2023-2024学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市西咸新区泾河新城第一中学高一上学期第二次月考数学试题含答案，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先得到，再根据交集的定义即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：B.
2．已知，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】，由可以推出，故必要性满足；
由不能推出，故充分性不满足；
所以是的必要不充分条件.
故选：B
3．不等式的解集为（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】C
【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】不等式，
解得.
故选：C．
4．设，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】指数式比较大小，化为同底，转化为函数单调性的问题.
【详解】因为，由于函数在R上是增函数，且，所以，即.
故选：D.
5．如图，将边长为的正方形 ABCD沿轴正向滚动，先以A为中心顺时针旋转，当B落在轴时，又以B为中心顺时针旋转，如此下去，设顶点C滚动时的曲线方程为， 则下列说法错误的为（ ）

A．B．
C．D．在区间内单调递增
【答案】C
【分析】由题意，根据正方形的运动关系得到时所对应的函数值，推出函数的周期性，可判断AB选项；当时，C点的轨迹是以为圆心，为半径的的圆，可判断C选项；根据函数的图象与周期性可判断D选项.
【详解】已知四边形为边长是的正方形，则对角线为，
由正方形的滚动轨迹可知，
当时，位于点，即；
当时，位于点，即，故A正确；
当时，位于点，即；
当时，位于点，即；
当时，位于点，即；
所以，则的周期为，
所以，故B正确；
当时，C点的轨迹是以为圆心，为半径的的圆，
此时轨迹方程为，故C错误；
由函数的图像与周期性可知在单调递增，
而，，
所以函数在区间内单调递增，故D正确.
6．若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用韦达定理建立方程求出，的值，再根据一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由已知可得，和是方程的两根，则由韦达定理可得：，
解得，，所以不等式化为：，
即，解得，所以不等式的解集为：.
故选：C.
二、多选题
7．已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A：因为，，，
所以，当且仅当时取等号，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，
当且仅当且，即时取等号，故C正确；
对于D：由，，可得，则，
所以，故D正确；
故选：ACD
8．下列命题中是假命题的是（ ）
A．函数的图象是一条直线
B．是函数
C．函数的图象与直线的交点最多有1个
D．与是同一个函数
【答案】ABD
【分析】由函数的定义域可知函数图象是离散的点，判断选项A错误；由函数的定义可判断选项BCD.
【详解】对于选项A，因为函数的定义域为，
所以其图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，故选项A错误；
对于选项B，因为要使与有意义，则，不等式组无解，
所以由函数的定义可得不是函数，故选项B错误；
对于选项C，由函数定义可知：定义域上任意自变量对应唯一函数值，定义域外没有对应函数值，
故函数的图象与直线的交点最多有1个，故选项C正确；
对于选项D，因为函数的定义域为，函数的定义域为，
所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项D错误.
故选：ABD..
9．下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．函数的图象过定点
D．若函数在内单调递增，则实数的取值范围是
【答案】BCD
【分析】选项A根据所给条件化简根式即可，B选项利用完全平方公式计算即可，C选项利用指数型函数过定点判断即可，D选项根据指数（型）函数单调性求参数的取值范围.
【详解】选项A，因为，
所以，故A错误，
选项B，因为，所以，
由
，
所以，故B选项正确，
选项C，当时，，
所以函数恒过，故选项C正确，
选项D，由函数是由复合而成，
由在上单调递增，
故由函数在内单调递增，
则可知函数在内单调递增，
所以，即，故D正确，
故选：BCD.
10．在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】利用“不动点”的定义，逐项判断.
【详解】选项A，若，则，解得或，
故该函数是“不动点”函数；
选项B，若，则，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；
选项C，若，则，
得，且，解得，该函数是“不动点”函数；
选项D，若，则，即，
在同一坐标系中，作出与的函数图象，如图，

由图可知，方程有实数根，
即存在，使，故该函数是“不动点”函数．
故选：ACD.
三、填空题
11．
【答案】102
【分析】将根式转化为分数指数幂，中提取公因式，进而化简可得解.
【详解】
.
故答案为102.
【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算，及根式与分数指数幂的转化，属于基础题.
12．已知幂函数的图象经过点，，则 .
【答案】16
【分析】设幂函数为，则，解得，代入计算得到答案.
【详解】设幂函数为，则，解得，故，
故.
故答案为：.
13．《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的计算问题，如图所示，弧田是由弧和弦所围成的图中阴影部分．若弧田所在扇形的圆心角为，扇形的面积为，则此弧田的面积为 ．

【答案】
【分析】设扇形的半径为，利用扇形的面积公式求出的值，然后利用扇形的面积减去三角形的面积可得出弧田的面积.
【详解】设扇形的半径为，则扇形的面积为，解得，
取的中点，连接，如下图所示：

因为，则，
又因为，则，
所以，，，则，
所以，，
因此，弧田的面积为.
故答案为：.
14．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
【答案】
【分析】根据题意，得出等式关系，再利用对数函数的性质运算.
【详解】当时，，
由，得
故答案为：
四、解答题
15．计算：
(1)已知，，求的值.
(2)已知，求，的值
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）由商数关系及平方关系，结合角的范围求即可；
（2）讨论为第二或第三象限角，结合同角三角函数关系求正弦、正切值.
【详解】（1）由，得：，
又，所以.
（2）因为，所以为第二或第三象限角，又.
若为第二象限角，则；
若为第三象限角，则.
16．过去，新材料的发现主要依赖“试错”的实验方案或者偶然性的发现，一种新材料从研发到应用需要10～20年，已无法满足工业快速发展对新材料的需求．随着计算与信息技术的发展，利用计算系统发现新材料成为了可能．科学家们正在构建由数千种化合物组成的数据库，用算法来预测是什么让材料变得坚固和更轻．某科研单位在研发某种产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x（单位：克）的关系为；当时，y是x的指数函数；当时，y是x的二次函数．性能指标值y越大，性能越好，测得数据如下表（部分）：
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求这种新材料的含量为何值时该产品的性能达到最佳．
【答案】(1)
(2)4克
【分析】（1）根据给定的数表，利用待定系数法求出解析式作答.
（2）分段求出函数的最值，再比较大小作答.
【详解】（1）当时，y是x的指数函数，设（且），
由数表知，满足指数函数解析式，于是得，
即当时，；
易知时，．
当时，y是x的二次函数，设（），
显然，，满足二次函数解析式，即，
解得，，，
即当时，．
所以y关于x的函数关系式．
（2）当时，，则当时，y取得最大值4；
当时，，则当时，y取得最大值8，而．
因此当时，y取得最大值8．
综上可知，当这种新材料的含量为4克时，该产品的性能达到最佳．
17．已知定义域为的函数.
(1)判断函数的单调性，并证明；
(2)解不等式.
【答案】(1)函数在区间上为增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）在定义域内任取，，且，化简，与零比较大小，确定和的大小，对函数的单调性下结论.
（2）利用函数的单调性解不等式.
【详解】（1）函数在区间上为增函数，
证明：设，
则，
又由，则，，
则有，故在上为增函数.
（2）由，则，
由（1）知在上为增函数，则，
解可得：，故不等式的解集为.
18．已知函数是奇函数.
(1)求实数的值；
(2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据得到，再验证即可；
（2）变换得到，设，根据均值不等式计算得到，即可得到m的范围.
【详解】（1）是奇函数，且定义域为，所以，即，解得.
，，所以是奇函数，
故.
（2），，恒成立，得，
因为，所以，则，所以，
设，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
又，所以，故，
所以，即.
x（单位：克）
1
4
6
…
y
2
8
4
…