2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省宿迁市沭阳县高一上学期期中数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为，
故.
故选：C.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定为存在命题，从而求解.
【详解】由题意得：“”的否定为“”，故A项正确.
故选：A.
3．已知函数，且，那么的值为（ ）
A．1B．5C．D．3
【答案】B
【分析】由可得，即可得出答案.
【详解】因为，则
则，
令，即，因为，
所以.
故选：B.
4．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案.
【详解】由题得，，代入得
，求得，
所以，当时，解得，
所以选：B.
5．已知二次函数的两个零点都在区间内，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可.
【详解】设，
因为二次函数的两个零点都在区间内，
所以，则，即，
故实数的取值范围是：.
故选：C.
6．已知，则“”的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判定即可.
【详解】A.，但，故“”是“”的不必要条件，故A错；
B.，所以“”是“”的充分条件，B错；
C.，所以“”是“”的充分条件，C错；
D. 推不出，若，则，所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：D.
7．若函数存在最大值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当时，，无最大值，所以函数在时取到最大值，然后根据反比例函数的图像和性质分析即可.
【详解】当时，，
又函数存在最大值，
所以函数在时取到最大值，又时，，
当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数，
所以，故，
故选：D.
8．已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．6
【答案】A
【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出与的关系式，再利用基本不等式求的最小值．
【详解】因为是不等式的解集，
所以是方程的两个实数根且，
所以，，
所以，且，；
所以，
当且仅当时“”成立；
所以的最小值为．
故选：A．
二、多选题
9．已知函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则是上的增函数
B．若，则在上不是减函数
C．若，则不是偶函数
D．若，则不是奇函数
【答案】BC
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义分别进行判断即可．
【详解】函数单调递增，需要变量大小关系恒成立，故A错误，
若，则函数一定不是减函数，故B正确，
若，则一定不是偶函数，故C正确，
当时，也有可能是奇函数，故D错误，
故选：BC．
10．已知非空集合都是的子集，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】根据子集的定义和集合的基本运算判断正误.
【详解】A. ，所以，故A正确；
B. ，则，所以，故B正确；
C．若，，
则，，故C错误；
D.，所以，所以又，
所以，故，所以D正确.
故选：ABD.
11．若，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】取特值可判断A，D；由不等式的性质可判断B，C.
【详解】对于A，取，但，故A错误；
对于B，若，对不等式两边同时平方则，故B正确；
对于C，若，则，所以，故C正确；
对于D，若，取，则，故D错误.
故选：BC.
12．已知，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由指数式与对数式的互化可得出，利用换底公式结合对数运算性质可判断A；由基本不等式可判断B，C，D；
【详解】因为，所以，
即，故，故A正确；
因为，，
所以成立，故C正确；
，
故，故B错误；
成立，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．若命题“”为假命题，请写出一个满足条件的的值 ．
【答案】1（答案不唯一，1或2均可）
【分析】找出原命题的等价命题，即可写出答案.
【详解】或，
命题“”为假命题，所以的值可取1或2.
故答案为：1.
14．已知，则 ．（用表示）
【答案】
【分析】根据给定条件，利用换底公式求解即得.
【详解】由，得，又，
所以.
故答案为：
15．古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ．
【答案】
【分析】设，，，根据已知结合半圆的面积公式得出，即可根据勾股定理得出，即可根据基本不等式得出答案.
【详解】设，，，
以斜边为直径的半圆弧长为，
则，即，
为直角三角形，
，即，
则，
即，当且仅当时，等号成立，
则，即周长的最大值为.
故答案为：.
16．已知函数是上的奇函数，且，；定义域为的函数的图象如图所示，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据题意分析所以是上的减函数，且，然后利用函数的性质将等价转化，分类讨论即可求得答案.
【详解】，，所以在单调递减，
又是上的奇函数，所以是上的减函数，且，
或，
即或
解得.
故答案为：
四、解答题
17．已知非空集合，函数的定义域为．
(1)若，求；
(2)在①；②；③；这三个条件中任选一个，求满足条件的实数构成的集合．
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个条件的解答计分．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）应用集合的补集与交集的运算即可；
（2）分析出集合A、B的包含关系，结合数轴即可求解.
【详解】（1）由得，
当时，，或，
所以，；
（2）选①，则，
由，得，
所以，解得，
所以满足条件的实数构成的集合．
选②，则，
由，得，
所以，解得，
所以满足条件的实数构成的集合．
选③，
由，得，
所以或，解得
所以满足条件的实数构成的集合．
18．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据指数和对数公式化简；
（2）利用立方和差公式和指数公式化简求解.
【详解】（1）原式；
（2）因为，所以，
所以．
19．已知集合．
(1)当时，请判断“”是“”的什么条件；（选择“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”之一）
(2)若命题“”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】(1)充分不必要条件
(2)
【分析】（1）分别求出集合A和B，即可判断；
（2）因为命题“”是真命题，所以， 然后分类讨论求出集合B，即可判定.
【详解】（1）由，得，所以，
当时，由，得，所以，
因为为的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.
（2）因为命题“”是真命题，所以，
由，得，
①若，则，，舍去，
②若，则，，舍去，
③若，则，因为，所以，
综上，的取值范围是．
20．已知函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案；
（2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域．
【详解】（1）令，则，
所以，
所以的解析式为；
（2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，，
当时，，所以，
当时，，所以，
综上，，
因为当时，，
因为在上单调递增，所以，
当时，，
因为在上单调递增，所以，
当时，，所以的值域为.
21．设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设．
(1)求的长度（用含的代数式表示），并写出的范围；
(2)求面积的最大值．
【答案】(1)（）；
(2).
【分析】（1）根据给定的几何图形，利用勾股定理列式求解即得.
（2）利用（1）的结论，求出三角形面积关系式，再利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）在矩形中，由，得，由，得，
设折叠后的点为，则有，
于是，即，在中，，
即，化简得，
所以（），
（2）由（1）知面积，
显然，当且仅当，即时取等号，
因此当时，，
所以面积的最大值为.
五、证明题
22．已知函数的定义域为．
(1)求的值，并证明在上单调递增；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)，证明见解析
(2)
【分析】（1）令可求出的值；再由单调性的定义证明即可；
（2）令可将题意转化为，恒成立，分类讨论，，，由二次函数的性质求解即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
因为，所以，即，解得，，
此时，，成立，
所以的值为1，
任设，则，
因为，所以，
所以，所以，
可证得在上单调递增；
（2）由，
可得，
因为，由（1）知，令，
所以，恒成立
①当时，恒成立，满足题意，
②当时，二次函数的图象开口向上，
对称轴方程为
所以当时，，解得，
③当时，二次函数的图象开口向下，
所以，解得，
综上：实数的取值范围是．
【点睛】关键点睛：本题第2小问的解决关键是将问题转化为恒成立，从而利用换元法与二次函数的性质即可得解.