2023-2024学年山东省淄博市第六中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省淄博市第六中学高一上学期期中数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据已知得出，求解即可得出答案.
【详解】要使函数有意义，则有，解得.
所以，的定义域为.
故选：A.
2．“”是“”成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】根本充分条件和必要条件定义，结合对数单调性，即可求得答案.
【详解】，
可得
由在定义域是单调递增函数
故由“”可以推出“”
“”是“”充分条件
由，
可得，解得
故由“”不能推出“”
“”是“”非必要条件
综上所述，“”是“” 充分不必要条件
故选：A.
【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，解题关键是掌握充分条件和必要条件的定义，及其对数的单调性，考查了分析能力和推理能力，属于基础题.
3．函数y＝的值域是（ ）
A．RB．[0，＋∞)
C．[0，3]D．{y|0≤y≤2或y＝3}
【答案】D
【分析】每段函数的值域的并集就是此函数的值域
【详解】当时，，当时，，当时，，
所以函数的值域为[0，2]∪{2}∪{3}＝{y|0≤y≤2或y＝3}.
故选：D
4．若函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．或D．
【答案】A
【解析】由题可知恒成立，分和两种情况讨论即可求出.
【详解】函数的定义域为，
恒成立，
当时，恒成立，满足题意；
当时，满足，解得，
综上，.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次不等式的恒成立问题，属于基础题.
5．已知幂函数的图象过，若，则值为（ ）
A．1B．C．3D．9
【答案】B
【分析】由函数的图象过点，先求出幂函数，再由，能求出的值，最后求的值.
【详解】幂函数的图象过，所以，解得
，，．
则
故选：B
6．已知定义域为R的函数是偶函数，且对任意，，，设，，，则
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系,再比较大小,即可得到结论.
【详解】解：由题意:
对任意,,
在上为减函数；
函数是偶函数
关于y轴对称；
,
,
故选:C.
【点睛】本题考查利用函数的基本性质比较大小,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用,属于基础题.
7．已知函数则“”是“在上单调递减”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求得在上单调递减时的取值范围，从而判断出充分、必要条件.
【详解】若在上单调递减，
则，解得.
所以“”是“在上单调递减”的必要而不充分条件.
故选：B
8．若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用均值不等式求出最小值，根据题意列不等式求解即可.
【详解】
，要使得不等式有解，只需有解即可，
解得或者，
故选：D
二、多选题
9．给出下列关系，其中正确的选项是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误
【详解】显然不是集合的元素，所以A不正确；
，所以B正确；
，满足元素与集合的关系，所以C正确；
，满足集合与集合的包含关系，所以D正确；
故选：BCD．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．“或”是“”的必要不充分条件
D．若，则
【答案】BCD
【解析】A. 由判断； B.根据，由不等式的基本性质判断；，C.利用等价命题判断； D.令，利用函数的单调性判断；如图所示：
【详解】A. 当时，不成立，故错误；
B.因为，所以，由不等式的基本性质，则，故正确；
C. “或”，则“”的逆否命题是“”，则“且”是假命题，故不充分，“或”，则“”的否命题是“且” ，则“”是真命题，故必要，故正确；
D.当，如图所示：在R上递增，由则 ，故正确；
故选：BCD
【点睛】本题主要考查不等式的基本性质以及逻辑条件的判断，还考查分析求解问题的能力，属于中档题.
11．下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．已知，，且，则
D．已知，，且，则
【答案】BC
【分析】A选项做差法即可比较大小从而得出结果；B选项结合均值不等式即可判断；C选项结合二次不等式的恒成立问题即可判断；D选项举出反例即可说明.
【详解】A因为，，则，即，故A错误；
B因为，，则当且仅当时等号成立，故B正确；
C因为，则，当时等号成立，故C正确；
D当时，满足，，且，但，故D错误.
故选：BC.
12．已知，下列选项中正确的为（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】BC
【分析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断．
【详解】A错，例如满足，便；
B正确，，，又，所以，而，所以；
C正确，设，，，则，，
所以，即．
D错误，，，，所以，不一定成立．
故选：BC．
三、填空题
13．已知集合，，若，则实数m的取值构成的集合为___________.
【答案】
【分析】先化简集合M，然后再根据N⊆M，求出m的值，即可求解．
【详解】∵集合，
∴集合，
∵，，
∴，或，或三种情况，
当时，可得；
当时，∵，∴，∴；
当，，∴；
∴实数m的取值构成的集合为，
故答案为：
14．下列各组中的两个集合相等的有
（1）P={x|x=2n，n∈Z}，Q={x|x=2(n+1)，n∈Z}
（2）P={x|x=2n-1，n∈N+}，Q={x|x=2n+1，n∈N+}；
（3）P={x|x2-x=0}，Q={x|x=，n∈Z}.
