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2023-2024学年甘肃省庆阳市环县第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年甘肃省庆阳市环县第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题，的否定为：，.
故选：C
2．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.
【详解】当，时，，故A错误；
当时，，故B错误；
∵，，显然不能得到，
例如当，时，，故C错误；
若，，则，故D正确.
故选：D.
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.
【详解】要使函数有意义，则有，
解得：且，
所以函数的定义域为，
故选：.
4．已知函数，则其图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.
【详解】，是奇函数，排除A、C，
当时，，排除D．
故选：B.
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
当时，，
，，
.
由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.
故选：C
6．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
7．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
8．已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或或B．或或
C．或或D．或或
【答案】A
【分析】根据条件可知同正或同负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果.
【详解】因为，所以或，
因为是奇函数，是偶函数，
所以时，，时，，时，，时，；
所以时，，时，，时，， 时，，
所以当时，解得或，
所以当时，解得，
综上可知，的解集为或或，
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项.
【详解】因为2是中的元素，A项正确；
“”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误；
因为，，根据子集的概念知，C项正确；
是任何集合的子集，D项正确.
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．与是同一函数
B．函数且的图象过定点
C．对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同
D．函数在其定义域内是偶函数
【答案】ABC
【分析】A：根据同一函数的概念判断即可；B：令，由此可得所过定点坐标；C：根据函数的概念进行判断；D：根据反比例函数的奇偶性直接判断即可.
【详解】对于A：，所以定义域和对应关系相同，所以是同一函数，故A正确；
对于B：令，所以，所以，所以过定点，故B正确；
对于C：函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则值肯定不同，故C正确；
对于D：反比例函数在定义域内是奇函数，故D错误；
故选：ABC.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.
【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；
由与复合，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.
故选：ABD.
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足，则
【答案】ABD
【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
又因为
，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式的性质求解即可
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
故答案为：
14．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（－4）＝ ．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解.
【详解】因为函数f（x）为奇函数，
所以．
故答案为：
15．设函数，则的单调递减区间为 ．
【答案】/
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，
设，，则函数开口向下，对称轴方程为，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故答案为：
16．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【详解】（1）原式=；
（2）原式.
18．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；
（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
19．已知函数（且）．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．
【答案】（1）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为；（2）．
【解析】（1）由不等式转化为，分，两种情况求解.
（2）根据在区间上单调，由求解.
【详解】（1）不等式可化为，
①当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为；
②当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为.
（2）,
因为函数单调，且，，
所以，
解得．
20．已知指数函数在其定义域内单调递增．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，当时．求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【详解】（1）是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
（2）
，
，令，
，
，
，
的值域为．
21．国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
(1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.
【答案】(1)，人
(2)
【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；
（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.
【详解】（1）当时，设，，则，
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人.
（2）当，，当且仅当时等号成立；
当时，．
又，所以当时，需要提供的面包数量最少．
五、问答题
22．已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由及联立方程组可解得，代入函数式检验函数为奇函数即得；
（2）把作为一个整体求解不等式得后可得结论．
【详解】解：（1）由题意可知，，
整理得，
又由，即，
整理得，
即，
解得，所以，
当时，经检验，恒成立，所以；
（2）由（1）可知，，
不等式时化为
有
有，得
故不等式的解集为．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查解指数不等式．由奇偶性求参数，一种方法可根据奇偶性的定义，利用恒等式的知识求解，另一种方法可利用特殊值求得参数值，然后代入检验．解含有指数函数的不等式时是把作为一个整体（可换元），同理注意，然后求解即可得．
一、单选题
1．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题，的否定为：，.
故选：C
2．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，且，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质以及作差法逐项分析判断.
【详解】当，时，，故A错误；
当时，，故B错误；
∵，，显然不能得到，
例如当，时，，故C错误；
若，，则，故D正确.
故选：D.
3．函数的定义域是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.
【详解】要使函数有意义，则有，
解得：且，
所以函数的定义域为，
故选：.
4．已知函数，则其图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先利用函数的奇偶性，排除选项，再取特殊值，可得答案.
【详解】，是奇函数，排除A、C，
当时，，排除D．
故选：B.
5．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先判断出在上单调递增，利用零点存在定理直接判断.
【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增.
当时，，
，，
.
由零点存在定理可得：函数的零点所在的区间是.
故选：C
6．国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过，否则由厂家免费为车主更换电池．某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为，该品牌设置的质保期至多为（ ）（参考数据：，）
A．12年B．13年C．14年D．15年
【答案】C
【分析】根据题意列出不等式，两边取对数，即可求解.
【详解】设该品牌设置的质保期至多为年，
由题意可得，，则，
两边取对数，即，则，
即，则，
因为，所以，则，又因为，所以，
故选：C.
7．已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘1法即得.
【详解】∵，
∴
，
当且仅当,即，时，取等号.
故选：C.
8．已知是奇函数，是偶函数，它们的定义域都是，且它们在上的图象如图所示，则不等式的解集为（ ）
A．或或B．或或
C．或或D．或或
【答案】A
【分析】根据条件可知同正或同负，然后结合图象以及函数的奇偶性分别求解出对应解集，由此可知结果.
【详解】因为，所以或，
因为是奇函数，是偶函数，
所以时，，时，，时，，时，；
所以时，，时，，时，， 时，，
所以当时，解得或，
所以当时，解得，
综上可知，的解集为或或，
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项.
【详解】因为2是中的元素，A项正确；
“”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误；
因为，，根据子集的概念知，C项正确；
是任何集合的子集，D项正确.
