专题03 平面向量（选填题10种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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考法一 平面向量的坐标运算
【例1】（2023·湖南·校联考二模）（多选）已知向量，//，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【解析】因为，所以，则A正确；，则B正确；
因为//，所以设，因为，
所以，解得，所以或，故C错误；
，故D错误．故选：AB
【变式】
1．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则向量的夹角为锐角
【答案】B
【解析】对于选项A：因为，则，
所以，解得或，故A错误；
对于选项B：因为//，所以，解得，故B正确；
对于选项C：因为，所以，解得，故C错误；
对于选项D：当时，，
由选项B可知：不共线，所以向量的夹角为钝角，故D错误.
故选：B.
2（2023·广东广州·统考三模）（多选）已知向量，，则（ ）
A．B．
C．D．在上的投影向量是
【答案】AC
【解析】因为，，
所以，，故A正确；
因为，故B错误；
，，故C正确；
因为在上的投影向量是，故D错误.
故选：AC．
3．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）（多选）已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若∥，则
C．若，则D．若，则向量，的夹角为钝角
【答案】BD
【解析】对于A，因为，，所以， ，解得或，故A错误；
对于B，因为∥，所以，解得，故B正确；
对于C，因为，所以，解得，故C错误；
对于D，当时，，，又因为此时，不共线，所以向量，的夹角为钝角，故D正确.故选：BD.
考法二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2023·安徽·校联考二模）如图，在中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，则①；
，则②；
①②两式相加，，即，
故选：C.
【例2-2】（2023·河南·校联考模拟预测）在平行四边形ABCD中，点E满足，，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】因为，则，
整理得，可得，
所以.
故选：A.
【变式】
1（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）在平行四边形中，､分别在边､上，，与相交于点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】过点作平行于，交于点，
因为，则为的中点，所以且，
因为，所以，
由可得：，所以，
因为，
所以，
故选：.
2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在中，是的中点，与交于点，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【解析】在中，设，由，可得，故．
又是的中点，，所以，所以．
由点三点共线，可得，解得，
故．
故选：A．
3．（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为.如图，在矩形中，与相交于点，，且点为线段的黄金分割点，则（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，显然，，
同理有，，
所以，故，
因为
，
所以.
故选：D
考法三 平面向量的数量积
【例3-1】（2022·全国·统考高考真题）已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】C
【解析】∵，
又∵
∴9，
∴
故选：C.
【例3-2】（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】方法一：以为基底向量，可知，
则，
所以；
方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，
则，可得，
所以；
方法三：由题意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：B.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知等边三角形的边长为2，D，E分别是，上的点，且，，则（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【解析】，
，
∴
．
故选：D．
2．（2023·全国·统考高考真题）已知向量，满足，，则 ．
【答案】
【解析】法一：因为，即，
则，整理得，
又因为，即，
则，所以.
法二：设，则，
由题意可得：，则，
整理得：，即.
故答案为：.
3．（2023·河北保定·统考二模）在中，点在边上，平分，若，，则 ．
【答案】1
【解析】延长至点，使，连接，
延长交于点，过点作的平行线交于．

平分，，为的中点，得，
，，可得，
．
，，，
可得，
．
故答案为：1．
考法四 平面向量的共线定理
【例4-1】（2023·山西临汾·统考一模）已知、为不共线的向量，，，，则（ ）
A．三点共线B．三点共线
C．三点共线D．三点共线
【答案】C
【解析】因为、为不共线的向量，所以、可以作为一组基底，
对于A：，，若存在实数使得，
则，所以，方程组无解，所以与不共线，故、、三点不共线，即A错误；
对于B：因为，，所以，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即B错误；
对于C：因为，，
所以，
又，所以，故、、三点共线，即C正确；
对于D：，，
同理可以说明不存在实数，使得，即与不共线，故、、三点不共线，即D错误；
故选：C
【例4-2】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在中，点为与的交点，，则（ ）
A．0B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以为中点，
三点共线，故可设，即，
整理得，
因为，所以，即，
三点共线，
可得，
所以，解得，
可得，则，.
故选：B
【变式】
1．（2023·广东广州·统考模拟预测）在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，得出，
由得
，
因为三点共线，所以，解得.
故选：D.
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）如图，在中，M为线段的中点，G为线段上一点，，过点G的直线分别交直线，于P，Q两点，，，则的最小值为（ ）．
A．B．C．3D．9
【答案】B
【解析】因为M为线段的中点，所以，又因为，所以，
又，，所以，
又三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故选：B.
3．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测），是两个不共线的向量，已知，，且三点共线，则实数 .
【答案】
【解析】依题意得，，于是，
由三点共线可知，存在，使得，即，
由于，是两个不共线的向量，则，解得.
故答案为：
考法五 平面向量中的取值范围
【例5-1】（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）在边长为2的菱形中，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】边长为2的菱形中，，如图所示，

