2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第三次月考数学试题含答案

这是一份2022-2023学年陕西省咸阳市实验中学高一上学期第三次月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知函数的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求其零点近似值的个数分别是（ ）
A．4，4B．3，4C．4，3D．5，4
【答案】C
【分析】与轴的4个交点中，要判断交点左右两侧函数值异号的方可用二分法，即可得到答案.
【详解】图象与轴有4个交点，所以零点的个数为4，左右函数值异号的零点有3个，
所以可以用二分法求解的个数为3.
故选：C
2．集合，，则＝（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由补集和并集的定义直接求解.
【详解】集合，，
则，.
故选：B
3．给出下列命题：
①第二象限角大于第一象限角；
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；
③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所对半径的大小无关；
④若sinα=sinβ，则α与β的终边相同；
⑤若csθ<0，则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【详解】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin=sin,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,csθ=-1<0时既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.
4．已知，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性，即可判断和选择.
【详解】是上的单调增函数，故，故；
又是上的单调减函数，故，即；
又是上的单调增函数，故，即；
综上所述：.
故选：A.
5．若函数的零点在区间内，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】因为在上单调递增，由零点的存在性定理知要使在上存在零点，需要满足，求得的取值范围.
【详解】因为在上单调递增，且的图象是连续不断的，
所以，解得．
故选：B.
6．若正数满足， 则的最小值为（ ）
A．8B．9C．10D．12
【答案】B
【分析】根据题意确定的正负，利用基本不等式求得答案.
【详解】由题意可得正数满足，
当时，则，
当且仅当时取等号，
当时，，不合题意；
故的最小值为9，
故选：B
7．斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画､建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形中作边长为1的正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；然后在矩形中作正方形，以为圆心，长为半径作圆弧；…；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧，，的长度分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可得，根据已知条件可得三段弧所在扇形的半径，，，圆心角为，再由弧长公式分别求得，，，即可求解.
【详解】由题意可得，因为，所以，
所以，
因为，
所以，
由可得，
同理可得，
所以，
故选：C.
8．若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】解：因为，
所以，即，
显然，
所以，所以，且，
所以是与互补的充分条件；
当与互补时，则有，且，
所以，中至少有一个数为0，
所以，，
所以，
所以是与互补的必要条件；
所以是与互补的充要条件.
故选：C.
9．函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】根据的单调性确定，由确定.
【详解】，由图知为减函数，故，所以，故A正确C错误；
由图知，所以，故B错误D正确.
故选：AD
二、多选题
10．下列运算中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】利用指数、对数、根式的运算法则化简即可.
【详解】因为，所以A错误；
因为，所以B正确；
因为，所以C错误；
因为，所以D正确.
故选：BD.
11．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据，化弦为切，求得，再根据，求得，，再根据化弦为切即可求出答案，化弦为切可得出答案.
【详解】解：因为，所以，解得，故A正确；
又因为，，所以，，，
所以，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD.
12．已知函数，实数是函数的一个零点．给出下列四个判断，其中可能成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，分情况讨论，当f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d；当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d，从而可判断出结果.
【详解】由在(0，＋∞)上单调递减，y＝lg2x在(0，＋∞)上单调递增，
可得在定义域(0，＋∞)上是单调减函数，
当0＜a＜b＜c时，f(a)＞f(b)＞f(c)，又因为f(a)f(b)f(c)＜0，f(d)＝0，
所以①当f(a)，f(b)，f(c)都为负值，则a，b，c都大于d，
②当f(a)＞0，f(b)＞0，f(c)＜0，则a，b都小于d，c大于d.
综合①②可得d＞c不可能成立．
故选：ABD
三、填空题
13．已知角的终边经过点，则 .
【答案】
【分析】利用三角函数的定义求出，再求的值.
【详解】因为角的终边经过点，
所以
所以.
故答案为：.
14．已知，，，则a，b，c的大小关系是 .
【答案】
【解析】利用诱导公式以及特殊角的三角函数值计算出的值，再进行比较.
【详解】∵，，
∴.
故答案为：.
【点睛】本题考查诱导公式的应用和特殊角的三角函数值，属于基础题.
15．若函数，且在区间上的最大值为6，则a的一个取值为 .
【答案】（或2）
【分析】讨论和时，判断的单调性，利用函数的最大值求出a的取值.
【详解】解：由题意得：
当时，函数在区间上单调递增，最大值为，解得；
当时，函数在区间上单调递减，最大值为，解得；
综上可知：a的一个取值为（或2）
故答案为：（或2）
16．已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式作出分段函数的图象，将方程有三个不同的实数根转化为与的图象有三个不同的交点，分析求解即可.
