2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期教学测评月考卷（三）数学试题含答案

这是一份2023-2024学年云南省昆明市云南师范大学附属中学高一上学期教学测评月考卷（三）数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，单空题，填空题，双空题，解答题，问答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】C
【分析】解出集合,按集合的交运算法则进行运算即可.
【详解】因为，
故选：C．
2．已知角的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的定义，求解即可.
【详解】因为角的终边过点，即，
则，
故选:A．
3．玉雕在我国历史悠久，拥有深厚的文化底蕴，数千年来始终以其独特的内涵与魅力深深吸引着世人．某扇形玉雕壁画尺寸（单位：cm）如图所示，则该玉雕壁画的扇面面积约为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用扇形的面积公式，大扇形面积减去小扇形面积即可求解
【详解】易知该扇形玉雕壁画可看作由一个大扇形剪去一个小扇形得到，设大、小扇形所在圆的半径分别为，，相同的圆心角为，则，得，又因为，所以，，
该扇形玉雕壁画面积
（）．
故选：D．
4．已知，则（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】把指数式化为对数式后，利用对数的运算性质进行计算即可.
【详解】由，可得，
所以
故选：B．
5．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.
【详解】的定义域需满足，
解得且，
故定义域为
故选：C
6．若二次函数的两个零点为2，3，则二次函数的零点是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据零点定义，借助根与系数的关系求出的值，然后求出二次函数的零点.
【详解】的两个零点为2，3，
，
，
令，得或，
故选：B．
7．已知则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，利用对数运算的性质与对数函数的单调性确定的取值范围，再根据条件求出函数的值域.
【详解】令，则，
又，
所以原函数可变为，
所以，所以的值域为，
故选：A．
8．已知命题“，使”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，将问题转化成恒成立，分和两种情况讨论，即可得出结果.
【详解】由题意知，“，使”是真命题，
当，即时，不等式可化为，符合题意；
当，即时，则且，解得，
综上，实数m的取值范围为，
故选：C．
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】把条件两边平方可判定A，D，联立平方关系式，解出方程组可判定B，D.
【详解】两边平方得：，
解得：，D正确；
故，异号，因为，所以，A正确；
由，得，
因为，解得，
故，B正确，C错误，
故选:ABD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象过定点
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于y轴对称
【答案】ACD
【分析】A选项，由对数函数的性质判断图象所过定点；B选项，数形结合，由零点的存在定理判断零点个数；C选项，由指数函数的单调性求最小值；D选项，由函数图象的对称变换研究对称性.
【详解】对A，对数函数的图象过定点，
将其向上平移1个单位得到函数，则其图象过定点，故A正确；
对B，如图所示，作出函数和函数的图象，结合图象可知，
函数满足，所以，使，
当时，指数函数的增长远快于二次函数，则此时两函数无交点，
故函数有且只有三个零点，故B错误；
对C，因为，则，所以函数的最小值是1，故C正确；
对D，把中的x用替换，得，则在同一坐标系中函数与的图象关于y轴对称，故D正确，
故选：ACD．
11．已知，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】由题设有，利用对数运算性质、基本不等式判断各项的正误.
【详解】因为，所以，
A，，所以，则，故A正确；
B，，故B错误；
C，，，
则，，所以，故C正确；
D，，，
所以，故D错误，
故选：AC
12．设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，例如．令函数，以下结论正确的有（ ）
A．
B．
C．的最大值为1，最小值为0
D．与的图象有无数个交点
【答案】BD
【分析】对于A选项，代入计算出；B选项，根据定义得到，B正确；C选项，由B选项得到的周期为1，并得到当时，，当时，，当时，，得到最值；D选项，画出的图象，数形结合得到交点个数.
