2023-2024学年河南省青桐鸣高一上学期12月联考数学试题（北师大版）含答案

这是一份2023-2024学年河南省青桐鸣高一上学期12月联考数学试题（北师大版）含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据交集的定义即可得解.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：B.
2．命题“，”的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】命题“，”的否定为，.
故选：C
3．已知，，，则，，之间的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据“分段法”求得正确答案.
【详解】依题意，，
所以.
故选：A
4．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据反比例函数的性质求解即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以函数的值域为.
故选：B.
5．已知幂函数，满足，，，则（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的解析式列方程，化简求得正确答案.
【详解】依题意，，
两边平方得.
故选：D
6．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】函数的开口向上，对称轴为，
函数在上单调递增，
由于函数在区间上单调递增，
根据复合函数单调性同增异减可知，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
7．已知函数，实数，满足，则（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】B
【分析】先判断的奇偶性，由此化简，进而求得正确答案.
【详解】，
所以的定义域为，
，
所以是奇函数，
由可得.
故选：B
8．已知某工厂有一台价格为200万元的机器，若这台机器以每年的幅度贬值，则工厂至多______年后卖出这台机器，才不会以低于150万元的价格成交．（参考数据：，，结果取整数）（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】A
【分析】设至多年后，由题意可得，再根据指数函数的单调性即可得解.
【详解】设至多年后，
则，
故，所以，
所以工厂至多年后卖出这台机器，才不会以低于150万元的价格成交．
故选：A.
9．已知集合，，若，则实数的可能取值有（ ）
A．1B．0C．D．
【答案】BD
【分析】对进行分类讨论，根据求得的可能取值.
【详解】依题意，.
对于集合，
若，则，满足.
若，则，
由于，所以或，
解得或，
所以BD选项正确，AC选项错误.
故选：BD
二、多选题
10．表示不超过的最大整数．十八世纪，函数被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．高斯函数的应用范围很广，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影，下列关于高斯函数的相关结论正确的有（ ）
A．B．
C．高斯函数为偶函数D．
【答案】AB
【分析】根据高斯函数的定义可得且，即可判断AB；举例即可判断CD.
【详解】因为表示不超过的最大整数，
所以且，所以，故B正确；
由，得，所以，故A正确；
对于C，设，则，
所以高斯函数即不是偶函数也不是奇函数，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：AB.
11．使不等式成立的一个充分条件为（ ）
A．B．C．D．（）
【答案】AD
【分析】由等价于且，再利用充分条件的定义判断.
【详解】等价于且.
A.，则，即，，故正确；
B.，则，，但正负不定，故错误；
C.，则，即且或且，但正负不定，故错误；
D.，则，又，故正确.
故选：AD
12．设（，，），若，，，则（ ）
A．B．
C．为非奇非偶函数D．
【答案】BCD
【分析】根已知求出求出即可求出函数解析式，即可判断A；计算即可判断B；根据奇偶性的定义即可判断C；配方结合完全平方公式即可判断D.
【详解】由题意可得，解得，
所以，故A错误；
对于B，
，故B正确；
对于C，因为，
，
所以为非奇非偶函数，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：利用待定系数法求出函数的解析式是解决本题的关键.
三、填空题
13．为了坚持“五育”并举，全面发展素质教育，某学校在课余时间提供了多种社团供学生们选择，每位同学都可以选择多种社团，其中选择舞蹈社团或园艺社团的同学有90人，选择舞蹈社团的同学有55人，选择园艺社团的同学有60人，则同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数是 .
【答案】
【分析】根据题意结合图即可得解.
【详解】由题意同时选择舞蹈社团和园艺社团的同学人数为人.
故答案为：.
14．已知，则 （用含的代数式表示）．
【答案】/
【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算即可.
【详解】.
故答案为：.
15．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据题意，由分段函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：
16．已知函数的定义域为，且，当时，．若对于，都有，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据判断出图象的特点，再结合求得的取值范围.
【详解】依题意，当时，，
的定义域为，且，
所以，即：从左向右，从区间开始，每隔个单位长度，
纵坐标放大为原来的倍.
同时，即：从右向左，从区间开始，每隔个单位长度，
纵坐标缩小为原来的倍.
由此画出的图象如下图所示.
当时，，
所以此时
.
由解得，
由图可知，当时，对于，都有，
所以的取值范围是.
故答案为：
【点睛】形如的图象，是类似于周期性和伸缩变换两种情形结合，如果，则，则是周期函数，如果类似本题中的，可以看做从左向右每隔个单位，图象的纵坐标就变为原来的倍，由此可画出函数的图象，来对问题进行求解.
四、解答题
17．计算下列各式：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据指数运算求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.
【详解】（1）
（2）
.
18．已知非空集合，，设命题：“”，命题：“”．
(1)若，求；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入集合A，根据集合交集运算可得结果；
（2）由p是q成立的充分不必要条件，得出A是B的真子集，再由包含关系得出实数m的取值范围．
【详解】（1）当时，，又，
所以.
（2）由是的充分不必要条件，故A是B的真子集，
当时，即，解得：或，满足题意；
当时，即，解得：，
综上：或，
所以实数的取值范围为.
19．已知（）是幂函数．
(1)求的解析式；
(2)若（）的最小值为，求的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据函数是幂函数列方程，求得，进而求得的解析式.
（2）利用换元法，对进行分类讨论，根据二次函数的性质列方程，从而求得.
【详解】（1）依题意，（）是幂函数，
所以，解得，
所以.
（2）由（1）得，
，
令，则，
当时，当时取得最小值，
解得或（舍去）.
当时，当时取得最小值.
综上所述，的值为或.
20．已知函数．
(1)当时，求的值域；
(2)证明：函数是奇函数．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先求出在上的值域，再利用换元法结合二次函数的性质即可得解；
（2）证明即可.
【详解】（1）当时，，则，
令，
则，
所以当时，的值域为；
（2），定义域为，
因为
，
所以，
所以函数是奇函数．
21．已知定义在上的函数对于，，都满足，且当时，．
(1)求的值；
(2)根据定义，研究在上的单调性．
【答案】(1)
(2)在上单调递增
【分析】（1）利用赋值法求得.
（2）根据函数单调性的定义，计算得，从而判断出在上单调递增.
【详解】（1）依题意，函数对于，，都满足，
令得.
（2）任取，则，所以，
所以
，
所以，即，
所以在上单调递增.
22．已知函数（，，）是偶函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)若函数在区间（，，）上的值域是，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）先根据函数为偶函数求出，再根据，求出即可；
（2）结合（1）求出函数的单调区间，再根据函数的单调性结合已知分类讨论即可得出答案.
【详解】（1）因为是偶函数，
所以，即，
所以，即，所以，
则，
又，，
所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，定义域为，
令，
令，
则，
因为，所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递减，
令，
则，
因为，所以，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又函数在定义域内为增函数，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为函数在区间上的值域是，
所以，
又，故或，
当时，则，此时，
当时，则，此时，
综上所述，当时，；
当时，.
【点睛】关键点点睛：说明函数在上单调递减，在上单调递增，，是解决第二问的关键.