2023-2024学年四川省宜宾市叙州区第二中学校高一上学期第三学月考试数学试题含答案

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一、单选题
1．设{复数}，{实数}，{纯虚数}，全集，则下列结论中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】注意复数域的构成，对选项逐一分析，可得结果.
【详解】因为对于任意复数，
当时为实数，当时为虚数，当时为纯虚数，
所以复数包括实数和虚数，纯虚数是特殊的虚数，
所以对于A项，并集中还少不是纯虚数的虚数，
对于B项，交集应该为R，对于C项，结果应该为虚数集，
只有D项是满足条件的，
故选：D.
【点睛】该题考查的是有关复数域的问题，涉及到的知识点有复数的分类，集合的运算，数域简单题目.
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
【答案】D
【详解】试题分析：命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的数不是偶数”．故选D．
【解析】命题的否定．
3．若幂函数的图象经过点，则的定义域为
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】由题意得，幂函数，所以定义域为．故选D．
4．已知且，，，则M与N的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】A
【分析】利用作差法，结合配方法，比较大小.
【详解】解：因为，且，且，
所以，所以，
故选：A.
5．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型
A．一次函数模型B．二次函数模型C．指数函数模型D．对数函数模型
【答案】A
【分析】利用表格中的自变量与函数值的对应关系，发现自变量增加一个单位，函数值是均匀增加的，可以确定该函数模型是一次函数模型．
【详解】随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
故选A．
【点睛】本题考查给出函数关系的表格法，通过表格可以很清楚地发现函数值随着自变量的变化而变化的规律．从而确定出该函数的类型．
6．函数的单调减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由解析式求出函数定义域，再由复合函数单调性，即可得出结果.
【详解】由题意，，解得：或，
即函数的定义域为：，
因为函数由与复合而成，
外函数显然单调递减，
要求的单调减区间，只需单调递增，
又是开口向上，对称轴为的二次函数，
所以在上单调递增，
即函数的单调减区间为.
故选：B.
【点睛】本题主要考查求对数型复合函数的单调区间，熟记复合函数单调性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，属于基础题型.
7．设a＝lg54，b＝（lg53）2，c＝lg45，则（ ）
A．a＜c＜bB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c
【答案】D
【详解】∵a＝lg54＜lg55＝1，
b＝（lg53）2＜（lg55）2＝1，
c＝lg45＞lg44＝1，
所以c最大
单调增，所以
又因为
所以b所以b故选D．
8．已知函数，若且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．6D．9
【答案】C
【分析】根据对数函数的性质可得且，将目标式化为，应用基本不等式求最小值，注意等号成立条件.
【详解】由对数函数的性质，且且，可知：且，
所以，当且仅当时等号成立.
故选：C
二、多选题
9．已知集合，且，则实数的取值可以为（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】ABC
【分析】先判断时， 符合题意，再由时化简集合B，即得或，解得结果即可.
【详解】依题意，
当时， ，满足题意；
当时，，要使，则有或，解得.
综上，或或.
故选：ABC.
10．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】对A，根据一元二次不等式与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，利用对应的二次函数最大值大于0，即可判断
【详解】对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A正确；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，
则有，，
又，故，故B，C错误；
对D，对称轴为，由于函数开口向下，且存在大于0的部分
故当，取得的最大值必大于0，故成立，故D正确.
故选：AD
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的定义域为B．的图象关于坐标原点对称
C．在定义域上是减函数D．的值域为
【答案】AB
【解析】首先求出函数的定义域即可判断A，再判断函数的奇偶性，即可判断B；再将函数写成分段函数，求出各段的值域，最后取并集，即可判断D；
【详解】解：因为，所以，解得或，即函数的定义域为，故A正确；
所以，所以，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；
又所以在定义域上不是减函数，故C错误；
，当时，，当时，，所以函数的值域为，故D错误；
故选：AB
【点睛】本题考查函数的性质的应用，求出函数的定义域通常需满足，分母不为零，偶次方根的被开方数大于等于零，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零；
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是奇函数
C．在上是增函数D．的值域是.
【答案】BCD
【分析】由与的关系即可判断A选项是否正确；根据奇函数的定义判断B选项是否正确；
把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断C选项是否正确；
根据的值域，进一步推导出的值域判断D选项是否正确.
