2023-2024学年北京市第二十二中学高一上学期阶段检测（12月）数学学科试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市第二十二中学高一上学期阶段检测（12月）数学学科试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，问答题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】结合题意利用并集的定义计算即可.
【详解】由题意可得：.
故选：B.
2．在范围内，与角终边相同的角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由终边相同的角的定义判断.
【详解】因为，
所以与角终边相同的角是.
故选：D
3．下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用奇偶性和单调性进行判断.
【详解】对于A，由解析式可知函数为偶函数，其图象开口向下，在上单调递减，符合题意；
对于B,C，由指数函数和对数函数的性质可知两者均不是偶函数，不合题意；
对于D，当时，，不是单调函数，不合题意.
故选：A.
4．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定为特称命题解答即可；
【详解】解：因为全称命题的否定为特称命题，则命题的否定为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．
5．若角的终边与单位圆相交于点，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数定义直接计算即可.
【详解】由题意，根据三角函数定义，所以.
故选：D
6．等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.
【详解】因为，
故选：D.
7．“且”是“的终边在第二象限”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】根据三角函数的定义及充分条件、必要条件的定义即可判断.
【详解】在角终边上任取点（异于原点）其坐标为，，
若且，
所以，且，
可得，
所以的终边在第二象限，
所以“且”是“的终边在第二象限”的充分条件，
若的终边在第二象限，则，
所以，且，
所以“且”是“的终边在第二象限”的必要条件，
综上“且”是“的终边在第二象限”的充要条件.
故选：C.
8．已知半径为4的扇形面积为，则扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据扇形的面积公式，代入相关数据，即可求解.
【详解】设扇形的圆心角大小为，半径为，则由扇形的面积为，可得：，解得：扇形的圆心角．
故选：C
9．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据指数、对数函数和余弦函数的性质，结合临界值即可得到大小关系.
【详解】，.
故选：C.
10．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．
【详解】解：函数在其定义域上单调递增，
（2），（1），
（2）（1）．
根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，
故选．
【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．
11．我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先根据确定奇偶性，排除两个选项，再由函数值的正负排除一个选项，得出正确结论．
【详解】记，函数定义域为，则，
所以函数为奇函数，排除BC，
又当时，，排除D，
故选：A
12．函数是R上的奇函数，当时，，则当时，（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性即可求解.
【详解】解：由题意得：
当时，，
函数是R上的奇函数，故
故选：C
13．已知f（x）＝是R上的减函数，那么a的取值范围是（ ）
A．(0，1)B．
C．D．
【答案】B
【分析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令，.
要使函数在上为减函数，
则有在区间上为减函数，
在区间上为减函数且,
∴,解得.
故选：B．
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.
14．已知函数，集合，集合，若，且都不是空集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】因为集合都不是空集，设，则，，则，即可求出的值，然后对分类讨论即可求解.
【详解】因为集合都不是空集，设，则，
，则，
所以，，
当时，方程的解为，此时，满足题意；
当时，方程的解为或，
，则或，
由，则无解，
则，解得；
综上，所以，
故选:B.
二、填空题
15．函数y=+的定义域为 ．
【答案】[，3）∪（3，+∞）
【分析】具体函数的定义域，要求函数的每一部分要有意义，最终将每一部分的定义域取交集即可.本题需满足,解不等式即可.
【详解】函数y=+有意义，需满足，解得x≥且x≠3，∴函数的定义域为[，3）∪（3，+∞）．
故答案为[，3）∪（3，+∞）.
【点睛】这个题目考查了具体函数的定义域问题，常见的有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，次数是零次幂的式子，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.
16．已知，，则
【答案】
【分析】根据角的范围和同角三角函数关系即可得到答案.
【详解】因为，
可得，
故答案为：.
17．函数的递减区间为 .
【答案】
【分析】由复合函数的单调性只需求出的单调递增区间，且要满足，从而求出答案.
【详解】因为在上单调递减，
由复合函数的单调性可知，的递减区间为的单调递增区间，
且要满足，解得或，
其中在上单调递增，
故的递减区间为.
故答案为：
18．已知，则 ．
【答案】
【分析】利用诱导公式求得正确答案.
【详解】
.
