2023-2024学年河南省部分重点中学高一上学期12月质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河南省部分重点中学高一上学期12月质量检测数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．设集合，若，则实数（ ）
A．0B．C．0或D．0或1
【答案】B
【分析】根据元素与集合的关系得出两种情况，再分别检验即得.
【详解】由集合，因，则或，
当时，，此时，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，当时，满足．故．
故选：B．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】由，得或，
因此“若，则”是假命题，“若，则”是假命题，
所以“”是“”的既不充分也不必要条件．
故选：D
3．按从小到大顺序排列的一组数据为：，若这组数据的第65百分位数比第40百分位数多8，则（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】C
【分析】根据数据百分位数的计算方法，列出方程，即可求解.
【详解】由，得第40百分位数是第4个数据和第5个数据的平均值，为，又由，得第65百分位数是第7个数据，为，
因为这组数据的第65百分位数比第40百分位数多，可得．
故选：C．
4．已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质，求得的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得，
又由对数函数的性质，可得，
所以，即．
故选：D．
5．近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月……中国航天硕果累累，令国人备感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：m/s），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：m/s），是火箭起飞时的总质量（单位：kg），m是火箭自身的质量（单位：kg）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用的某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为50m/s，火箭自身的质量为4kg，燃料的质量为5kg，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，至燃料燃尽时，该试验火箭的理想速度大约为（ ）（，）
A．40m/sB．36m/sC．78m/sD．95m/s
【答案】A
【分析】根据题中条件确定kg，kg，m/s，按公式直接运算即可.
【详解】解：由于，其中kg，kg，m/s，
所以（m/s）.
故选：A.
6．已知函数，则方程在下列哪个区间上必有实数根（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【分析】由题意，易知在上都单调递增，进而可判断函数的单调性，结合零点的存在性定理即可求解.
【详解】易知函数在上都单调递增，
所以在上单调递增，
又，
所以，又因为函数连续不间断，由零点的存在性定理知，
函数在内有零点，即方程在必有实数根．
故选：B．
7．已知关于的一元二次不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用一元二次不等式和一元二次方程的对应关系求出参数，再解另一个不等式即可.
【详解】由题设知方程有两根2和3，故由韦达定理得则，
因此，解得．
故选：A．
8．设偶函数在上是增函数，且，若对所有的及任意的都满足，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意，转化为对任意的恒成立，令，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为偶函数在上是增函数，且，所以的最大值为2，
由对所有的及任意的都满足，
则只需，即对任意的恒成立，
令，则满足，解得或，
所以实数的取值范围是．
故选：C．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．数据1，2，2，5，5的平均数与中位数相同
B．数据8，2，7，3，8，3，7，8，1的众数为8
C．有甲、乙、丙三种个体按2∶3∶4的比例分层抽样调查，若抽取丙的个体数为20，则样本容量为45
D．甲组数据的标准差为，乙组数据为3，5，8，10，4，则这两组数据中较稳定的是乙组
【答案】BCD
【分析】利用平均数与中位数的定义可判断A；利用众数的定义可判断B；利用分层抽样的定义及抽样比求解判断C；利用方差的定义及意义可判断D.
【详解】对于A，平均数为，中位数为2，故A选项错误；
对于B，数据的众数为8，故B选项正确；
对于C，设样本容量为，由题知，解得，即样本容量为45，故C选项正确；
对于D，乙组数据的平均数为，方差为，又，所以两组数据中较稳定的是乙组，故D正确．
故选：BCD．
10．在下列四组函数中，与不表示同一函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，函数的定义域为，而的定义域为，所以两函数不是同一函数；
对于B中，函数的定义域为，而的定义域为，所以两函数不表示同一函数；
对于C中，的定义域为，而的定义域为，
所以两函数不是同一函数；
对于D中，函数，两函数的定义域与对应关系都相同，
所以两函数是同一函数．
故选：ABC．
11．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的取值可以为（ ）
A．B．C．1.5D．2.3
【答案】ABC
【分析】画出图象，不等式化为，分、和，三种情况讨论，结合图象，即可求得的取值范围.
