专题02 复数（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练

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考法一 复数的实部与虚部
【例1-1】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若复数满足，则复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，故复数的虚部是.故选：C
【例1-2】（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知，若的虚部等于实部的两倍，则实数（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，
又的虚部等于实部的两倍，所以，解得.故选：D
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．3C．D．4
【答案】B
【解析】因为，
所以，
所以的虚部为3．
故选：B．
2．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）若i是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解析】，
复数的虚部等于．
故选：B．
3（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知复数，则的实部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】：因为，所以，
所以，所以的实部为.故选：A.
4．（2023·福建宁德·校考模拟预测）设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】A
【解析】复数，
因为其虚部为3，所以，可得.故选：A.
考法二 共轭复数
【例2-2】（2023·陕西西安·统考一模）复数的共轭复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则，所以复数的共轭复数为.故选：C
【例2-3】（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）已知复数满足，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由，得，所以.故选：B
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意可得，
则.
故选：B.
2．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】因为，所以，即．
故选：A．
3．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
故选 ：C
考法三 相等复数
【例3-1】（2023·新疆·统考三模）已知，其中，为虚数单位，则（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】，则，
则，解得，故选：D.
【例3-2】（2023·甘肃金昌·永昌县第一高级中学统考模拟预测）若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设复数，则，
则，则，，
所以．
故选：C.
【变式】
1．（2023·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）设，其中，为实数，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】A
【解析】，∴，，.
故选：A
2．（2023·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．-1B．0 ·C．1D．2
【答案】C
【解析】因为，
所以，解得：．故选：C.
3．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】，而为实数，故，
故选：B.
考法四 复数的模长
【例4-1】（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1B．5C．7D．25
【答案】B
【解析】由题意有，故．
故选：B．
【例4-2】．（2023·全国·统考高考真题）（ ）
A．1B．2C．D．5
【答案】C
【解析】由题意可得，则.故选：C.
【变式】
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）若，则（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【解析】，则，有，
∴.
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）已知，则（ ）.
A．B．C．2D．1
【答案】C
【解析】由，得，
则，所以.
故选：C.
3（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若复数，则（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【解析】，
故选：A
考法五 在复平面对应的象限
【例5-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】由，可得，
所以，故z在复平面内对应的点位于第一象限.
故选：A.
【例5-2】（2023·河北秦皇岛·校联考模拟预测）复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数的范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由，
复数在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得，故选：C．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】A
【解析】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
2．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】将整理化简可得，
所以复数在复平面内对应的点坐标为，
由点位于第四象限可得，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
3．（2023·河南开封·统考三模）“”是“复数（为虚数单位）在复平面上对应的点在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，
又复数z在复平面内所对应的点在第四象限，
所以，解得，
因此是必要不充分条件，
故选：B
考法六 复数的分类
【例6-1】（2023·河南·校联考模拟预测）若复数为纯虚数（），则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，
在中，
∵z为纯虚数，
∴，解得：，
∴，，
故选：C．
【例6-2】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知，复数，是实数，则（ ）
A．5B．10C．D．
【答案】C
【解析】，故，解得，故.
故选：C
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）复数为纯虚数，则实数的值是（ ）
A．-1B．1C．0或-1D．0或1
【答案】A
【解析】因为复数为纯虚数，
所以，解得：.
故选：A.
2．（2023·山西运城·山西省运城中学校校考二模）已知为虚数单位，若为实数，则实数（ ）
A．B．4C．2D．
【答案】B
【解析】，
要使为实数，需满足，所以.
故选：B.
3．（2023·河南·统考三模）复数纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．B．C．4D．1
【答案】C
【解析】为纯虚数，
所以，故.故选：C
考法七 在复数的范围内解方程
【例7-1】（2023·山东济南·统考三模）已知复数是关于的方程的两根，则的值为（ ）
A．-3B．-2C．2D．3
【答案】D
【解析】解法一：由，得，，
所以；
解法二：方程，由韦达定理可得.
故选：D
【例7-2】（2023·河南·统考模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
【答案】D
【解析】由是关于的方程的一个根，
则是关于的方程的一个根，
则，，
即，，则，故选：D.
【变式】
1．（2023·重庆·统考三模）设，是方程在复数范围内的两个解，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由方程得，由求根公式得根为，
不妨设，.
，A错误；
，B错误；
，C错误；
令，得或，
所以，也是方程的两个根，所以D正确.
故选：D.
2．（2023·辽宁沈阳·沈阳市第一二〇中学校考模拟预测）已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，则（ ）
A．9B．1C．D．
【答案】B
【解析】已知（是虚数单位）是关于的方程的一个根，
则，即，即，
解得，故.
