2023-2024学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期12月阶段性质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年北京市首都师范大学附属中学高一上学期12月阶段性质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．幂函数的图象经过点，则实数（ ）
A．2B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点代入即可得解.
【详解】因的图象经过点，
所以，则.
故选：C.
2．若集合则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题得}所以或，所以“”是“”的
充分不必要条件，选A.
3．已知实数，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用对数函数的单调性和不等式的性质即可得到的大小关系.
【详解】由在上单调递增，，
可得，即，
则，，又，
则，
则的大小关系是
故选：A
4．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用二次函数的性质与对数型复合函数的性质即可得解.
【详解】因为，
所以，解得，
又开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
而在其定义域上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故选：D.
5．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图（图中纵坐标代表该次数学测试成绩），则下列说法不正确的是（ ）
A．甲成绩的极差小于乙成绩的极差
B．甲成绩的中位数小于乙成绩的第75百分位数
C．甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数
D．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
【答案】B
【分析】分析图中数据，结合方差，极差的求法和意义，结合百分位数的求解，得到答案.
【详解】从图表可以看出甲成绩的波动情况小于乙成绩的波动情况，
则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，且甲成绩的极差小于乙成绩的极差，AD正确；
将甲成绩从小到大进行排序，则第三与第四个成绩的平均数作为甲成绩的中位数，
将乙成绩从小到大进行排序，又，
故选择第5个成绩成绩作为乙成绩的第75百分位数，
即甲的第4与第6次成绩的平均数为甲成绩的中位数，乙的第2或第3次成绩作为乙成绩的第75百分位数，
从图中可知甲的第4与第6次成绩都大于乙的第2或第3次成绩，
所以甲成绩的中位数大于乙成绩的第75百分位数，故B错误；
甲成绩均集中在90分左右，而乙成绩大多数集中在60分左右，故C正确.
故选：B
6．通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音等级约为，则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用函数表达式以及声音的分贝数求出声音强度，求比值即可.
【详解】当声音约为时，则，解得，
当声音约为时，则，解得，
所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为.
故选：D.
7．若是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
A．1B．2023C．D．4046
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数互为反函数，其图象关于对称，结合反比例函数的图象也关于对称，从而数形结合即可得解.
【详解】因为是函数的一个零点，是函数的一个零点，
所以，，即，，
设函数与的交点为，则，，
设函数与的交点为，则，，
因为函数与函数互为反函数，
所以它们的图象关于对称，
而的图象也关于对称，
所以点关于对称，即，
所以由得，即.
故选：B.
8．若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误.
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题.
9．若对任意恒成立，其中是整数，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，当时，得到不存在；当时，设和，结合函数的图象，列出关系式，即可求解.
【详解】由题意，不等式对任意恒成立，
当时，由不等式，即在上恒成立，此时不存在；
当时，由不等式，
可设函数和，
由函数的大致图象，如图所示，
要使得不等式对任意恒成立，
则满足，又因为是整数，可得或，
所以或.
故选：B.
10．已知、，定义运算“”： ，设函数，. 若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据定义得出的解析式，作出函数的图象得出答案．
【详解】解：若﹣≤1，则，解得x，
若﹣＞1，则＞0，则x，
∴f（x），
作出f（x）的函数图象如图所示：
∵y＝f（x）﹣c有两个零点，
∴f（x）＝c有两解，
∴0＜c．
故选A．
【点睛】（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．
（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决，解题时注意换元法的应用，以便将复杂的问题转化为简单的问题处理．
二、填空题
11．已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
12．函数的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据，解出两个不等式，最后求交集即可.
【详解】由题意：
故答案为：.
13．已知一组数据的平均数为，方差为，则这组数据的平均数 ；若新增3个均为的数据，方差记为，那么 （填写“”、“”或“”）
【答案】
【分析】空1，利用平均数的计算公式即可得解；空2，再利用方差的定义判断即可.
【详解】依题意，得
；
因为新增的3个数据均为，
所以新的数据组的平均数不变，仍为，则，
因为，，
所以.
故答案为：；.
14．已知是方程的两个根，若，则 ， .
【答案】 2 0
【分析】利用一元二次方程根的分布和根与系数的关系列出关于的方程，解之即可求得的值，求得的值，进而得到的值.