【详解】由函数，画出图象，如图所示，
又由不等式，可得，
当时，，此时不等式无解；
当时，由，可得，
若不等式恰有1个整数解，则整数解为，
因为，可得；
当时，由，可得，
若不等式恰有1个整数解，只需．
综上所述：实数的取值范围为．
故选：ABC．
12．下列结论中正确的是（ ）
A．若函数，且，则
B．若为奇函数，则的解集为
C．设表示不超过的最大整数，如，则不等式的解集是
D．若函数的定义域为，则的取值范围是或
【答案】AD
【分析】求得，根据，可判定A正确；因为函数的单调性不确定，可判定B错误；求得不等式的解集为，得到，可判定C错误；根据题意，列出不等式组，求得的范围，可判定D正确．
【详解】对于A中，由，可得，又由，解得，所以A正确；
对于B中，由为奇函数，但函数的单调性不确定，所以B错误；
对于C中，由，可得，则，
所以不等式解集为，所以C错误；
对于D中，由的定义域为，则满足，
解得或，所以D正确．
故选：AD．
三、填空题
13．函数的定义域是 ．
【答案】，
【解析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【详解】解：函数中，
令，
解得，
所以的定义域是，．
故答案为：，．
14．若，则的最大值为 ．
【答案】/
【分析】化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】因为，所以，又，当且仅当时等号成立，
故，所以最大值为．
故答案为：.
15．若定义运算则函数的值域是 ．
【答案】
【分析】根据定义运算，写出分段函数解析式，再分段求出函数值的范围，最后取并集即得.
【详解】依题意，由，得，由解得，因此
当时，即函数的取值集合为；当时，即函数的取值集合为.
故函数的值域为．
故答案为：.
16．已知在区间上是增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先将分式函数用常数分离法转化成简分式，再根据函数的单调性即可求得参数范围.
【详解】由，
因为在区间上是增函数，所以，解得．
故答案为：
四、解答题
17．求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)3
(2)4
【分析】（1）根据指数幂的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解；
（2）根据对数的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】（1）解：由指数幂的运算法则和运算性质，可得：
.
（2）解：由对数的运算法则和运算性质，可得：
.
18．已知函数．
(1)求函数的值域；
(2)已知函数的一个零点为2，求函数的其余零点．
【答案】(1)
(2)0，4
【分析】（1）根据幂函数的单调性可得函数在上单调递增，在上单调递减，且，即可求解函数的值域；
（2）由题意可得，解出m，进而得函数的解析式，令，解方程即可求解.
【详解】（1）易知幂函数在上单调递增，在上单调递减，
将函数图象向右平移3个长度单位可得的图象，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，即函数的值域为；
（2），
因为函数的一个零点为2，所以，解得．
所以，
令，得或，解得．
所以函数的其余零点为0，4．
19．已知幂函数在上单调递减．
(1)求的解析式；
(2)若，，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据幂函数的定义和单调性列式求解即可；
(2)根据题意分离变量得到在恒成立，利用函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以，
解得，所以的解析式为．
（2）由，可得，则，
因为在上单调递增，
所以在上单调递增，所以当时，取得最小值1．
所以a的取值范围为．
20．我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年200位居民家庭的月平均用水量（单位：吨），将数据按照，分成6组，制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中的值；
(2)该市决定设置议价收费标准，用水量低于的居民家庭按照“民用价”收费，不低于的按照“商业价”收费，为保障有的居民能享受“民用价”，请设置该标准；
(3)以每组数据的中点值作为该组数据的代表，分别是.规定“最佳稳定值”是这样一个量：与各组代表值的差的平方和最小.依此规定，请求出的值.
【答案】(1)0.0625
(2)19.2
(3)12
【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1即可求解.
（2）由频率分布直方图求第p百分位数的计算公式即可求解.
（3）设与各数据的差的平方和为，由题意得，利用二次函数性质即可求解.
【详解】（1）由频率分布直方图知，家庭月均用水量在中的频率为，
同理，在中的频率分别为.
由，解得；
（2）由（1）知，前4组的总频率为，
前5组的总频率为，所以，
所以根据百分位数的计算方法有，解得；
（3）设与各数据的差的平方和为，
则
，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
故.
21．已知是一元二次方程的两个不相等的实数根．
(1)若两根同号，求实数的取值范围；
(2)求使得的值为整数的整数的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）一元二次方程两个不相等的实数根．则，两根同号则，解不等式组可得；
（2）变形为，由韦达定理代入整理可得，由整数要求得，进而求解验证值可解.
【详解】（1）由题意得即，
所以实数的取值范围为；
（2）由（1）知，当时，方程有两个实数根，
可知，
于是，
由，则，则，
即要使的值为正整数，且为整数，则，
则有，化简得，则，
令，此时为整数，则满足题意．
故使得的值为整数的整数的值为.
22．已知函数，．
(1)若函数在内有唯一零点，求a的取值范围．
(2)设函数的最大值、最小值分别为M，m，记．设，函数，当，时，恒成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由方程在内只有一个实数解，可求a的取值范围；
（2）由定义求，再由恒成立，求的取值范围．
【详解】（1）依题意可得方程在内只有一个实数解，
即在内只有一个实数解，所以，
所以a的取值范围为．
（2）因为，所以当时，，
则．
因为，所以在上为减函数，
所以在上的最大值为，最小值为，
所以当时，，
由，得，即，
解得，故的取值范围为．