2023-2024学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年安徽省黄山市屯溪第一中学高一上学期10月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，若，则中所有元素之和为（ ）
A．3B．1C．D．
【答案】C
【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果.
【详解】若，则，矛盾；
若，则，矛盾，故，
解得（舍）或，
故，元素之和为，
故选：C.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】利用全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解．
【详解】因为命题“，”，
所以命题的否定为“，”.
故选：C.
3．已知，，R且，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用举实例判断ABD，利用幂函数的单调性判断C．
【详解】解：对于A，当，时，满足，但， 所以A错误，
对于B，当，时，满足，但，所以B错误，
对于C，在R上为增函数，，，所以C正确，
对于D，当时，，所以D错误，
故选：C．
4．不等式 的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】，
解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
5．已知集合，集合若，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分类讨论m的取值，得出使成立时m的取值范围．
【详解】解：由，得：
①若，即时，，符合题意；
②若，即时，由，
则或解得，
综上可得：，
所以实数m的取值范围是．
故选：B．
6．设，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】，
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
故选：B.
7．若，是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用参变量分离法可得出，当时，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围.
【详解】对任意的，，则，
因为，则，则，.
故选：C.
8．已知的三边为，满足，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设条件，结合三角形中两边之和大于第三边及题设中的不等式，，转化为简单的线性规划求解．
【详解】解：设，，根据三角形的性质两边之和大于第三边及题设中的不等式，得，，
则，作出平面区域如下所示：
由解得，即，
由解得，即 ，
，即．
故选：．
二、多选题
9．下列叙述中正确的是（ ）
A．若，则；B．若，则；
C．已知，则“”是“”的必要不充分条件；D．命题“”的是真命题.
【答案】ABC
【分析】根据交集、并集的定义判断A，B，根据充分条件、必要条件的定义判断C，利用特例判断D；
【详解】解：对于A：若，则，故A正确；
对于B：若，则且，所以，故B正确；
对于C：由，即，所以或或或，故充分性不成立，由可以得到，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确；
对于D：当时，，故D错误；
故选：ABC
10．下列说法正确的有（ ）．
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】AD可举出反例，BC可通过不等式基本性质得到求解.
【详解】A选项，当时，满足，故，故A错误；
B选项，若，故，不等式两边同乘以，得到，故B正确；
C选项，若，不等式两边同减去得：，C正确；
D选项，当时，满足，此时，D错误.
故选：BC
11．下列命题正确的是（ ）
A．是””的充分不必要条件
B．不等式恒成立的条件是
C．已知全集则
D．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是
【答案】AB
【分析】利用命题真假的判定知识，通过集合的补集运算、充分和必要条件的判定、不等式的恒成立问题得出正确答案.
【详解】，但，
所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
B． 不等式恒成立，
则，解得，故B正确；
C． 全集，或，
所以，故C错误；
D．不等式对一切恒成立，
当时，恒成立，
当时，解得，
所以，故D错误．
故选：AB.
12．已知，，且，则（ ）
A．的最大值为
B．的最小值为
C．的最小值为
D．的最小值为16
【答案】BCD
【分析】利用基本不等式有，结合换元法解一元二次不等式求范围，注意所得范围端点取值判断A；由已知得，利用基本不等式判断B、C、D，注意最值取值条件.
【详解】因为，，
所以，仅当时，即等号成立，
令，则，故，
所以，即，仅当时右侧等号成立，
所以的最大值为，A错误；
由，则，
所以，
仅当，即时等号成立，故的最小值为，B正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，C正确；
由，仅当，即时等号成立，
所以的最小值为16，D正确.
故选：BCD
三、填空题
13．已知集合，若集合有8个子集，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据题意，可知集合中包含3个元素，结合，即可得出实数的取值范围.
【详解】解：因为集合有8个子集，所以集合中包含3个元素，
所以，所以，
则实数的取值范围为.
故答案为：.
14．已知，，其中.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】解出的范围，并设、，根据是的必要不充分条件，得出，根据集合包含关系即可得出.
【详解】解可得，即，
因为，所以，解可得，
即.
设，，
因为若是的必要不充分条件，所以，
所以有，且不能同时取等号，所以.
