2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高级中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广西壮族自治区柳州市高级中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，单空题，问答题，证明题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
2．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用根式与分式有意义，结合交集的定义即可求解.
【详解】要使有意义，则，解得且.
所以函数的定义域为.
故选：B.
3．已知,则是的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解不等式，再根据不等式的解集即可得到答案.
【详解】因为或.
所以是的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查充分不必要条件，同时考查了二次不等式，属于简单题.
4．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先求的范围，再求的范围.
【详解】因为，所以，
而，所以.
故选：B
5．要使的图象不经过第一象限，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的相关知识，找到该函数与轴的交点坐标,并结合单调性，只需该点的纵坐标小于等于0即可.
【详解】函数的图象与轴的交点坐标为，且为减函数，
要使图象不经过第一象限，则，解得.
故选：B.
6．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的单调性可比较与的大小；根据幂函数的单调性可比较与的大小.
【详解】因为，，函数在上单调递减，
所以，即；
又，，函数在上单调递增，
所以，即，
所以.
故选：C.
7．已知函数，若函数f(x)在R上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】令，，解不等式组即得解.
【详解】对于任意给定的不等实数，，在为增函数.
令，.
要使函数在上为增函数，
则有在区间上为增函数，
在区间上为增函数且，
∴，解得.
故选：D
【点睛】结论点睛：一个两段的分段函数是增函数，要满足两个条件，一是两个函数都是增函数，二是左边函数的最大值小于等于右边函数的最小值.
8．若幂函数的图象过点，则的值域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数类型，结合待定系数法求得参数，再利用换元法求函数值域即可.
【详解】因为为幂函数，故可得；又，故可得，
则，令，则，且，
故的值域与的值域相等，
又在单调递增，在上单调递减，
当时，，故，即的值域为：.
故选：C.
二、多选题
9．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】BD
【分析】根据函数的“三要素”一一判断每个选项中的函数，看定义域和对应关系是否相同，即可得答案.
【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，A错误；
对于B，的定义为域为R，的定义域为R，
二者对应关系也相同，值域都为，故二者表示相同函数，B正确；
对于C，的定义域为R，的定义域为，
故二者不是相同函数，C错误；
对于D，与的的定义域均为，对应关系相同，
值域均为，故二者表示相同函数，D正确；
故选：BD
10．已知正数满足，则下列选项正确的是（ ）
A．的最小值是2B．的最大值是1
C．的最小值是4D．的最大值是
【答案】ABD
【分析】根据题中条件及基本不等式，逐项分析即可.
【详解】因为，所以，
则
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是2，故A正确；
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
即的最大值是1，故B正确；
，
当且仅当时，等号成立，
即的最小值是，故C错误；
因为，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值是，故D正确，
故选:ABD.
11．已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】运用幂的乘方公式，完全平方公式以及立方和公式建立，，，以及之间的内在联系即可求得.
【详解】因为，所以，
对于A选项，由，可得，故A项错误；
对于B选项，，故B项正确；
对于C选项，由，又，所以，则，故C项正确；
对于D选项，因故D项正确.
故选：BCD.
12．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.现已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数为奇函数
B．当时，在上单调递增
C．若方程有实根，则
D．设定义域为的函数关于中心对称，若，且与的图象共有2024个交点，记为，则的值为4048
【答案】ACD
【分析】对于A，得到判断；对于B，由，判断；对于C，令得到判断；对于D，由A得到时，关于中心对称判断.
【详解】对于A，因为，所以是奇函数，故A正确；
对于B，因为，，所以，当时，在上不是单调递增，故B错误；
对于C，令，显然，所以，因为，所以，故C正确；
对于D，由A可知，当时，关于中心对称，且关于中心对称，所以这2024个交点关于对称，故，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．命题“”的否定为 ．
【答案】
【分析】对全称特称量词的否定用全称量词，直接写出.
【详解】解：命题“，”的否定为“，”.
故答案为：，.
14．化简 ．
【答案】2
【分析】利用指数幂的计算公式化简即可.
【详解】原式.
故答案为：2.
15．不等式的解集是 .
【答案】
【分析】通分后转化为一元二次不等式求解．
【详解】不等式化为，所以，或．
所以不等式的解集为．
故答案为：．
四、单空题
16．已知是定义在上的奇函数，对任意，都有，且.对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】/.
【分析】根据题设条件，先判断函数的单调性，再利用奇函数，将抽象不等式进行等价转化成闭区间上的恒成立问题来解决.
