2023-2024学年山东省德州市第一中学高一上学期12月阶段性测试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年山东省德州市第一中学高一上学期12月阶段性测试数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据对数函数的真数取值范围和指数函数的单调性解出集合，再求结果即可.
【详解】因为集合的代表元素是，由对数函数的意义可知，
所以，
而集合，
所以，
故选：D
2．“是锐角”是“是第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】根据锐角与象限角的概念及充分条件、必要条件求解.
【详解】因为是锐角能推出是第一象限角，
但是反之不成立，例如是第一象限角，但不是锐角，
所以“是锐角”是“是第一象限角”的充分不必要条件，
故选：A
3．若是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据三角函数定义相关知识求解.
【详解】因为是第二象限角，为其终边上一点，
所以，，
解得（舍去）或，
所以.
故选：B
4．函数的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】判断函数的奇偶性，排除AD，取特殊点排除B，由此可得结论.
【详解】由可得，，，
因为，
所以函数不是奇函数，也不是偶函数，
所以函数的图象不关于轴对称，A，D错误，
又，B错误；
选项C满足以上要求.
故选：C.
5．17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用指数和对数互化，结合对数运算法则可求得，由此可得.
【详解】，
，
.
故选：B.
6．若函数（且）在R上单调递减，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据各段函数单调递减，以及两段函数端点之间的关系列不等式可解.
【详解】由题知，在上单调递减，在单调递减，
且，
所以，，解得，
所以，a的取值范围为.
故选：D
7．设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由已知函数为偶函数，把，转化为同一个单调区间上，再比较大小．
【详解】是R的偶函数，．
，
又在(0，+∞)单调递减，
∴，
，故选C．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．
8．记为不超过x的最大整数，如，，则函数的所有零点之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，得到，令，得到在上为单调递减函数，且，得出函数在上无零点，进而结合对数函数的性质，列出方程求得函数的零点，即可求解.
【详解】由为不超过x的最大整数，可得，
令，可得在上为单调递减函数，
且，所以函数在上无零点，
只需考虑，，，，
可得函数的三个零点分别为，所以所有零点之和为.
故选：B.
二、多选题
9．已知，，则下列结论正确的是（ ）
A．为第二象限角
B．位于第一象限或第三象限
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据三角函数符号可判断A；根据的范围可判断B；利用同角三角函数的基本关系求解即可判断CD.
【详解】因为，，
所以，为第二象限角，A正确；
由上知，，位于第一象限，B错误；
因为，，
所以，所以，C错误；
由上知，，D正确.
故选：AD
10．已知，，，则（ ）
A．的最小值为9B．的最小值为
C．的最大值为D．的最小值为
【答案】CD
【分析】A应用基本不等式“1”的代换求最值，注意取等条件；B由，应用二次函数性质求最值；C、D利用基本不等式及指数运算性质求最值，注意取等条件.
【详解】A：因为，，，
所以，
当且仅当时取等号，取得最小值，错；
B：，二次函数的性质知，当，时取得最小值，错；
C：因为，所以，当且仅当，即，时取等号，对；
D：，当且仅当，即，时取等号，对.
故选：CD
11．下列说法正确的是（ ）
A．函数是R上的奇函数
B．若是定义在R上的幂函数，则
C．函数在内单调递增，则a的取值范围是
D．若函数为奇函数，则
【答案】BCD
【分析】根据定义域可判断A；由幂函数解析式直接计算可判断B；利用复合函数单调性求解可判断C；先讨论a的范围和定义域，根据奇函数性质求出a，然后利用定义验证，可判断D.
【详解】对于A，的定义域为，A错误；
对于B，记，则，B正确；
对于C，令，则，
因为为增函数，
所以，要使函数在内单调递增，只需在内单调递增，
故，得a的取值范围是，C正确；
对于D，若，则当时，故此时函数定义域必然不关于原点对称，
所以，不满足题意，
当时，恒成立，所以函数的定义域为R，
若函数为奇函数，则，解得，
当时，，
所以，此时为奇函数，D正确.
故选：BCD
12．已知函数的定义域为，当时，，则（ ）
A．B．
C．是增函数D．当时，
【答案】ACD
【分析】对A、B：根据题意直接赋值运算求解；对C：根据题意结合单调性的定义分析证明；对D：根据题意结合函数单调性分析运算.
【详解】对A：令，可得，解得，A正确；
对B：∵当时，，则，
∴，B错误；
对C：令，可得，即，
设，则，可得，
则，即，
故函数在内单调递增，C正确；
对D：∵函数在内单调递增，
故当时，，D正确.
故选：ACD.
三、填空题
13．计算：
【答案】
【分析】利用对数的运算性质即可求解.
【详解】原式.
故答案为：
14．函数，则 .