故选：．
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知方程有实根b，且，则复数z等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由b是方程）的根可得，
整理可得：，所以，解得，
所以．故选：A
考法八 与复数相关的轨迹
【例8】．（2023·河北沧州·校考三模）设复数满足，在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】复数满足，则，∴，故选：D
【变式】
1．（2023·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数为虚数单位为纯虚数，则在复平面内，对应的点的轨迹为（ ）
A．圆B．一条线段C．两条直线D．不含端点的4条射线
【答案】D
【解析】由题意可知，复数在复平面内对应的点，
所以，
因为为纯虚数，所以，解得或，
故在复平面内，对应的点的轨迹为不含端点的4条射线.故选：D.
2．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知复数满足在复平面内对应的点为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，可知复数在复平面内对应的点为到点的距离为3，
则，即.
故选：C.
3．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）复数（为虚数单位）在复平面内对应点，则下列为真命题的是（ ）．
A．若，则点在圆上
B．若，则点在椭圆上
C．若，则点在双曲线上
D．若，则点在抛物线上
【答案】D
【解析】表示点与之间的距离，
表示点与之间的距离，记，，
对于A，，表示点到、距离相等，则点在线段的中垂线上，故A错误；
或由，整理得，所以点在，故A错误；
对于B，由得，这不符合椭圆定义，故B错误；
对于C，若，，这不符合双曲线定义，故C错误；
对于D，若，则，整理得，为抛物线，故D正确.
故选：D.
考法九 最值
【例9-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知，且，若，则的最大值是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】D
【解析】设，
因为，故，
因为，所以，
故，
当时，有最大值为2．故选：D．
【变式】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知复数满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】复数满足，
则复数z对应的点的轨迹为以为焦点，长轴长的椭圆，
则椭圆短半轴长为，椭圆方程为，
表示椭圆上的点到原点的距离，
当点位于椭圆长轴上的顶点时，取值大值2；
当点位于椭圆短轴上的顶点时，取值小值；
故的取值范围为，
故选：D
2．（2023秋·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．D．
【答案】A
【解析】设复数在复平面内对应的点为，
因为复数满足，
所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，
所以在复平面内点的轨迹为，
又表示点到点的距离，
所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，
当为时，到定点的距离最小，最小值为1，
所以的最小值为1，故选：A．
3．（2023·上海·统考模拟预测）设且，满足，则的取值范围为_____．
【答案】
【解析】设，
，则，
所以，
，所以，
即对应点在以为圆心，半径为的圆上.
，对应点为，
与关于对称，
所以点在以为圆心，半径为的圆上，
表示与两点间的距离，
圆与圆相交，圆心距为，如图所示，
所以的最小值为，最大值为，
所以的取值范围为.
故答案为：
考法十 复数的综合运用
【例10】（2023秋·辽宁·高三东北育才学校校联考开学考试）（多选）设复数，且,其中为确定的复数，下列说法正确的是（ ）.
A．若，则是实数
B．若，则存在唯一实数对使得
C．若 ，则 在复平面内对应的点的轨迹是射线
D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A中，若，因为，则，可得，
设，则，所以A正确；
对于B中，由A得，设，若，
则，
只要或，选项B就不正确；
例如：，此时，
可表示为或，
所以表示方法不唯一，所以B错误.
对于C中，若，则，可得，
则，所以且，
设，则，其中，
则复数对应的向量与复数对应的向量方向共线，且长度是倍，
故在复平面内对应的点的轨迹是射线（且与方向共线），所以C正确.
对于D中，若，可得，同理，
由，即，可得，
即，
即，即，
即，
因为，所以成立，
所以成立，所以D正确.
故选：ACD.
【变式】
1．（2023秋·辽宁抚顺）（多选）若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则在第二象限
B．若为纯虚数，则在虚轴上
C．若，则点的集合所构成的图形的面积为
D．若，互为共轭复数，则是实数
【答案】BD
【解析】对于A项，因为，则，
所以在坐标轴上，故A项错误；
对于B项，若为纯虚数，则（），则（）在虚轴上，故B项正确；
对于C项，设（），因为，所以，即，
则点的集合所构成的图形是圆心为，半径为3的圆及其内部，
所以点的集合所构成的图形面积为，故C项错误；
对于D项，设，则，所以，故D项正确．
故选：BD.
2．（2023春·河北石家庄）（多选）下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若复数满足，则
C．若，则复数一定为实数
D．若复数满足，则最大值为
【答案】ACD
【解析】A选项，由于，
根据复数相等的知识可知，A选项正确.
B选项，若，则，但，B选项错误.
C选项，设，
由得，
则，解得，所以为实数，C选项正确.
D选项，由于，所以对应点的轨迹是以为圆心，
半径为的圆，而表示圆上的点到原点的距离，
所以最大值为，D选项正确.

故选：ACD
3．（2023秋·广东河源·高三河源市河源中学校考阶段练习）（多选）已知复数z，，，是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．B．若，则
C．D．若，则的最小值为1
【答案】ACD
【解析】对于A，设，则，故A正确；
对于B，令，满足，故B错误；
对于C，设，，则
，所以，故C正确；
对于D，设，则，
即，表示以为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到的距离，故的最小值为，故D正确.
故选：ACD