2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一上学期期中测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省惠州市五校联考高一上学期期中测试数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，问答题，作图题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据被开方数是非负数，以及分母不为零，即可容易求得结果.
【详解】由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选：.
【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，属简单题.
2．已知全集为R，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误
【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误.
B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误.
C中，，错误.
D中，由，则，，正确.
故选：D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】首先解出不等式，再根据集合的包含关系判断即可.
【详解】由，即，解得或，
因为是的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据幂函数的性质可得，即可代入求解.
【详解】因为为幂函数，所以，解得，或，
又的图象与坐标轴无公共点，故，所以，故，
所以.
故选:A.
5．下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】能用二分法求零点的函数，必须满足函数在零点的左右两侧函数值异号，逐一检验各选项即可得出结论.
【详解】易知函数的零点为，而在零点左右两侧的函数值符号都为正，不是异号的，故不能用二分法求函数的零点；
而选项A、B、D中的函数，它们在各自的零点左右两侧的函数值符号相反，可以用二分法求函数的零点；
故选：C
6．声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）．某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40dB．现已知3位同学课间交流时，每人的声强分别为，，，则这3人中达到班级要求的人数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.
【详解】依题意，，
∴，
故声强为，的两人达到要求，
故选：C
7．对于任意的实数x，已知函数，则的最大值是（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【分析】根据函数解析式画出函数图象，数形结合即可判断；
【详解】解：因为，函数图象如下所示：
由函数图象可知，当时，函数取得最大值
故选：C
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木?”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里B．里C．里D．里
【答案】D
【分析】根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】选项A：由，可得.判断正确；
选项B：令，
满足，但是
则不成立.判断错误；
选项C：由，可得，
则不等式两边均除以可得.判断正确；
选项D：
又，则，
则，则.判断正确.
故选：ACD
10．若集合A，B满足：，，则下列关系可能成立的是（ ）
A．ABB．C．BAD．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，“举例子”说明判断A，B，D；利用子集的定义说明判断C作答.
【详解】当A={1，2}，B={1，2，3}时，有，满足条件“，”，且有AB，{1，2}，则A正确，B正确.
若BA，则，都有，与“，”矛盾，那么B不可能是A的真子集，则C错误.
当A={1，2}，B={3，4}时满足条件“，”且有，则D正确.
故选：ABD
11．下列说法正确的是（ ）
A．与是同一函数
B．已知，则
C．对于任何一个函数，如果因变量y的值不同，则自变量x的值一定不同
D．函数在其定义域内是单调递减函数
【答案】AC
【分析】根据同一函数定义判断A，赋值法求函数值判断B，根据函数定义判断C，根据单调区间定义判断D.
【详解】与的定义域与对应法则相同，故为同一函数，A正确；
令得，令得，所以，故B错误；
函数中一个值只能对应一个值，如果值不同，则的值一定不同，故C正确；
的单调减区间为和，但不能说在其定义域内单调递减，故D错误.
故选：AC
12．定义域和值域均为的函数和 的图象如图所示，其中，给出下列四个结论正确结论的是（ ）
A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有四个解
C．方程有且仅有八个解D．方程有且仅有一个解
【答案】AD
【解析】通过利用和，结合函数和的图象，逐项分析，即可求解.
【详解】对于A中，设，则由，即，
当时，则有三个不同的值，
由于是减函数，所以有三个解，所以A正确；
对于B中，设，则由，即，解得，
因为，所以只有3个解，所以B不正确；
对于C中，设，若，即，
当或或，则或或，
因为，所以每个方程对应着3个根，所以共有9个解，所以C错误；
对于D中，设，若，即，所以，
因为是减函数，所以方程只有1解，所以D正确.
故选：AD
【点睛】利用函数的图象求解方程的根的个数或研究不等式问题的策略：
1、利用函数的图象研究方程的根的个数：当方程与基本性质有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程的根就是函数与轴的交点的横坐标，方程的根就是函数和图象的交点的横坐标；
2、利用函数研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.
