2023-2024学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期11月期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高一上学期11月期中联考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，未知等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义直接求解即可.
【详解】由，，可得.
故选：A.
2．“”的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合充分不必要条件的定义，即可求解.
【详解】根据充分不必要条件的定义，可得的一个充分不必要条件，即找集合的一个真子集，结合选项，可得集合是它的一个真子集.
故选：B.
3．下列哪个选项中和是同一个函数（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据函数的定义域、对应关系等知识确定正确答案.
【详解】选项A：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
选项B：的定义域为，的定义域为，故不是同一函数；
选项C：，的定义域均为，可化，故是同一函数；
选项D：，的定义域均为，，解析式不同不是同一函数.
故选：C
4．下列结论正确的是（ ）
A．若，，则B．若，则
C．若，则D．若，，则
【答案】D
【分析】根据不等式的性质判断．
【详解】选项A：应为，例如，满足，故错误；
选项B：若，则，故错误；
选项C：取，，则，故错误；
选项D：，又，∴，即，正确.
故选：D.
5．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，
解得，，即.
故选：D.
6．若，则函数的最小值是（ ）
A．B．C．4D．5
【答案】D
【分析】先对已知函数变形，令，则，然后判断在的单调性，从而可求出其最小值.
【详解】，令，则，
设，，任取，且，
则
，
因为，且，所以，，
所以，所以，即，
所以在单调递增，
所以.
故选：D.
7．已知不等式的解集为，且不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】由已知两个一元二次不等式的解的情况得出满足的关系，然后判断出不等式的解的情况．
【详解】由不等式的解集为，
且不等式的解集为，可得
，则，
又在中，，∴不等式的解集为R，
故选：B.
8．若函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，现有函数，则它的对称中心为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数图象成中心对称图形的充要条件，结合已知条件求解即可.
【详解】设的图象关于点成中心对称图形，
所以由题意得为奇函数，
所以，
所以，
因为上式对定义域内的任意都成立，所以，得，
所以的对称中心为.
故选：B.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定是“，”
B．命题“，”为真命题
C．语句“能被2和3整除”不是命题
D．“”是“”的既不充分也不必要条件
【答案】ACD
【分析】考查命题的否定，全程与特称间转化，用定义和举例分析即可.
【详解】选项A全程命题和特称命题转化，改变不等号；故A正确；
选项B中方程的，故方程无解，故B错误；
选项C无法判断真假，故不是命题，故C正确；
选项D举反例可知正确，故D正确；
故选：ACD.
10．下列比较大小正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据指数函数与幂函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由指数函数为单调递增函数，可得成立，所以A正确；
对于B中，由幂函数为单调递增函数，可得成立，所以B不正确；
对于C中，由指数函数为单调递减函数，可得成立，所以C正确；
对于D中，由，所以，所以D不正确.
故选：AC.
11．如图，在中，，，，点是斜边上（除端点，外）的一点，且点到两直角边，的距离分别为1和2，则下列说法正确的是（ ）
A．且
B．的面积
C．的最小值为8
D．当最小时，则，
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，求出三角形面积直接判断AB；利用基本不等式及“1”的妙用求解判断CD即得.
【详解】观察图形知，A正确；
显然，B正确；
由，得，因此，
当且仅当，即时取等号，C错误；
由，得，即，当且仅当，即时取等号，D正确.
故选：ABD
12．对任意的，，函数满足，且，当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．函数为奇函数
C．当时，D．在上单调递增
【答案】ACD
【分析】利用赋值法，结合函数的奇偶性、单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】令，，则有，可得，选项A正确；
令，则，可得，选项B错误；
当时，，令，则，则，
据题意可得，
∵，且时，∴，
即，可得，∵，∴，
∴当时，，选项C正确；
任取则
，
又∵，∴，∴，
即，即在上单调递增，选项正确.
故选：ACD
【点睛】求解抽象函数的函数值问题，可以考虑利用赋值法进行求解.求解抽象函数的奇偶性问题，可以考虑利用奇偶性的定义来进行判断.求解抽象函数的单调性，可以考虑利用单调性的定义，由的符号判断出函数的单调性.
三、填空题
13．已知函数，则 .
【答案】3
【分析】根据分段函数的表达式直接计算．
【详解】.
故答案为：3.
14．某年级先后进行了数学、物理竞赛，其中有65人参加了数学竞赛，有51人参加了物理竞赛，有12人同时参加了数学、物理竞赛，则参加了竞赛的总人数为 人.
【答案】
【分析】根据题意，结合集合的思想，即可求解.
【详解】根据题意，参加竞赛总人数为人.
故答案为：
15．函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，则当时，的值域为 .
【答案】
【分析】根据函数的定义求出函数解析式，从而可求出其值域.
【详解】因为，
所以当时，，
所以函数的值域为.
故答案为：.
四、双空题
16．若函数，则的值为 .；不等式的解集为 .
【答案】
【分析】根据函数的解析式，由求得的值，根据函数的单调性化简不等式，从而求得不等式的解集.
【详解】∵且，
∴；
又不等式可化为：，
即，
且由基本初等函数知在上单调递增，∴，
即，∴.