（4）P={x|y=x+1}，Q={(x，y)|y=x+1}
【答案】（1）（3）
【分析】根据集合的元素逐一分析，由此判断出正确结论.
【详解】（1）中集合P，Q都表示所有偶数组成的集合，有P=Q；
（2）中P是由1，3，5，…所有正奇数组成的集合，Q是由3，5，7，…所有大于1的正奇数组成的集合，1∉Q，所以P≠Q.
（3）中P={0，1}，当n为奇数时，x==0，当n为偶数时，x==1，所以Q={0，1}，P=Q.
（4）中集合的研究对象不相同，所以P≠Q.
故答案为：（1）（3）.
15．若正数x，y满足，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用均值不等式以及换元求出答案.
【详解】因为，
由均值不等式得：，
令，则．
化简得
解得或（舍去），
所以的取值范围为.
故答案为：.
16．如果定义在上的函数，对任意都有，则称函数为“函数”，给出下列函数，其中是“函数”的有 （填序号）
① ② ③ ④
【答案】①④．
【分析】不等式等价为，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．
【详解】对于任意的不等实数，，不等式恒成立，
不等式等价为恒成立，
即函数是定义在上的增函数；
①在上单调递增，符合题意；
②在上单调递减，不合题意；
③在上单调递减，在上单调递增，不合题意；
④在上单调递增，符合题意；
故答案为：①④．
四、解答题
17．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用指数幂的运算法则化简即可得出结果，化简过程注意避免计算错误；
（2）利用对数的运算法则和对数的基本概念化简即可得出结果.
【详解】（1）原式.
（2）原式．
18．已知函数，.
（1）判断并证明在上的单调性；
（2）解不等式.
【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据定义法证明函数在上单调递减即可；（2）首先找到，然后根据函数的单调性将不等式化简得到，最后求解不等式即可.
【详解】设满足，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴在上单调递减.
（2）令，解得或－3，
∵，
∴，
∵在上单调递减，且，
∴，
∴解得，
即不等式解集为.
19．若是定义在上的奇函数，当时，
(1)求时，的解析式
(2)若，求满足不等式的取值范围.
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）由奇函数的性质求时的解析式；
（2）由奇偶性定义判断为偶函数，进而判断函数的单调性，利用奇偶、单调性解不等式求取值范围.
【详解】（1）令，则，又是定义在上的奇函数，且时，
所以.
（2）由且定义域为，故为偶函数，
上且递增，则，
根据偶函数的对称性，上且递减，则，
故，即，可得或，
所以或.
20．已知为上的奇函数，为上的偶函数，且，其中.
(1)求函数和的解析式；
(2)若不等式在恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用为上的奇函数，为上的偶函数和已知的等式可得，然后解方程组可求出函数的解析式，
（2）由为上的奇函数，将转化为，再由在上为增函数，可得在恒成立，即在恒成立，然后利用基本不等式求出的最小值即可
【详解】（1）由，得，
因为为上的奇函数，为上的偶函数，
所以，
由，
解得，，
（2）因为为上的奇函数，所以转化为，
因为在上都为增函数，
所以在上为增函数，
所以在恒成立，即在恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，
所以，所以实数的取值范围为
21．经市场调查，某商场过去18天内，顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足
(1)求该商场的日收入（千元）与时间t（天）的函数关系式；
(2)求该商场日收入的最小值（千元）.
【答案】(1)
(2)最小值为（千元）
【分析】（1）根据商场日顾客人数和人均消费可得日收入；
（2）根据日收入的函数关系式分别求最小值后再比较即可.
【详解】（1）由题可得，该商场日收入的函数关系式为
所以
（2）由（1）可得
①当时，，当且仅当，即时取等号，
②当，当且仅当，即时取最小值为，
综合①②可得，该商场的日收入的最小值为（千元）.
22．已知函数，（）．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
(3)
【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当时，由得，
即，解得或．
所以不等式的解集为或．
（2）由得，
即不等式的解集是．
所以，解得．
所以的取值范围是．
（3）当时，．
又．
①当，即时，
对任意，．
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，．
所以解得，
③当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，．
所以此时不等式组无解．
综上，实数的取值范围是．
【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论.