【详解】因为函数，作出函数的图象如图所示，
因为方程有三个不同的实数根，所以函数与的图象有三个不同的交点，由图可知：实数的取值范围是，
故答案为：.
四、解答题
17．已知 .
(1)化简；
(2)若是第四象限角，且 ，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的诱导公式化简，可得答案；
（2）由诱导公式结合是第四象限角可求得以及，由（1）的结果可得答案.
【详解】（1）根据诱导公式可得： ,
所以.
（2）由诱导公式可知,则由可得,
又是第四象限角,
所以, 所以.
18．已知，且满足_______________.
从①；②；③三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目.
(1)求的值；
(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若选①，利用同角关系式可得，进而可求；若选②，利用同角关系式可得，进而可求；若选③，利用同角关系式可求的值，进而可求；
（2）选①；或选②；或选③，均可得，由题意可得，代入即得答案.
【详解】（1）若选①，∵，，∴，∴；
若选②，，则，∴，
又，则，∴，
∴；
若选③，∵，又，∴，
∴，与联立解得，
∴；
（2）若选②，由及，解得.
所以，选①；或选②；或选③，均可得.
由题意可得，
∴.
19．已知函数．
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求的取值范围．
【答案】(1)偶函数
(2)．
【分析】（1）利用奇偶性的定义计算即可；
（2）利用复合函数的单调性解不等式即可.
【详解】（1）要使函数有意义，则，解得．
函数的定义域为，显然定义域关于原点对称，
，
函数为偶函数．
（2）函数，
由复合函数的单调性可知：当时，函数为减函数，
当时，函数为增函数，
不等式等价于，解得．
由，解得．
综上所述，的取值范围是．
20．已知函数.
(1)若函数是奇函数，求实数a的值；
(2)若函数在上有零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据奇函数满足，代入求解即可.
（2）将题意转化为方程在上有根，问题转化为方程在上有根，从而利用函数的单调性，求得a的取值范围
【详解】（1）∵是上的奇函数，
∴，即，得.
∴，
检验：，满足为奇函数，
故.
（2）∵函数在上有零点，
∴方程在上有根，
∴方程在上有根，
又，∴，
∴，
∴，
故实数的取值范围为.
21．用打点滴的方式治疗“新冠”病患时，血药浓度（血药浓度是指药物吸收后，在血浆内的总浓度，单位：）随时间（单位：小时）变化的函数符合，其函数图象如图所示，其中为药物进入人体时的速率，k是药物的分解或排泄速率与当前浓度的比值.此种药物在人体内有效治疗效果的浓度在到之间，当达到上限浓度时（即浓度达到时），必须马上停止注射，之后血药浓度随时间变化的函数符合，其中c为停药时的人体血药浓度.
(1)求出函数的解析式；
(2)一病患开始注射后，最多隔多长时间停止注射？为保证治疗效果，最多再隔多长时间开始进行第二次注射？（结果保留小数点后一位，参考数据：）
【答案】(1)
(2)从开始注射后，最多隔16小时停止注射，为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射
【分析】（1）根据图象可知，两个点，在函数图象上，代入后求解参数，求；
（2）由（1）求中的范围；求得后，再求中的范围．
【详解】（1）解：由图象可知点在函数图象上，
则两式相除得，解得：，
∴函数.
（2）解：由，得，解得，，
∴从开始注射后，最多隔16小时停止注射；
由题意可知，又，∴，
由，得，
即，
所以解得：，
∴为保证治疗效果，最多再隔7.7小时后开始进行第二次注射.
22．已知定义在上的偶函数和奇函数满足．
(1)求函数和的解析式；
(2)判断并证明函数在定义域上的单调性；
(3)求函数的最小值．
【答案】(1)，
(2)在上单调递减，在上单调递增；证明见解析
(3)
【分析】（1）利用奇偶性可得，与已知等式构成方程组求得；
（2）设，由可得在上的单调性，根据奇偶性可得对称区间单调性；
（3）由奇偶性定义可证得为偶函数；结合函数单调性可求得当时，，都在处取得最小值；根据偶函数性质可确定的最小值即为.
【详解】（1）为偶函数，为奇函数，，
又，，.
（2）在上单调递减，在上单调递增，证明如下：
设，
；
，，即，，
在上单调递增，
又为偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减.
（3）由题意知：的定义域为，
，为定义在上的偶函数；
当时，为增函数，为减函数，为增函数，；
令，则，由（2）知：在上单调递增，
；
当时，，
令，则，，
当时，，都在处取得最小值，则此时；
为偶函数，当时，.