则，，
，，
，
由于，所以当时，有最小值.
故选：B
【例5-2】（2023·山东潍坊·昌乐二中校考模拟预测）已知平面向量、、满足，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】不失一般性，在平面直角坐标系中，设，，，
因为，，，
所以，，
当且仅当时，等号成立.
因此，的最小值为.故选：C.
【变式】
1．（2023·河南开封·统考模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是 ．

【答案】
【解析】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
2．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量，满足，且，则的最小值是 ．
【答案】/
【解析】由两边平方得．
又因为，所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最小值是.
故答案为：.
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知中，，，，，，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由，结合向量加法法则知：到的距离为2，
又，则，所以，故为等腰直角三角形，
由，则，所以共线，
又，则，若为的两个四等分点，为中点，如下图示，

所以在线段上运动，且，，，
由图：若，则，又，此时，
故上述情况，易知，
由图知：与重合时，，
综上，的取值范围为.
故选：D
4．（2023·全国·统考高考真题）已知的半径为1，直线PA与相切于点A，直线PB与交于B，C两点，D为BC的中点，若，则的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】如图所示，，则由题意可知:，
由勾股定理可得

当点位于直线异侧时或PB为直径时，设，
则：
，则
当时，有最大值.

当点位于直线同侧时，设，
则：
，
，则
当时，有最大值.
综上可得，的最大值为.
故选：A.
考法六 平面向量与四心
【例6】（2023春·福建莆田·高一福建省仙游县华侨中学校考阶段练习）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则O是的外心
B．若，则I是的内心
C．若，则P是的垂心
D．若，则N是的重心
【答案】B
【解析】对于选项A：若，即到的距离相等，
根据外心的定义可知：O是的外心，故A正确；
对于选项B：若，则，
即I是三边高线的交点，所以I是的垂心，故B错误；
对于选项C：若，
则，即，
同理可得：，由选项B可知：P是的垂心，故C正确；
对于选项D：若，则（D为AB的中点），
即，根据重心的性质可知：N是重心，故D正确；
故选：B.
【变式】
1．（2023春·河南濮阳·高一统考期末）点为所在平面内的点，且有，，，则点分别为的（ ）
A．垂心，重心，外心B．垂心，重心，内心
C．外心，重心，垂心D．外心，垂心，重心
【答案】A
【解析】由，得，
即，
则，
得
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心，
故选：A
2．（2023春·广东珠海）（多选）在所在平面内，点满足，其中，m，，，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线AP一定经过的重心
B．当时，直线AP一定经过的外心
C．当，时，直线AP一经过的垂心
D．当，时，直线AP一定经过的内心
【答案】AC
【解析】对于A，因为，，所以，
设点为的中点，所以，
所以，所以直线AP一定经过的重心，所以A正确，

对于B，当时，，
因为为与同方向的单位向量，为与同方向的单位向量，
所以平分，
所以直线AP一定经过的内心，所以B错误，
对于C，当，时，，
所以
，
所以，所以直线AP一经过的垂心，所以C正确，
对于D， 当，时，，
作于，则， ，
所以，
所以直线AP一定经过的重心，所以D错误，
故选：AC

3．（2023春·湖北 ）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则点的轨迹不可能经过的外心
B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心
C．若，则点的轨迹可能经过的重心
D．若，则点的轨迹可能经过的内心
【答案】ABC
【解析】若，根据向量共线的推论知：共线，即在直线上，
中，当时，则的中点为三角形外心，故有可能为外心，A错；
若，不妨取
当时,
此时的轨迹经过的垂心，B错；
若为的重心，必有，此时，C错；
若，设为等边三角形，结合，
则点在的中线上，也在的平分线上，的轨迹可能经过的内心，D正确.
故选：ABC
4．（2023春·江苏扬州 ）（多选）已知直角三角形满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．若点为的重心，则；
B．若点为的外心，则；
C．若点为的垂心，则；
D．若点为的内心，则．
【答案】ABD
【解析】对于A ，设BC 的中点为 D ，则,
点为的重心，，A正确，
对于B ，直角三角形满足,点为的外心，O 为 BC 的中点，
，B正确，
对于C，直角三角形 满足 A =90°, 点为的垂心，的垂心O 与 A 重合，．C错误;
对于D，设直角三角形内切圆的半径为 r ,, 如下图，

OE = OF =1,
四边形 AEOF 为正方形， ,D正确．
故选： ABD .
考法七 平面向量巧建坐标
【例7】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，，，，若动点P满足，则的最大值为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】B
【解析】如图，以B为坐标原点，，的方向分别为x轴、y轴的正方向，建立平面直角坐标系，
则，，．
设，则．
因为，所以P是圆A：上的点．
又点P与点距离的最大值为，即，
所以．
故的最大值为17．
故选：B.