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．与是同一函数
B．函数且的图象过定点
C．对于任何一个函数，如果因变量的值不同，则自变量的值一定不同
D．函数在其定义域内是偶函数
【答案】ABC
【分析】A：根据同一函数的概念判断即可；B：令，由此可得所过定点坐标；C：根据函数的概念进行判断；D：根据反比例函数的奇偶性直接判断即可.
【详解】对于A：，所以定义域和对应关系相同，所以是同一函数，故A正确；
对于B：令，所以，所以，所以过定点，故B正确；
对于C：函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则值肯定不同，故C正确；
对于D：反比例函数在定义域内是奇函数，故D错误；
故选：ABC.
11．设函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为B．的单调递增区间为
C．的最小值为3D．的图象关于对称
【答案】ABD
【分析】根据函数定义域判断A，根据复合函数单调性以及二次函数单调性求单调区间和函数的最小值即可判断B、C，根据函数的对称性判断D.
【详解】易知函数的定义域为，选项A正确；
由与复合，而为单调递增函数，
所以函数的单调递减区间为单调递减区间，
函数的单调递增区间为单调递增区间，选项B正确；
由选项B可知，故选项C错误；
因为，所以的图象关于对称.故选项D正确.
故选：ABD.
12．已知函数.则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的图象关于点对称
C．函数在定义域上单调递减
D．若实数a，b满足，则
【答案】ABD
【分析】利用函数解析式，求解可得，即可判断A，利用可判断B，根据函数的奇偶性和复合函数的单调性可判断C，根据函数的单调性和对称中心可判断D.
【详解】对于A选项，对任意的，，
所以函数的定义域为，
又因为
，所以，故A正确；
对于B选项，因为函数满足，故函数的图象关于点对称，故B正确；
对于C选项，对于函数，该函数的定义域为，
，
即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；
对于D选项，因为实数a，b满足，则，可得，即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
13．已知，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】由不等式的性质求解即可
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
故答案为：
14．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（－4）＝ ．
【答案】
【分析】利用函数的奇偶性求解.
【详解】因为函数f（x）为奇函数，
所以．
故答案为：
15．设函数，则的单调递减区间为 ．
【答案】/
【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性法则判断即可.
【详解】要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为，
设，，则函数开口向下，对称轴方程为，
所以函数在单调递增，在上单调递减，
又在定义域上单调递增，
根据复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间为.
故答案为：
16．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据函数为幂函数及其单调性可求得的值，求出函数在上的值域，以及函数在上的值域，根据已知条件可得出关于的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为函数是幂函数，则，，
在上单调递减，则，可得，
，在上的值域为，
在上的值域为，
根据题意有，的范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．计算下列各式的值：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂及根式运算法则进行计算；
（2）利用对数运算性质计算出答案.
【详解】（1）原式=；
（2）原式.
18．已知集合，，.
(1)若是“”的充分条件，求实数a的取值范围.
(2)若，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到集合，根据是的充分条件列不等式求解即可；
（2）根据交集的定义得到，然后根据集合的包含关系列不等式求解即可.
【详解】（1）因为，所以.因为是的充分条件，
所以，解得，.
（2）因为，，所以，解得.故a的取值范围为.
19．已知函数（且）．
（1）求关于的不等式的解集；
（2）若函数在区间上的最大值和最小值之和为，求实数的值．
【答案】（1）①当时，不等式的解集为，②当时，不等式的解集为；（2）．
【解析】（1）由不等式转化为，分，两种情况求解.
（2）根据在区间上单调，由求解.
【详解】（1）不等式可化为，
①当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为；
②当时，不等式可化为，
解得，此时不等式的解集为.
（2）,
因为函数单调，且，，
所以，
解得．
20．已知指数函数在其定义域内单调递增．
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，当时．求函数的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数函数定义和单调性可解；
（2）令，利用二次函数的单调性求解可得.
【详解】（1）是指数函数，
，
解得或，
又因为在其定义域内单调递增，所以，
；
（2）
，
，令，
，
，
，
的值域为．
21．国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象已知某火车站候车厅，候车人数与时间相关，时间单位：小时满足，经测算，当时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人数为人，当，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与成正比，且时间为点时，候车人数为人，记候车厅候车人数为．
(1)求的表达式，并求当天中午点时，候车厅候车人数
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为，则当为何值时需要提供的免费面包数量最少.
【答案】(1)，人
(2)
【分析】（1）由题意，设出函数，建立方程，解得函数解析式，则求得函数值，可得答案；
（2）由（1）的函数解析式，分段整理函数解析式，求得最值，比较可得答案.
【详解】（1）当时，设，，则，
，
故当天中午点时，候车厅候车人数为人.
（2）当，，当且仅当时等号成立；
当时，．
又，所以当时，需要提供的面包数量最少．
五、问答题
22．已知函数为定义在上的奇函数.
（1）求实数的值；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由及联立方程组可解得，代入函数式检验函数为奇函数即得；
（2）把作为一个整体求解不等式得后可得结论．
【详解】解：（1）由题意可知，，
整理得，
又由，即，
整理得，
即，
解得，所以，
当时，经检验，恒成立，所以；
（2）由（1）可知，，
不等式时化为
有
有，得
故不等式的解集为．
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性，考查解指数不等式．由奇偶性求参数，一种方法可根据奇偶性的定义，利用恒等式的知识求解，另一种方法可利用特殊值求得参数值，然后代入检验．解含有指数函数的不等式时是把作为一个整体（可换元），同理注意，然后求解即可得．
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