2023-2024学年福建省建瓯市芝华中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年福建省建瓯市芝华中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】分别求出集合和的范围，直接求交集即可得解.
【详解】，
，
所以，
故选：B.
2．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】令指数为，求出，再代入计算可得；
【详解】解：令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.
故选：B
3．函数的定义域为（ ）
A．（，1）
B．（，+∞）
C．（1，+∞）
D．（，1）∪（1，+∞）
【答案】A
【详解】解：由解得，所以原函数的定义域为．
故选：A
4．设是定义在上的奇函数，则（ ）
A．-1B．0C．1D．-2
【答案】B
【分析】由奇函数的性质可求出的值，即可求出.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，解得：，
所以，则，
则.
故选：B.
5．已知偶函数的定义域为R，当时，，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由单调性与奇偶性可直接判断大小关系.
【详解】因为为偶函数，所以.
又当时，单调递增，且，
所以，即.
故选：C.
6．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性判断a，b，c的大小关系即可.
【详解】由指数函数单调性知， ，即
又，即，故，
故选：A.
7．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用乘1法即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
8．若函数有两个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将函数零点转化为函数图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可判断A；结合图象可判断零点的范围，判断B；利用函数零点即相应方程的根可得，结合对数函数性质化简可得关于的等式，化简，可判断C，D.
【详解】对于A，令，即
则由函数有两个零点，
可知有两个根，
即函数的图象有2个交点，
作出函数的图象如图，

可知要使函数的图象有2个交点，需满足，
即，A错误；
对于B，由A的分析可知函数的图象有2个交点，
交点的横坐标即为，由于，结合图象可知，B错误；
对于C，D，由题意可知，
故，而，a的取值不确定，
但是的值必一正一负，
故，即，故，
C错误，D正确；
故选：D
【点睛】方法点睛：涉及到此类海水零点问题，一般方法是将零点转化为函数图象交点问题，关键在于要判断出零点的范围，继而结合方程的根以及对数函数性质化简即可求解.
二、多选题
9．下列说法中正确的有（ ）
A．“”是“”成立的充分不必要条件
B．命题：，均有，则的否定：，使得
C．设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D．函数的单调递减区间是.
【答案】ACD
【分析】举反例可判断A选项；
由全称例题的否定是特称命题，把任意改为存在，把结论否定，可判断B选项；
由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；
由复合函数的单调性判断D选项.
【详解】对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，
所以“”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；
对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出，
所以 “”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，令，则，
在上递增，在上递减，而是增函数，
原函数的递减区间为，故答案为.故D正确，
故选：ACD.
10．若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）．
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】对底数分情况讨论即可得答案.
【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．
当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．
故选：BC
【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.
11．若函数同时满足：①对于定义域上的任意x，恒有；②在定义域上单调递减，则称函数对“理想函数”，下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【解析】根据题所给“理想函数”的定义，可知该函数是奇函数且为单调递减，然后对A、B、C、D四个选项的函数进行分析，同时满足奇函数和单调递减的函数为正确选项.
【详解】根据得为奇函致，且在定义域内单调递减.
A：是奇函数且单调递减，故A正确.
B：是幂函数且为偶函数，故B错误.
C：，在区间(-∞，0)和(0，+∞)递减，但不是单调递减函数，故C错误.
D：由的图象可知D选项正确.
故选：AD.
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数B．是偶函数
C．在上是增函数D．的值域是
【答案】ACD
【分析】根据高斯函数的定义，结合指数函数的性质，以及函数的奇偶性的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数，其定义域为，
则，即，
所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确；
对于B中，由，
可得，，所以不是偶函数，
所以B错误；
对于C中，由函数，
因为，可得为单调递增函数，则为增函数，
所以函数为单调递增函数，所以C正确；
对于D中，因为，可得，所以，则，
可得，即，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．设函数，则的值为 .
【答案】
【分析】根据分段函数的形式，利用代入法进行求解即可.
【详解】,,,.
故答案为：
14．已知幂函数在为减函数，则 .
【答案】/0.5
【分析】先利用幂函数的性质求出，即可求出.
【详解】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.
所以，所以.
故答案为：.
15．若指数函数是R上的减函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为f(x)为减函数，所以，解得，填．
16．设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性即可得解.
【详解】因为在区间上是严格减函数，而在上单调递增，
令，则在上单调递减，
又开口向上，对称轴为，
所以，则.
故答案为：.
四、解答题
17．设全集，集合，集合．
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将转化为，利用子集的定义即可列出不等式求解.
（2）将真命题转化为，然后分情况讨论集合为空集和非空集合，即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以，即，
所以实数a的取值范围是.
（2）命题“，则”是真命题，所以.
当时，，解得；
当时，，解得，所以.
综上所述，实数a的取值范围是.
18．已知函数
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)判断在上的单调性．
【答案】(1)
(2)既不是奇函数也不是偶函数，理由见解析
(3)单调递增函数
【分析】（1）根据分母不等于零得到的定义域；
（2）根据奇偶性的定义判断即可；
（3）根据单调性的定义判断单调性即可.
【详解】（1）函数的定义域为.
（2）∵函数的定义域为关于原点对称，
，同时，
∴函数既不是奇函数也不是偶函数．
（3）任取，且，
则，
由于，，且，∴，，
所以，故在上单调递增.
19．已知函数的图象经过点.
(1)求的值；
(2)求函数的定义域和值域.
【答案】(1)1
(2)的定义域为；值域为
【分析】（1）由代入计算可得；
（2）由（1）可得，即可求出函数的定义域，再将函数解析式变形为，结合指数函数与反比例函数的性质计算可得.
【详解】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，
解得；
（2）由（1）知函数，
∵，，即的定义域为，
因为，
又∵，，∴，所以的值域为.
20．已知幂函数过点
(1)求 的解析式
(2)若，则实数的取值范围是？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数定义，设，代入点即可得解析式；（2）利用幂函数单调性及其定义域，即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）依题意可知，设函数，
将点代入得 ；
所以， 的解析式
（2）由（1）知，，
易知在上为减函数，又
∴解得
.
即实数的取值范围是.
21．学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（i）函数的图象接近图示；（ii）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（iii）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（iiii）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【答案】(1)
(2)，
(3)55
【分析】（1）根据图像和函数性质选择模型，
（2）将，代入求解系数即可.
（3）将代入解析式即可.
【详解】（1）根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选；
（2）将，代入解析式得到，即，
解得，，即.
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为；
（3）由，，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟.
22．已知函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断在区间上的单调性，并证明;
(3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)-1
(2)答案见解析，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据函数的奇偶性得到，计算出或1，检验后得到答案；
（2）利用复合函数同增异减判断函数的单调性；
（3）转化为在上恒成立，令，结合（2）得到其单调性，进而求出，从而求出实数的取值范围.
【详解】（1）∵是奇函数，
∴在其定义域内恒成立，
即，故，
∴恒成立，∴或1，
当时，，不满足真数大于0，舍去，
当时，令，此时或，
所以.
（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，理由如下：
由（1）得令，
则内函数在上为减函数，
而当时，外函数在上是增函数，
当时，外函数在上是减函数，
由复合函数内外函数“同增异减”的性质得：
∴当时，在上是减函数；当时，在上是增函数.
（3）对于上的每一个的值，不等式恒成立，
则在上恒成立，
令，
由（2）知，时，在上是增函数，
又单调递减，故在上是单调递增函数，
故，
所以，即的取值范围是