【详解】对于A，由题意得，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，由选项B可知，是周期为1的周期函数，
则当时，，
当时，，
当时，，
综上，的值域为，即的最小值为0，无最大值，故C错误；
对于D，由选项C，可知，且的周期为1，
作出与的图象，
如图所示，由图象可知与的图象有无数个交点，故D正确，
故选：BD．
三、单空题
13．弧度制与角度制的换算公式： ．
【答案】
【分析】根据弧度制与角度制的换算公式进行计算即可.
【详解】．
故答案为：.
四、填空题
14．已知正实数，满足，则的最小值是 ．
【答案】6
【分析】根据基本不等式进行求解即可.
【详解】因为正实数，满足，
所以有，
当且仅当时取等号，即当时，
有最小值6，
故答案为：6
五、单空题
15．如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取）
【答案】6
【分析】根据题意求出第次“打水漂”的速率，建立不等式，解出即可.
【详解】根据题意可知，
设石片第n次“打水漂”时的速率为，则，
由，
得，则，
即，则，
故至少需要“打水漂”的次数为6．
故答案为：6.
六、双空题（新）
16．已知函数，则函数有 个零点；不等式的解集为
【答案】 2
【分析】与交点个数，即为零点个数，作出两个函数的图象，根据函数图象即可得出答案.
【详解】令，则，
故与交点个数，即为零点个数，
由在定义域上均递增，且都过，图象如图所示，
所以两函数有且仅有2个交点，故有2个零点，
由，得，由上图知．
故答案为：；.
【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：
（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；
（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.
七、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的性质运算；（2）利用对数的性质运算
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
18．如图，在平面坐标系中，第二象限角的终边与单位圆交于点，且点的纵坐标为．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由的纵坐标计算出，再由，算出，即可得；
（2）将、代入即可得.
【详解】（1）由题知，
因为，所以．
又为第二象限角，所以，
可得．
（2）.
19．已知函数．
(1)判断该函数的奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并证明，
【答案】(1)奇函数，理由见解析
(2)单调递增，证明见解析
【分析】（1）先求出，利用函数奇偶性定义判断出答案；
（2）利用定义法证明出函数的单调性.
【详解】（1）因为，且，
所以．
该函数为奇函数，理由如下：
易知其定义域为，关于原点对称，
且满足，
所以为奇函数．
（2）函数在单调递增，理由如下：
证明：取，且，
则
，
由，且，所以，
因此可得，即，
即在上单调递增．
八、问答题
20．已知奇函数的定义域为．
(1)求实数的值；
(2)当时，有解，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据条件，利用奇函数的定义，得到，再利用定义域关于原点对称即可求出；
（2）通过变形得到有解，从而转化成求函数的最小值，即可求出结果.
【详解】（1）因为函数，是奇函数，
所以，即，
即，即，
整理得，
所以，即，则，
因为定义域为关于原点对称，所以．
（2）因为，所以．
又当时，有解，
所以在上有解，
因为，所以，得到，
所以，解得，
即．
21．已知关于x的不等式的解集为．
(1)当时，求的最小值；
(2)，函数的图象恒在直线的上方，求实数m的取值范围．
【答案】(1)1
(2)．
【分析】（1）根据不等式的解的结构，利用韦达定理可求得的值，继而利用基本不等式即可求得最小值；
（2）根据题意建立不等式，参变分离后，求得函数的最值即可.
【详解】（1）由题意知和3是方程的两根，
所以解得
当时，，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为1．
（2）结合（1）可得，
对于，函数的图象恒在函数的图象的上方，
等价于在上恒成立，
即在上恒成立，
则即可，
结合（1）可得当时，取得最小值1，所以，
所以实数m的取值范围为．
九、解答题
22．已知函数的图象关于y轴对称．
(1)求函数的表达式；
(2)若函数，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，得到函数为偶函数，得到，求得，即可求解
（2）根据题意，得到，令，转化为，分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：函数的图象关于y轴对称，
即为偶函数，可得，即，
可得，解得，
所以．
（2）解：由函数，
由，可得，
令，设，
当，即时，的最大值为；
当，即时，的最大值为，
综上可得，函数.