故答案为：.
15．,,则与的大小关系为 ．
【答案】
【分析】利用作差法，因式分解，即可得到结论．
【详解】：
又,，所以，所以，
所以
【点睛】本题主要考查不等式的大小比较，利用作差法是解决本题的关键．
16．若关于的不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意，分类讨论的值，判断得出且，由此求出不等式组的解集，即可得实数的取值范围.
【详解】解：由题可知，不等式有且只有一个整数解，
显然，当时，，解得：，不满足条件；
故，关于的不等式，
即，
当时，不等式即，
得它的解集为：，，，不满足条件；
当时，不等式即，
由于此时，故它的解集为，，
，，即，
求得或，
则实数的取值范围.
故答案为：.
【点睛】本题考查根据不等式的解集情况求参数范围，考查一元二次不等式的解法，考查运算能力和分类讨论思想，属于中档题．
四、解答题
17．已知实数、，满足，求的取值范围．
【答案】
【分析】利用待定系数法，结合不等式的基本性质即可求解．
【详解】设,
,解得，
所以，
因为，
所以
所以，即，
因此，的取值范围是.
18．已知
(1)若求实数a的取值范围
(2)若，求实数的取值范围
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题可得，即得；
（2）根据，结合集合的包含关系，即可求得的取值范围．
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴实数a的取值范围为；
（2）∵，，
∴，解得，
故实数的取值范围为.
19．已知，命题对，不等式恒成立；命题，使得成立.
（1）若为真命题，求的取值范围；
（2）若命题和命题有且仅有一个为真，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）对任意，，不等式恒成立，．利用函数的单调性与不等式的解法即可得出．
（2）存在，，使得成立，可得，命题为真时，．，中一个是真命题，一个是假命题，分类讨论分别计算再取并集．
【详解】解：（1）对任意，，不等式恒成立，
．即．解得．
因此，若为真命题时，的取值范围是．
（2）存在，，使得成立，，
所以命题为真时，．
，中一个是真命题，一个是假命题．
当真假时，则解得；
当假真时，，即．
实数的取值范围是．
【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．已知集合
(1)求的最小值；
(2)对任意，证明．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用基本不等式可求得的最小值；
（2）分析可知，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可证得原不等式成立.
【详解】（1）解：因为，且，
所以，，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为.
（2）解：由题意可知，且，所以，，
故
，
当且仅当时，等号成立，故原不等式得证.
21．“绿水青山就是金山银山”，为了贯彻落实习近平生态文明思想，探索促进“绿水青山”向“金山银山”转变的重大实践，某地林业局准备围建一个矩形场地，建立绿化生态系统研究片区，观察某种绿化植物．如图所示，两块完全相同的矩形种植绿草坪，草坪周围(阴影部分)均种植宽度相同的花，已知两块矩形绿草坪的面积均为平方米，共平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
【答案】(1)米
(2)平方米
【分析】（1）设草坪的长为米，宽为米，根据面积得到关于的等量关系，再结合长比宽至少多米得到关于的不等式，由此求解出结果；
（2）设整个绿化面积为平方米，根据图形列出的表达式，然后结合已知条件利用基本不等式求解出的最小值.
【详解】（1）设草坪的宽为米，长为米，由面积为平方米，可得，
因为矩形的长比宽至少多米，所以，
所以，解得，
又因为，所以，
所以草坪宽的最大值为米．
（2）设整个绿化面积为平方米，由题意可得
，
当且仅当即时，等号成立，
故整个绿化面积的最小值为平方米．
22．设．
(1)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围；
(2)解关于的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）化简不等式，对进行分类讨论，结合判别式求得的取值范围.
（2）化简不等式，对进行分类讨论，根据一元二次不等式的解法求得正确答案.
【详解】（1）由得，恒成立，
当时，不等式可化为，不满足题意；-
当时，满足，即，解得；
故实数的取值范围是．
（2）不等式，等价于．
当时，不等式可化为，所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，此时，
所以不等式的解集为；
当时，不等式可化为，
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为或；
③当时，，不等式的解集为或.
综上：当时，等式的解集为或--
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.-