【变式】
1（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，
所以，，
所以
，其中，，
因为，所以，即；
故选：D
2．（2023·重庆·统考模拟预测）在正方形中，动点从点出发，经过，，到达，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，
设，则，
当点在上时，设，
则，即，故，
当点在上时，设，
则，即，解得，
故，
当点在上时，设，
则，即，故
综上，的取值范围是.
故选：B
3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）如图所示，梯形中，，且，点P在线段上运动，若，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图建立平面直角坐标系，
则，
∴，
设，，
∴，
又，
∴，
解得，
∴，
即的最小值为.故选：B.
考法八 平面向量与奔驰定理
【例8-1】（2023春·江苏盐城 ）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的lg很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，则，是内的一点，∠，∠，∠分别是的三个内角，以下命题正确的有（ ）
A．若，则
B．若，，且，则
C．若，则为的垂心
D．若为的内心，且，则
【答案】BCD
【解析】对选项A：，则，错误；
对选项B：，，
故，，正确；
对选项C：，即，故，
同理可得，，故为的垂心，正确；
对选项D：，故，设内接圆半径为，
，，，即，
即，，正确.
故选：BCD
【例8-2】（2023春·宁夏银川 ）已知点O是内一点，满足，，则实数m为 ．
【答案】
【解析】如图，令，则：
三点共线；
与共线反向，；
；-
解得．

故答案为：.
【变式】
1．（2023秋·福建厦门·高二厦门一中校考开学考试）已知为的外心，，，，则的面积为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设的中点为D，由为的外心可得，，
，
又，
所以，
又，可得，
故，则的面积为，
故选：D.

2．（2023秋·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
【答案】AD
【解析】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选：AD.
3．（2023秋·江西宜春）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的三叉车标很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知O是内的一点，，，的面积分别为、、，则有，设O是锐角内的一点，，，分别是的三个内角，以下命题正确的是（ ）．
A．若，则O为的重心
B．若，则
C．若O为（不为直角三角形）的垂心，则
D．若，，，则
【答案】ABC
【解析】对于A，设的中点为D，则，

即三点共线，则，
设为的中点，同理可得，
故O为的重心，A正确；
对于B，若，结合，
可知，B正确；
对于C，，，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，设延长后交与G，则,
同理，则，
即，
同理，

故，同理，
又，
，
又O为（不为直角三角形）的垂心，
则，
故，即，
同理，
则
，
同理，
故
，
又，可得，C正确；
对于D，中，，，则，
又，故，
则，
故，D错误，
故选：ABC
考法九 平面向量中的新定义
【例9】（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）设向量与的夹角为，定义.已知向量为单位向量，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意得，
解得，
又，所以，
所以.
故选：C
【变式】
1．（2023·辽宁·校联考模拟预测）定义：，其中为向量与的夹角．若，，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，，又，，
.
故选：D.
2．（2023·河南·校联考模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为 .
【答案】
【解析】因为，
所以，
则，所以.
故答案为：.
3（2022秋·重庆北碚·高三西南大学附中校考阶段练习）（多选）设非零向量，的夹角为，定义运算.下列叙述正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．设在中，，，则
D．（为任意非零向量）
【答案】AC
【解析】非零向量，的夹角为，定义运算，
对于A：若，则，即，又，
所以或，故A正确；
对于B：当，则，因为，所以，所以，故B错误；
对于C：在中，，，所以，所以，故C正确；
对于D：其中为与的夹角，
其中为与的夹角，其中为与的夹角，
则，
令，，，此时，，，
则不成立，故D错误；故选：AC
考点十 平面向量与其他知识综合
【例10-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测）已知，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
，所以或，
又，所以，所以，所以，故选：B.
【例10-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）复数在复平面内对应的点是A，其共轭复数在复平面内对应的点是B，O是坐标原点.若A在第一象限，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，则，由得：，
因为，所以，故，
故.故选：B
【变式】
1（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）已知点和数列满足，若分别为数列的前项和，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】D
【解析】由题意可得：，
则，
∵，则，
由，则，
同理，，
即数列均是周期为6的数列，而，
故选：D.
2．（2023·浙江·统考一模）（多选）已知O为坐标原点，点，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】对于A，因为，，，
所以，，
故是正三角形，则，故A正确；
对于B，因为是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，因为，则，
所以，故D错误.
故选：ABC．
.
3．（2023·全国·模拟预测）已知在△ABC中，∠BAC=60°，点D为边BC的中点，E，F分别为BD，DC的中点，若AD=1，则的最大值为______．
【答案】
【解析】设AC=b，AB=c，
则，
∵D为边BC的中点，
∴，
∴，即：，①
又∵，当且仅当时取等号. ②
∴由①②得：.
又∵E、F分别为BD、DC的中点，
∴，，
∴，当且仅当时取等号.
∴的最大值为.故答案为：.