故答案为：；
五、解答题
17．计算.
(1)，（，）；
(2).
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质求解即可；
（2）先将根式化为分数指数幂的形式，然后根据分数指数幂的运算性质求解即可.
【详解】（1）原式；
（2）原式
.
18．已知集合，非空集合.
(1)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据必要不必要条件与集合间的等价关系，根据集合的包含关系列出不等式解出；
（2）根据已知条件和问题列出不等式组即可解出.
【详解】（1）∵是的必要不充分条件，
∴是的真子集.
∴，
解得.
∴实数的取值范围为.
（2）由，
可得或，
解得或.
∴实数的取值范围为.
19．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．设甲每次购买这种物品的数量为m，乙每次购买这种物品所花的钱数为n．
(1)若两次购买这种物品的价格分别为6元，4元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；
(2)设两次购买这种物品的价格分别为元，元（，，且），甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为．通过比较，的大小，说明问甲、乙谁的购物策略比较经济合算．
【答案】(1);
(2)第二种购物方式比较划算．
【分析】（1）甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，由两次所花钱数除以购物数量可得平均价格；
（2）利用平均数计算公式，分别计算出平均数，即可表示出来．再利用作差法比较两种购物方式中，哪种划算．
【详解】（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为：，
乙两次购买这种物品平均价格为：；
（2）甲两次购物时购物量均为，则两次购物总花费为，
购物总量为，平均价格为．
设乙两次购物时用去的钱数均为，则两次购物总花费，购物总量为，
平均价格为，
， ，
，
故：第二种购物方式比较划算．
六、未知
20．已知表示实数，，中最大的数，例如，若函数.
(1)写出函数的解析式，画出它的图象；
(2)若，求实数的取值范围.
【答案】(1)，作图见解析
(2).
【分析】（1）根据题意，结合初等函数的性质，得出函数的解析式，并作出图象；
（2）根据题意，分当、和，三种情况讨论，列出不等式，进而求得不等式的解集.
【详解】（1）解：由，
当时，可得；
当时，可得；
当时，可得，
所以函数的解析式为，
函数的图象，如图所示，
（2）解：由不等式，则：
当时，令，解得，所以；
当时，令，解得，所以；
当时，令，解得，所以，
综上，不等式的解集为.
七、解答题
21．已知函数.
(1)若，求在的最小值；
(2)若，且对于，有成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2).
【分析】（1）根据二次函数的对称轴进行分类讨论，结合二次函数的性质求得正确答案.
（2）由不等式分离参数，利用换元法，结合函数的单调性求得的取值范围.
【详解】（1）的对称轴为，∵，∴.
1° 当即时，在单调递增，∴；
2° 当，即时，；
综上：当时，；当时，.
（2），即，化简得：，
又恒成立，∴，
故，恒成立，即为.
令，，则，
∵，由对勾函数单调性知在单调递减，
∴，∴，即.
∴实数的取值范围为.
【点睛】求解含参数的二次函数在闭区间上的最值问题，主要方法是分类讨论法，分类讨论要做到不重不漏，分类讨论标准的制定主要根据二次函数的开口方向、对称轴、判别式等等.求解不等式恒成立问题，可以考虑利用分离参数法来进行求解.
22．若函数在定义域的某区间上单调递增，而在区间上单调递减，则称函数在区间上是“弱增函数”.
(1)判断和在上是否为“弱增函数”（写出结论即可，无需证明）；
(2)若在上是“弱增函数”，求实数的取值范围；
(3)已知（是常数且），若存在区间使得函数在区间上是“弱增函数”，求实数的取值范围.
【答案】(1)不是上的“弱增函数”；是上的“弱增函数”
(2)
(3).
【分析】（1）根据“弱增函数”的定义直接判断即可；
（2）根据“弱增函数”定义可知在上单调递增，在上单调递减，然后利用二次函数与对勾函数的图象及其性质求解参数的范围即可；
（3）由于函数是分段函数，我们需要分，及三种情况，分别根据“弱增函数”定义结合二次函数、对勾函数图像及其性质分别求解参数的取值范围，最终得到的范围.
【详解】（1）由于在上单调递增，且也在上单调递增，
不是上的“弱增函数”；
由于是上单调递增，但在上单调递减，
是上的“弱增函数”.
（2）若在上是“弱增函数”，
则在上单调递增，在上单调递减.
的对称轴为，∴在上单调递增，满足题意；
令，∵，∴为对勾函数，
当时，，由对勾函数性质知：在单调递减，
∴当时，即时，在上单调递减；
∴在上为“弱增函数”时，的取值范围是.
（3）∵，∴.
当时，据观察知在为常数函数，故不是“弱增函数”；
当时，若在区间上为“弱增函数”，则单调递增，单调递减.令.
当时，由基本初等函数知在单调递增，故不可能为“弱增函数”；
当时，为对勾函数，在单调递减，在单调递增.的对称轴为；
∴为“弱增函数”可得或，解得或.
∴时，为“弱增函数”；
当时，若为“弱增函数”，则，解得；
综上所述，的取值范围是.