2023-2024学年四川省绵阳市江油市太白中学高一上学期11月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年四川省绵阳市江油市太白中学高一上学期11月月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接求交集即可.
【详解】集合，，则.
故选：C.
2．若，则不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据不等式的性质可判断AB，举反例可判断CD.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，，故B正确；
对于C，当时，则，故C错误；
对于D，当时，则，故D错误.
故选：B.
3．的终边在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【分析】应用终边相同的角即可求解.
【详解】的终边与相同，则终边在第一象限.
故选：A．
4．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】得到函数单调性，结合特殊点的函数值，由零点存在性定理得到答案.
【详解】的图象是一条连续不断的曲线，则在上递增，
而，，，，，
可得，满足零点存在性定理，
故零点所在的区间是.
故选：C.
5．平面直角坐标系中，角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角函数的定义，结合诱导公式求解即可．
【详解】平面直角坐标系中，角的终边经过点，
则．
则．
故选：．
6．若：，则成立的一个充分不必要条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分别解一元二次不等式、对数式不等式、指数式不等式、分式不等式即可判断充分性与必要性，即可得答案.
【详解】对于A，由可得，解得，所以“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故A不符合；
对于B，可得，则，解得，所以“”成立的一个充分不必要条件，故B符合；
对于C，可得，则，解得，所以“”是成立的一个必要不充分条件，故C不符合；
对于D，由可解得或，故“”是成立的一个既不充分也不必要条件，故D不符合.
故选：B.
7．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案.
【详解】若函数有意义，则，解得，
所以函数的定义域为；
因为，所以；
所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C；
当时, ,排除选项B．
故选：D．
8．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是（，，，）的概率为．以此判断，一个数的首位数字是1的概率与首位数字是5的概率之比约为（ ）
（参考数据：，）
A．2.9B．3.2C．3.8D．3.9
【答案】C
【分析】根据所给定义及对数的运算性质计算可得.
【详解】依题意一个数的首位数字是的概率为，一个数的首位数字是的概率为，
所求的比为
．
故选：C
二、多选题
9．（多选题）下列判断错误的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据指数函数的单调性，即可比较大小.
【详解】解：对于A，和可看作函数当x分别取和时所对应的两个函数值，
因为底数，所以指数函数在R上是增函数，
又因为，所以，A选项错误；
对于B，，所以函数在R上是减函数，
又，所以，B选项错误；
对于C，在R上是增函数，，得，C选项错误；
对于D，在R上是减函数，，得，D选项正确；
故选：ABC.
10．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】根据函数解析式，逐项计算，即可得出结果.
【详解】因为，
所以，A正确；
，B正确；
，C不正确；
，D正确.
故选：ABD.
11．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．函数有最大值
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】（1）由一元二次不等式解集即可知，即函数有最大值，A正确；由可知即B正确；利用韦达定理可得，即可知C错误；易知不等式可化为，解得可知D正确.
【详解】因为不等式的解集为，所以，
函数开口向下，有最大值，A正确；
又，函数值即B正确；
又是关于的二次方程的两根，则，
所以，则C错误；
不等式即为，即，
解得或，，D正确.
故选：ABD.
12．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2B．6C．5D．4
【答案】ACD
【分析】先画出的图象，再讨论方程的根，求得的范围，再数形结合，得到答案.
【详解】画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
【点睛】本题考查了函数的根的个数问题，函数图象的画法，考查了分类讨论思想和数形结合思想，难度较大.
三、填空题
13．若一扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为 .
【答案】/
【分析】直接根据扇形的弧长公式求解即可．
【详解】，，
故答案为：.
14．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据对数的真数大于0、分母不为0可得答案.
【详解】要使函数有意义，
只需，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：.
15．已知函数，且，则 ．
【答案】
【分析】利用的解析推得，从而得解.
【详解】因为，，
所以当时，，
又，所以.
故答案为：.
16．在区间上单调递增；则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据二次函数与对数函数的性质，结合复合函数单调性的判定方法，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数在单调递减，
因为在区间上单调递增，
则满足，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知集合,或．
(1)若，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）根据并集的概念进行计算；
（2）根据交集结果得到包含关系，从而得到不等式，求出答案.
【详解】（1）时，，
故或；
（2），故，
则或，解得或，
故实数的取值范围为或
18．已知角是第三象限角，.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方关系和商数关系列方程组求解；
（2）用诱导公式化简后，再把齐次式化为关于的式子，代入已知计算．
【详解】（1）由题意，又在第三象限，，故解得；
（2）
．
19．已知幂函数在上单调递增
(1)求m的值；
(2)若，且，求的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【分析】(1)用幂函数的定义可求得的值，又由上单调递增确定.
(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.
【详解】（1）由幂函数的定义得：，或，
当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当时，在上单调递增，符合题意；
综上可知：.
（2）
当且仅当且时，即时，的最小值为8.
20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）
(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】(1)
(2)百辆，最大利润为万
【分析】（1）根据题意分情况列式即可；
（2）根据分段函数的性质分别计算最值.
【详解】（1）由题意得当时，，
当时，，
所以,
（2）由（1）得当时，，
当时，，
当时，
，当且仅当，即时等号成立，
，时，，，
时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.
21．函数，
(1)求函数的定义域；
(2)求函数的零点；
(3)若函数的最小值为，求的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用对数型复合函数的定义域求解即可；
（2）根据零点的定义结合对数的基本运算即可求解；
（3）利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】（1）解：
要使函数有意义，则，解得：
所以函数的定义域为：
（2）解：
令，得：
即
解得：
因为
所以函数的零点为.
（3）解：
且函数的最小值为
即，得
即.
22．已知函数．
(1)判断函数f (x)的单调性，并用定义给出证明；
(2)解不等式：；
(3)若关于x的方程只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)f (x)在R上单调递增；证明见解析；
(2)；
(3){－3} （1，+∞）.
【分析】（1）利用函数单调性的定义及指数函数的性质即得；
（2）由题可得，然后利用函数单调性即得；
（3）由题可得方程有且只有一个正数根，分m=1，m≠1讨论，利用二次函数的性质可得.
【详解】（1）f (x)在R上单调递增；
任取x1，x2∈R，且x1∵
∴，
∴．
即．
∴函数f (x)在R上单调递增．
（2）∵，
∵，∴，
又∵函数f (x)在R上单调递增，
∴，
∴不等式的解集为．
（3）由可得，
，
即，此方程有且只有一个实数解．
令，则t >0，问题转化为：
方程有且只有一个正数根．
①当m=1时，，不合题意，
②当m≠1时，
（i）若△=0，则m=－3或，
若m =－3，则，符合题意；
若，则t = －2，不合题意，
（ii）若△>0，则m<－3或，
由题意，方程有一个正根和一个负根，即，解得m>1．
综上，实数m的取值范围是{－3} （1，+∞）．