2023-2024学年广东省广州市白云中学高一上学期期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省广州市白云中学高一上学期期中考试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，解答题，作图题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若集合，集合，则（ ）
A． B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据交集及并集定义计算即可.
【详解】,
，.
故选:D.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数定义域结合根式和分式运算求解.
【详解】由题意可得：，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C．
3．已知函数，若，实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选：C
4．下列命题正确的是（ ）
A．函数在上是增函数B．函数在上是减函数
C．函数和函数的单调性相同D．函数和函数的单调性相同
【答案】C
【分析】分别判断出，，和的单调性，即可判断．
【详解】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；
对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；
对于C：在是增函数，在是减函数，
，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；
对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；
设定义域为，取，
则，
当时，，即在上单调递减，
当，，即在上单调递减，
同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，
故选：C．
5．下列函数是奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据奇函数的定义判断四个选项即可.
【详解】对于A，令，定义域为，关于原点对称，
，所以为奇函数，故A正确；
对于B，令，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故B错误；
对于C，令，定义域为，不关于原点对称，
所以为非奇非偶函数，故C错误；
对于D，令，定义域为，关于原点对称，
，所以为偶函数，故D错误，
故选：A.
6．设实数满足，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】对函数化简，应用基本不等式求和的最小值.
【分析】因为，所以，
所以
当且仅当，即时，等号成立，
故选：B.
7．若，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，分，，，讨论求解.
【详解】当时，不等式化为，不恒成立，不合题意；
当时，由二次函数图象和性质知不合题意；
当时，要使，对恒成立，则
，解得，
综上可得实数的取值范围是.
故选：C.
8．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意将不等式转化为，再由在区间单调递增，得，然后求出的最小值，从而可求出的取值范围
【详解】由，得，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以可化为
因为在区间单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，解得，
即的取值范围是，
故选：A
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．16的4次方根是B．
C．D．
【答案】AD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】对于A，16的4次方根有两个，为，故A正确；
对于B，负数的3次方根是一个负数，，故B错误；
对于C，，故C错误；
对于D，是非负数，所以，故D正确．
故选：AD.
10．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（ ）
A．“”是“”的充要条件
B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件
C．“”是“”的充分条件
D．“”是“”的必要条件
【答案】BD
【分析】利用充分条件和必要条件的定义，验证各选项.
【详解】“”⇒“”为真命题，
但当时，“”⇒“”为假命题，
故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题；
“是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题，
故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题；
“”⇒“”为假命题，“”⇒“”也为假命题，
故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题；
，故“”是“”的必要条件，故D为真命题．
故选：BD．
11．实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】根据题意，由不等式的性质，对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，所以，故A正确；
令，满足，此时，故B错误；
因为，所以，，所以，故C正确；
因为，则，
因为，，所以，即，故D正确；
故选：ACD
12．下列命题中正确的是（ ）
A．若幂函数的图像过点，则
B．若函数在R上单调递增，则的取值范围是
C．已知，，且，则的最小值为
D．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则的解析式为
【答案】AC
【分析】A选项，设出函数解析式，代入点的坐标，求出解析式；B选项，举出反例；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，利用奇函数求对称区间解析式的方法求出解析式.
【详解】对于A，，将代入得，，解得，故，故A正确；
对于B，当时，，
其图象如下：

满足在R上单调递增，故B错误；
对于C，已知，，且，
，
当且仅当，即，时，等号成立，
则的最小值为，故C正确；
对于D，函数是定义在R上的奇函数，且当时，，
当时，，所以，
又因为，所以，
当时，，
所以的解析式为，故D错误，
故选：AC.
三、填空题
13．命题“矩形的对角线相等”的否定为 .
【答案】存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解即可.
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“矩形的对角线相等”的否定为
“存在一个矩形，其对角线不相等”（答案不唯一，只要否定正确即可）.
故答案为：存在一个矩形，其对角线不相等（答案不唯一，只要否定正确即可）.
14．若关于的不等式的解集为，则实数 ．
【答案】4
【分析】根据题意，转化为和是方程的根，即可求解.
【详解】由不等式，可得且，
因为不等式的解集为，
所以和是方程的根，可得.
故答案为：.
15．计算 .
【答案】
【分析】根据给定条件，利用根式运算及指数运算法则计算作答.
【详解】.
故答案为：
16．已知函数，则的单调递增区间为 .
【答案】
【分析】利用分段函数的单调性求解即可．
【详解】当时，单调递减；
当时，，在上单调递增，在单调递减；
故答案为：
四、问答题
17．已知全集，集合，.
(1)求，；
(2)求，并写出它的所有真子集.
【答案】(1)，
(2)，对应真子集有，
【分析】（1）化简集合，由交集和并集定义可求，；
（2）化简集合，由交集和补集定义求出，一一列举出真子集即可.
【详解】（1）化简得，，
所以，；
（2）由题知，，则，
则集合对应真子集有，
五、解答题
18．已知函数.
(1)写出函数图像的对称轴方程、顶点坐标以及函数的单调区间；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)对称轴方程为，顶点坐标为，
单调递减区间为，单调递增区间为；
(2)最大值为，最小值为，
【分析】（1）利用二次函数性质即可得出对称轴方程、顶点坐标，画出图象可得单调区间；
（2）根据（1）中单调性即可计算得出在区间上的最大值为，最小值为.
【详解】（1）将整理可得，
配方可得，画出函数图象如下图所示：
由图可知函数图像的对称轴方程为，顶点坐标为，
单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）由（1）中结论可得在区间上单调递减，在上单调递增；
所以在区间上的最小值为，
又，，所以在区间上的最大值为，
六、作图题
19．已知函数．
(1)用分段函数的形式表示；
(2)画出的图象；
(3)写出函数的值域．
【答案】(1)
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）直接去绝对值写出分段函数解析式；
（2）根据函数解析式作出分段函数图象；
（3）由图可得函数值域．
【详解】（1）解：
（2）解：的图象如下图所示：
（3）解：由图可知，的值域为．
七、证明题
20．已知函数，且.
(1)求；
(2)判断函数在上是单调递增还是单调递减？并证明；
(3)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)单调递增，证明加解析
(3)
【分析】（1）利用代入计算可得；
（2）由（1）可得，利用函数单调性定义即可证明得出函数在上是单调递增；
（3）根据单调性即可得出在上的值域为.
【详解】（1）由可知，解得；
（2）函数在上是单调递增；
证明如下：
由（1）可得，
取，且令，
则
；
又，所以，由，可得；
所以，即，
因此函数在上单调递增；
（3）由（2）可知在上单调递增，
所以，；
即可得在上的值域为.
八、应用题
21．党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？
【答案】(1)，
(2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元
【分析】（1）由题设，，根据图象上数据得解；
（2）列出企业利润的函数解析式换元法求得函数最值得解.
【详解】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元
由题设，，
由图知，故，又，所以．
从而，．
（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元
则，
令，则，
当时，，此时.
故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.
九、问答题
22．已知函数(k为常数，且)的图象过点和点．
（1）求函数的解析式；
（2）是奇函数，求常数b的值；
（3）对任意的，且，试比较与的大小．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）解方程组即得解；
（2）利用计算即得解；
（3）利用基本不等式推理即得解.
【详解】（1）将和点代入得，解得:，故；
（2）由（1），若是奇函数，则，
所以
所以；
（3）由题得，，
当且仅当时等号成立，
因为，所以．