【详解】由题意得方程有两个根，
则方程有二正根，
则，解之得，
又是方程的两个根，
则，又，则，
解之得或（舍），
则，又，
则，解之得或
则，或，则
故答案为：2，0
15．已知三个物体同时从同一点出发问同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，则下列结论中，所有正确结论的序号是 .
①当时，A总走在最前面；
②当时，总走在最前面；
③当时，总走在的前面
【答案】①②
【分析】利用指数函数对数函数幂函数的增长变化规律判断①；利用三个函数在上的图像判断②；举反例否定③.
【详解】对于①，指数函数的变化是先慢后快，当时，，
所以当时，A总走在最前面，判断正确；
对于②，同一坐标系内画出的简图，
由图可得当时，，
故时，总走在最前面.判断正确；
对于③，当时，，
故，即走在的前面.判断错误.
故答案为：①②
三、解答题
16．已知函数，且是满足的最小正整数.
(1)判定的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)为偶函数
(2)在上单调递增，证明见解析
【分析】（1）先由题意求得，再利用函数奇偶性的定义即可得解；
（2）利用单调性的定义，结合作差法即可得证.
【详解】（1）因为，
所以由，得，即，
因为是满足的最小正整数，
当时，不满足；当，满足；
所以，则，其定义域为，
又，所以为偶函数.
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
，
因为，所以，所以，
所以在上单调递增.
17．某省实行高考科目“”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政治、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为，五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：
将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，其频率分布直方图如图：
(1)求实数a的值（写出解答过程）；
(2)根据频率分布直方图，按分层抽样抽取一个容量为100的样本，求其中D等级中化学成绩原始分不及格（低于60分）的人数（写出解答过程）；
(3)填空：
用估计的结果近似代替原始分区间，估计此次考试化学成绩A等级的原始分区间为______，按照等级分赋分规则，估计原始分为87.5时对应的等级分数为______.
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求解；
（2）由题意求得所求人数的占比，从而得解；
（3）利用频率分布直方图与百分位数求出此次考试化学成绩A等级的原始分区间，再利用给定转换公式求出等级分作答.
【详解】（1）依题意，得，解得，
所以.
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，
又成绩E等级占比为，成绩D等级占比为，
所以D等级中化学成绩原始分不及格（低于60分）的占比为，
故其人数估计值为.
（3）由题意，易知此次考试化学成绩A等级的原始分区间的右端点为，
其左端点对应的是第分位数，
因为原始分成绩位于区间的占比为，
位于区间的占比为，
则原始成绩分数的分位数在区间上，不妨设为，
则，解得，
所以此次考试化学成绩A等级的原始分区间为；
显然原始分为87.5时对应的等级为，
此时，其中，，，
则，解得，
则该学生的等级分为分.
18．已知，且，函数，在上是单调减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③．
(1)从中选择的两个条件的序号为_______，依所选择的条件求得______，_______（不需要过程，直接将结果写在答题卡上即可）
(2)在（1）的情况下，若方程在上有且只有一个实根，求实数m的取值范围．
【答案】(1)①②,
(2)
【分析】（1）g利用单调性以及函数的奇偶性确定满足的条件，再利用条件求解得到；（2）利用函数的单调性求出最值，数形结合求解的取值范围.
【详解】（1）因为，在上是单调减函数，
所以，所以②③条件中，有且仅有1个成立，
所以满足①，则有，
又因为，
所以满足条件①②.
所以解得.
（2）由（1）可知，
等价于，
令，则在单调递减，
所以，
因为在上有且只有一个实根，
所以.
19．若函数满足下列条件：
在定义域内存在使得成立，则称函数具有性质；反之若不存在，则称函数不具有性质.
（1）证明函数具有性质，并求出对应的的值；
（2）已知函数，具有性质，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析， （2）
【解析】（1）将代入，求出即可证明；
（2）由题意，存在，使，化简得有实根，分类讨论即可求出答案．
【详解】（1）证明：代入得：
，
即，解得
所以函数具有性质；
（2）解：的定义域为，且可得.
因为具有性质，所以存在，使，
代入得：，化为，
整理得：有实根，
①若，得；
②若，得，即，解得：，
∴；
综上可得
【点睛】本题是在新定义下对函数的综合考查，关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题，属于难题．
等级
人数比例
赋分区间