时，，当时，，
因此在上单调递减，在上单调递增，，，
所以函数的递减区间是，递增区间是，值域是.
（2）当时，，
令，显然函数在上单调递增，
则当时，，于是当时，取得最小值5，
因为对，都有成立，则，
所以m的取值范围是.
21．已知函数是定义域上的奇函数．
(1)求实数的值；
(2)若，证明：函数有唯一零点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用奇函数的定义可求得正实数的值；
（2）由，可得出，令，则，利用二次函数的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.
【详解】（1）解：因为函数是定义域上的奇函数，
则，即，
所以，，所以，，则，
因为，所以，，此时，函数，
由可得，解得，即函数的定义域为，
，
所以，函数是定义域为的奇函数，合乎题意，
综上所述，.
（2）解：由（1）可得，
由，
可得，其中，
令，则，整理可得，
令，则二次函数的对称轴为直线，且，
所以，函数在上单调递增，
因为，，则，
所以，函数在上存在唯一零点，
因此，函数有唯一零点.
22．近几年，随着网络的不断发展和进步，直播平台作为一种新型的学习方式，正逐渐受到越来越多人们关注和喜爱．某平台从2020年建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐年增加．已知从2020到2023年，该平台会员每年年末的人数如下表所示（注：第4年数据为截止2023年10月底的数据）
(1)请根据表格中的数据，从下列三个模型中选择一个恰当的模型估算建立该平台年后平台会员人数（千人），求出你所选择模型的解析式，并预测2023年年末会员人数：
①，②（且），③（且）；
(2)为了更好的维护管理平台，该平台规定会员人数不能超过千人，请根据（1）中你选择的函数模型求的最小值．
【答案】(1)函数模型解析式为，千人
(2)
【分析】（1）根据表格中的数据可选择模型③，将表格中的数据代入函数模型解析式，求出三个参数的值，即可得出函数模型解析式，再将代入函数模型解析式，即可得解；
（2）由已知可得出，令，则，令，，求出函数在上的最大值，即可得实数的最小值.
【详解】（1）解：由表格中的数据可知，函数是一个增函数，且函数增长得越来越快，故选择模型③较为合适，
由表格中的数据可得，解得，
所以，函数模型的解析式为，
预测年年末的会员人数为千人.
（2）解：由题意可得，
令，则，则，
令，，则函数在上单调递增，
所以，，故，
故的最小值为.
建立平台第年
1
2
3
4
会员人数（千人）
28
40
58
82