故答案为：
19．生物学家为了了解某药品对土壤的影响，常通过检测进行判断.已知土壤中某药品的残留量y（mg）与时间t（年）近似满足关系式（），其中a是残留系数，则大约经过 年后土壤中该药品的残留量是2年后残留量的.（参考数据：，答案保留一位小数）
【答案】
【分析】根据题意，得出等式关系，再利用对数函数的性质运算.
【详解】当时，，
由，得
故答案为：
三、双空题（新）
20．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数，表示不超过x的最大整数，例如．若，则 ﹔已知，，则函数的值域为 ．
【答案】 0
【分析】根据题意，由取整定义直接得到的结果，然后将变形，分析其取值范围，结合取整函数定义，分析得到的值域.
【详解】由取整函数定义可知，所以；
设，则，
当时，，，，，
当时，，，，，
所以，
所以，
所以的值域为.
故答案为：0；
四、问答题
21．已知集合，，．
(1)求，；
(2)若，求实数m的取值范围．
【答案】(1)，或
(2)或
【分析】（1）先化简集合，利用交集和补集运算可得答案；
（2）由，列出限制条件可得答案.
【详解】（1）因为或，
所以.
因为或，
所以或.
（2）因为，
所以或，
解得或.
五、解答题
22．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用的旧墙需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙长米，旧墙的维修费用为元，新墙的造价为元．设利用的旧墙长度为，修建此矩形场地围墙的总费用为元．
(1)写出关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
(2)试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．
【答案】(1)，定义域为
(2)当时，总费用最小，最小值为元
【分析】（1）根据矩形场地面积可求得利用新墙的长度，由此可表示出总费用，即得到函数解析式；根据实际意义可得定义域；
（2）利用基本不等式可求得总费用的最小值，并确定此时的取值.
【详解】（1）由题意知：，新墙的长度为，
，
即关于的函数解析式为，定义域为.
（2）（当且仅当，即时取等号），
，
当时，总费用最小，最小值为元.
六、证明题
23．定义在上的函数满足对任意，，恒有，且时，有．
(1)证明：为奇函数；
(2)试判断的单调性，并加以证明；
(3)若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)为上的增函数，证明见解析
(3).
【分析】（1）令结合奇函数的定义证明；
（2）利用单调性的定义证明；
（3）利用函数的单调性解抽象不等式.
【详解】（1）证明：取，得；再取，得 ，
即，∴为上的奇函数；
（2）为上的增函数.证明如下：
证明：任意取，且，
则，
∴，
∵，∴，
由已知得：，∴，即，
∴为上的增函数.
（3）由得，∵为上的增函数，
∴，
即对恒成立，
∵，∴，
∴实数的取值范围为.
七、解答题
24．若函数的定义域为D，集合，若存在非零实数t使得任意都有，且，则称为M上的增长函数．
(1)已知函数，函数，直接判断和是否为区间上的增长函数；
(2)已知函数，且是区间上的增长函数，求正整数n的最小值；
(3)如果是定义域为的奇函数，当时，，且为上的增长函数，
求实数a的取值范围．
【答案】(1)是，不是；
(2)9
(3)
【分析】（1）利用给定定义推理判断或者反例判断而得；
（2）把恒成立的不等式等价转化，再求函数最小值而得解；
（3）根据题设条件，写出函数的解析式，再分段讨论求得，最后证明即为所求.
【详解】（1）的定义域为，，，，
即，所以为区间上的增长函数；
取，，，
所以为区间上的增长函数.
（2）依题意，，恒成立，
即在上恒成立，
整理得在上恒成立，
因为，所以关于的一次函数是增函数，
所以当时，，
所以，解得，
所以正整数n的最小值为9；
（3）由题意可得：当时，，
因为函数是定义域为的奇函数，
所以当时，则，
故，
当时，，，
故为上的增长函数，
所以符合题意；
当时，则可得函数大致图象如图：
易知图象与轴交点为，，
而，，
因为在区间上单调递减，则，不能同在区间上，
所以，
又因为当时，，当时，，
若时，令，则，故，不合题意；
所以，解得且，
若且，则有：
当时，则成立；
当时，则，
可得，，即成立；
当时，则，即成立；
故当且时，符合题意，
综上所述：当时，对均有成立，
故实数的取值范围为.
【点睛】（1）以函数为背景定义的创新试题，认真阅读，分析转化成常规函数解决；
（2）分段函数解析式中含参数，相应区间也含有相同的这个参数，要结合函数图象综合考察，并对参数进行分类讨论.