三、填空题
13．命题“”的否定是 .
【答案】
【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题写出答案即可.
【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以命题“”的否定是：.
故答案为：
14．给出函数的两个性质：①是偶函数；②在上是减函数.写出一个同时满足性质①、性质②的函数解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的两个性质，写出符合条件的函数即可.
【详解】的定义域为，且，则为偶函数，
因为二次函数开口向下，对称轴为，所以在上为减函数.
故答案为：（答案不唯一）
15．已知指数函数经过点(2,9)，则不等式的解集为 ．
【答案】(1,2)
【分析】由指数函数经过(2,9)求出该函数的解析式，再结合指数函数的单调性求的解集.
【详解】设且，所以有，解得，即，
因此函数为R上的增函数，
因为，所以，解得，
故答案为：.
16．已知，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】依题意可得，再由基本不等式“”的妙用即可得解.
【详解】因为，
所以，，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
显然此时有解，所以的最小值为.
故答案为：.
四、问答题
17．已知p：实数x满足（其中）q：实数x满足
（1）若，且p与q都为真命题，求实数x的取值范围.
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意明确二者为x真时的范围，进而求交集即可；
（2）p是q的必要不充分条件则 ，即.
【详解】（1）若，p为真，q为真：
∵p，q都为真命题，
∴x的取值范围为
（2）设，
∵p是q的必要不充分条件，∴ ，∴，∴解得
综上a的范围为.
【点睛】本题考查解集合间的关系，p∧q的真假和p，q真假的关系，以及充分条件、必要条件、必要不充分条件的概念．属于基础题．
五、作图题
18．已知函数．
（1）用分段函数的形式表示该函数；
（2）画出该函数的图象；
（3）写出该函数的值域．
【答案】（1）；（2）图象见解析；（3）.
【详解】试题分析：（1）根据零点分段法去绝对值，求得分段函数为；（2）由（1）画出函数的图象；（3）由（2）可知，函数的值域为.
试题解析：
（1）
（2）画图（如图）．
（3）值域．
【解析】分段函数图象与性质．
六、问答题
19．已知函数，，设.
（1）求的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）若，求x的范围.
【答案】（1）（2）函数为奇函数，详见解析（3）
【分析】（1）求得函数，由对数函数性质，列出不等式组，即可求解函数的定义域；
（2）由函数的解析式，求得可得，即可得函数的奇偶性；
（3）由，求得，得出且，即可求解x的范围，得到答案.
【详解】（1）根据题意，函数，，
可得，
则有，解可得，即函数的定义域为；
（2）由（1）知，函数，
其定义域为，关于原点对称，
又由，
即，所以函数为定义域上的奇函数.
（3）由，即，
则满足且，解可得，
所以x的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，以及函数不等式的求解，其中解答中注意函数的定义域，防止错解，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
七、解答题
20．某公园池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系如下表所示：
现有以下三种函数模型可供选择：①，②，③，其中均为常数，且.
(1)直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出关于的函数解析式；
(2)若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到所经过的时间分别为，写出一种满足的等量关系式，并说明理由.
【答案】(1)模型②，
(2)，理由见解析
【分析】（1）根据表格数据选择函数模型，然后求解析式；
（2）根据指数幂运算公式计算.
【详解】（1）应选择函数模型②.
依题意，得，
解得，
所以关于的函数解析式为.
（2）.
理由：依题意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
八、证明题
21．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，.
(1)求在R上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并给出证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可；
（2）根据函数单调性的定义进行判断、证明即可.
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
当时，，所以当时，则，则，
则，，所以；
（2）在上单调递减，证明如下：
设，则
，
因为，所以，，，
则，即，即函数在上单调递减.
九、问答题
22．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求：
①的最小值；
②讨论关于m的方程的解的个数．
【答案】(1)
(2)①；②答案见解析
【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；
（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；
②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.
【详解】（1）（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
（2）（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.
时间月
1
2
3
4
浮萍的面积
3
5
9
17