【详解】,且，
，不是奇函数，故A选项不正确；
，，，
,是奇函数，故B选项正确；
，，
在上单调递增，在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，故C选项正确；
,,,,
,
当时，；当时，；
,故D选项正确；
故选：BCD
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】
【分析】先采用换元法求解出的解析式，然后用代换即可求解出的解析式.
【详解】令，所以，所以，所以，
所以，所以，所以，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知的解析式（为一次函数类型），求解解析式的步骤：
（1）令，将表示为关于的函数形式；
（2）根据（1）得到的表达式；
（3）根据（2）可直接得到的解析式.
14．已知，则的最小值是 .
【答案】
【详解】由得：，所以，当且仅当时，取等号，故填.
15．已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为 .
【答案】
【分析】由题意和偶函数的性质可知函数在上为减函数，在上为增函数，结合，分类讨论当、时，利用函数的单调性解不等式即可.
【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减
所以在上为增函数，
由，得，
，当时，，
有，解得；
当时，，
有，解得，
综上，不等式的解集为.
故答案为：.
16．已知函数f(x)＝，函数g(x)＝f(x)－a有四个不同零点，这四个零点之积的取值范围是 .
【答案】
【分析】函数的零点，就是曲线与直线交点的横坐标，设四个零点从小大到依次为，，，，根据二次函数与对数函数的性质即可求解．
【详解】函数的零点，就是曲线与直线交点的横坐标，
不妨设四个零点从小大到依次为，，，，则，∴．
又，
∵，∴的取值范围是．
所以，这四个零点积的取值范围是．
故答案为：
四、解答题
17．计算下列各式的值：
（1）；
（2）
【答案】（1），（2）0
【解析】（1）利用分数指数幂和根式的运算性质求解即可；
（2）利用对数的运算性质求解
【详解】解：（1）
（2）
18．已知集合，，．
(1)求，；
(2)若集合，求实数a的值．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】（1）直接通过集合的交集运算与补集运算得出答案；
（2）通过已知利用集合的补集运算得出、，即可得出，再由集合的包含关系分类讨论，列出等式得出答案.
【详解】（1），
，；
（2）由题意可知，，
，
由可得：
当时，无解；
当时，解得，
故实数a的值为．
19．已知关于x的不等式.
(1)若，求该不等式的解集；
(2)若，求该不等式的解集.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）代入解不等式即可；
（2）整理可得，分、和三种情况，解不等式即可.
【详解】（1）当时，，
即，解得，
故该不等式的解集为.
（2）.
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20．已知函数.
(1)求与，与的值；
(2)由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
(3)求的值.
【答案】(1)），，，
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意代入0，2，-1，3求值即可；
（2）根据（1）的结果猜想，计算的值即可证明；
（3）根据（2）的结果可得，根据规律计算即可求解.
【详解】（1）解：因为，故，，，.
（2）解：猜想：，
证明：∵对于任意的，都有
∴.
故.
（3）解：由（2）得，
故，，，
所以
.
21．吉祥物“冰墩墩”在北京年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办．某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为万元．每生产万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于万盒时；当产量大于万盒时，若每盒玩具手办售价元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润＝售价－成本，成本＝固定成本＋生产中投入成本）
(1)求“冰墩墩”玩具手办销售利润（万元）关于产量（万盒）的函数关系式；
(2)当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
【答案】(1)，
(2)万盒
【分析】（1）根据题意，对产量小于或等于万盒和产量大于万盒进行分类讨论即可得出.
（2）分和讨论，利用一次函数和二次函数的性质，求得两段上函数的最大值并进行比较，即可求出答案.
【详解】（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为
，
（2）当时，在上为增函数，所以；
当时，，对称轴为，
所以在上为增函数，减函数，
则时，取到最大值为1200．
因为7001200，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大．
22．已知函数．
(1)当时，解不等式；
(2)设，当时，对任意，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)将代入函数，再由对数函数的性质求解即可；
(2)由题意可得，先判断出函数在定义域上为单调递减函数，进而得，即得，对任意成立，结合二次函数的性质求出在区间的最小值即可求得的取值范围．
【详解】（1）解：当时，
由，得，
即，等价于，
解得；
（2）解：因为对任意，，都有，
所以对任意，，都有，
设的定义域为，
又当，且时，有，即，
即，所以在I上单调递减．
因此函数在区间上的最大值与最小值分别为，．
由，
化简得，
上式对任意成立．
因为，
令，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，
所以，，
由，得．
故的取值范围为.
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27