【答案】
【分析】先计算，从而可求解.
【详解】，所以.
故答案为：
15．函数的单调递减区间是 .
【答案】
【分析】根据题意，利用二次函数的图象与性质，以及对数函数的图象与性质，结合复合函数的单调性的判定方法，即可求解.
【详解】解：由不等式，即，
解得，即函数的定义域为，
令，可得函数在上点递增，在单调递减，
根据复合函数的单调性的判定方法，可得的递减区间为.
故答案为：.
16．已知函数若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是 .
【答案】
【分析】令，根据题意转化为，设的零点为，画出函数的图象，要使得方程恰有6个不同的实数根，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解.
【详解】解：画出函数的图象，如图所示，
令，则关于x的方程，可化为，
设的零点为，
要使得方程恰有6个不同的实数根，
①当方程在内有两个不同的实根时，
则满足，解得；
②当方程的两个实数根，且时，
则满足，解得；
③当方程的两个实数根，且时，
因为，所以此时不成立；
综上可得，实数m的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集为.
(1)求；
(2)若，且，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用补集和交集的定义即可求解；
（2）由可得，然后列出不等式即可.
【详解】（1）因为，，
所以或，
所以.
（2）因为，所以，
所以，解得，
故的取值范围为.
18．已知，是关于的方程的两个根．
（1）求实数的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）或；（2）
【详解】试题分析：（1）由韦达定理可得，消去，得关于实数的方程，即可求出实数的值；（2）由（1）可以判定，再根据可得结果.
试题解析：（1）∵，
∴或，经检验都成立，∴或．
（2）∵，∴，∴且，
∴．
【解析】1、韦达定理的应用；2、同角三角函数之间的关系.
19．已知函数.
(1)若，求在上的值域；
(2)若关于的方程有解，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1），令，则，根据二次函数在区间上的最值求法即可求解；
（2）令，则问题转化为在上有解，从而得到，求解即可.
【详解】（1）时，
令，则.
，即，
而的对称轴为，
所以函数在上单调递增，
，即.
在上的值域为；
（2）
令，则
有解，
在上有解，
，解得，
的取值范围为.
20．某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案．公司规定奖励方案中的总奖金额y（单位：万元）是销售利润x（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元；③销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元．现有以下三个函数模型供公司选择：
A．；B．；C．．
(1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由；
(2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题：
①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？
②总奖金能否超过销售利润的五分之一？
【答案】(1)模型C,理由见解析
(2)①210万元; ②不会.
【分析】（1）根据函数的图象性质即可选择模型；
（2）①令解对数不等式求解，②即，结合函数图象的增长速度解释.
【详解】（1）模型A．，因为，所以匀速增长，
模型B．，因为，先慢后快增长，
模型C．，因为，先快后慢增长，
所以模型C最符合题意.
（2）因为销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，
所以，即，
又因为销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，
所以，即，
由解得，所以，
①如果总奖金不少于9万元，即，
即，即，解得，
所以至少应完成销售利润210万元.
②设，即，
因为与有交点，
且增长速度比慢，
所以当时，恒在的下方，
所以无解，
所以总奖金不会超过销售利润的五分之一.
21．函数是定义在上的奇函数，且.
(1)判断在上的单调性，并用定义证明；
(2)解关于t的不等式.
【答案】(1)增函数，证明见解析
(2)
【分析】（1）根据奇函数性质求b，由可得a，然后利用单调性定义证明即可；
（2）利用单调性和奇偶性去掉函数符号，结合定义域求解可得.
【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，
得，解得，
经检验，时，，
所以是上的奇函数，满足题意，
又，解得，故，.
函数在上为增函数.证明如下：
且，
则，
因为，
所以，，，，
所以，即，
所以在上为增函数.
（2）因为为奇函数，所以，
不等式可化为，即，
又在上是增函数，所以，解得，
所以关于t的不等式解集为.
22．已知函数
(1)设函数是定义在上的奇函数，当时，，求函数的解析式；
(2)已知集合
①求集合；
②当时，函数的最小值为，求实数的值．
【答案】(1)
(2)①；②的值为或5
【分析】（1）根据奇函数的性质求解即可；
（2）①由题知解得，再解对数不等式即可得答案；
②由题知，进而结合①还原，转化为求，的最小值问题，再分类讨论求解即可.
【详解】（1）解：根据题意，当时，，
当时，，则，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，，
所以，
（2）解：①，即
所以，
所以，，解得
所以，
②
由①可得
所以，函数等价转化为，，
下面分三种情况讨论求解：
当，即，在上是增函数，所以，，解得，与矛盾，舍；
当，即时，在上是减函数，所以，解得，满足题意；
当，即时，，解得或（舍）
综上：的值为或5