【详解】不妨设，则
,故为上的减函数，
又是定义在上的奇函数，
故由可得，
因函数在上为减函数，可得在上恒成立，
故得，
因在为减函数，为增函数.
所以在为增函数，为减函数，
所以在恒成立，因
则时，故.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：此题主要考查抽象不等式和恒成立问题.
首先要根据题设条件判断函数的单调性，运用奇函数，将抽象不等式去掉“”，从而等价转化成闭区间上的恒成立问题，通过参变分离法求出参数范围.
五、问答题
17．已知集合．
(1)分别求，；
(2)已知，若，求实数a的取值范围．
【答案】(1)，.
(2)
【分析】（1）根据题意求得，结合集合交集、并集的运算，即可求解；
（2）由，得到，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，集合，
所以，.
（2）解：由集合，且
因为，可得，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
18．（1）已知不等式的解集为，求实数的值
（2）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
【答案】（1），（2）
【分析】（1）由不等式的解集得相应一元二次方程的根，结合韦达定理可得参数值；
（2）先验证时满足题意，然后根据二次函数的性质得出结论（利用判别式求解）．
【详解】（1）由不等式的解集为可得.
所以，代入得，
当时，为，它的解集为，符合题意.
所以.
（2）当时，，符合题意
当时，二次函数开口朝上，不可能对一切实数都成立.
当时，若对一切实数都成立，则，即，解得.
综上，为所求.
19．若函数满足.
(1)求函数的解析式；
(2)若不等式在上恒成立.求实数的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定的条件，利用换元法求出解析式即得.
（2）利用（1）的结论，分离参数构造函数并求出最大值，结合不等式恒成立求解即得.
【详解】（1）在中，令，则，
于是，整理得，
所以函数的解析式为.
（2）由（1）知，不等式为，即，
而，则，依题意，，恒成立，
函数在上单调递减，则当时，，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
六、证明题
20．已知定义在上的奇函数，.
(1)求；
(2)判断并证明在定义域上的单调性.
(3)若实数满足，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)函数在上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）由是定义在上的奇函数，则有，得出后再代回检验即可得；
（2）由可判断为上的单调递减函数，结合单调性定义证明即可；
（3）结合函数单调性与奇偶性应用即可得.
【详解】（1）由题意，函数是定义在上的奇函数，可得，解得，
当时，，
，是奇函数，
故.
（2）是上的单调递减函数，证明如下：
任取、且，
则，
因，故，从而有，
即，所以函数在上单调递减；
（3）由，故，即，
由在上单调递减，可得，
即，解得或，
即实数的取值范围.
七、应用题
21．武清政府为增加农民收入，根据本区区域特点，积极发展农产品加工业.经过市场调查，加工某农产品需投入固定成本3万元.因人工投入和仪器维修等原因，每加工吨该农产品，需另投入成本万元，且已知加工后的该农产品每吨售价为10万元，且加工后的该农产品能全部销售完.
(1)求加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式；
(2)求加工多少吨该农产品，使加工后的该农产品利润达到最大？并求出利润的最大值.
【答案】(1)；
(2)加工（吨），利润的最大值6万元.
【分析】（1）根据已知条件及投入成本函数，讨论、对应利润函数式，即可得其分段函数形式；
（2）分别求出不同分段上的最值，并比较大小，即可得结果.
【详解】（1）当时，.
当时，.
故加工后该农产品的利润（万元）与加工量（吨）的函数关系式为：
.
（2）当时，，
所以时，取得最大值5万元；
当时，因为，当且仅当时，等号成立，
所以当时，取得最大值6万元，
因为，故当时，取得最大值6万元.
八、问答题
22．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，.
(1)求，的值；
(2)当时，求函数的表达式；
(3)若函数的图象与直线四个不同的交点，求实数k的取值范围.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据函数的解析式结合函数的奇偶性即可得解；
（2）设，则，求出结合函数的奇偶性即可得解；
（3）函数的图象与直线四个不同的交点，即方程有四个不等的实根，即方程有四个不等的实根，即函数的图象与直线有四个不同的交点，作出二者图象，结合函数图象即可得解.
【详解】（1）根据题意，当时，，
则，
；
（2）设，则，
又由函数为偶函数，
则，
则当时，；
（3）由（2）可知，，
函数的图象与直线四个不同的交点，
即方程有四个不等的实根，
又不适合上式，，
，
问题等价于函数的图象与直线有四个不同的交点，作出二者图象，
由图象可知，，
实数的取值范围.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.