2023年秋季九年级数学期末重点专题复习（含解析）

这是一份2023年秋季九年级数学期末重点专题复习（含解析），共84页。
（1）求该抛物线的函数解析式；
2．已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式．
3．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且BO＝CO，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
4．抛物线y＝4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB＝2，tan∠ABC＝4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．
7．如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．
平行四边形
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；y＝x2﹣x﹣6
（3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
直角三角形
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；y＝﹣x2﹣2x+3
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
练习
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
相似
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（2，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；y＝﹣x2+x+2
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
定值
14．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3
（3）如图，直线AD，BD分别与y交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
等角
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
练习
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（3）连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使∠CDE＝∠PCF？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
17．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
等腰三角形
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其中D为顶点，对称轴为直线DE．
（1）求抛物线的解析式；y＝﹣x2+2x+3
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
等腰直角
19．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于C（0，3）．D是第一象限内抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD方向平移m个单位，平移后A，D的对应点分别为M，N，在x轴上是否存在点P，使△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
课后练习
20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
21．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积最大；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D为（4，3）．
（1）求抛物线及直线l的函数关系式；
（2）点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△AFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；
（3）若点Q是y轴上一点，且∠ADQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．
二、相似三角形复习
23．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；
（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．
24．如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
25．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，连接AF，若∠DAF＝∠EDC．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若，AD＝12，，求DE的长．
26．如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°至BF，连接EF，EF交AD于点G．
（1）求证：△ABE∽△AEG；
（2）若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长．
27．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM•FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
28．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．
（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．
①求证：AE•AB＝AD•AC；
②求BF的长；
如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．
31．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
三、圆综合复习
32．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若EA＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
33．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
35．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．
36．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．
37．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
38．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
39．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC，AD，CD∥AB，CO∥DE，∠A＝22.5°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当CD＝2时，求图中阴影部分的面积．
参考答案与试题解析
1．如图，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB，OD在x轴上，已知点A（2，4），过点A，C两点的直线分别交x轴、y轴于点E，F，抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
【解答】解：（1）∵A（2，4），
∴OB＝2，AB＝4，
∵Rt△AOB≌Rt△OCD，
∴OD＝AB＝4，CD＝OB＝2，
∴C（4，2），
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过O，A，C三点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x；
2．已知抛物线y＝x2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴的负半轴上，点B在x轴的正半轴上，且tan∠ACO＝．
（1）求抛物线的解析式．
【解答】解：（1）由题意可得点C（0，﹣3），
∴OC＝3，
∴OA＝OC•tan∠ACO＝1，
∴点A的坐标为：（﹣1，0），′
代入y＝x2+bx﹣3，得0＝1﹣b﹣3，
∴b＝﹣2，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
3．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（5，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且BO＝CO，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式；
【解答】（1）解：∵BO＝CO，B（5，0），
∴C（0，5），
将B（5，0），C（0，5）代入y＝﹣x2+bx+c可得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5；
4．抛物线y＝4x2﹣2ax+b与x轴相交于A（x1，0），B（x2，0）（0＜x1＜x2）两点，与y轴交于点C．
（1）设AB＝2，tan∠ABC＝4，求该抛物线的解析式；
（2）在（1）中，若点D为直线BC下方抛物线上一动点，当△BCD的面积最大时，求点D的坐标；
（3）是否存在整数a，b使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立，请证明你的结论．
【解答】解：（1）∵tan∠ABC＝4
∴可以假设B（m，0），则A（m﹣2，0），C（0，4m），
∴可以假设抛物线的解析式为y＝4（x﹣m）（x﹣m+2），
把C（0，4m）代入y＝4（x﹣m）（x﹣m+2），得m＝3，
∴抛物线的解析式为y＝4（x﹣3）（x﹣1），
∴y＝4x2﹣16x+12，
（2）如图，设D（m，4m2﹣16m+12）．作DH∥OC交BC于H．
∵B（3，0），C（0，12），
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+12，
∴H（m，﹣4m+12），
∴S△DBC＝S△DHC+S△DHB＝•（﹣4m+12﹣4m2+16m﹣12）•3＝﹣6（m﹣）2+，
∵﹣6＜0，
∴m＝时，△DBC面积最大，
此时D（，﹣3）．
（3）不存在．
理由：假设存在．由题意可知，
且1＜﹣＜2，
∴4＜a＜8，
∵a是整数，
∴a＝5 或6或7，
当a＝5时，代入不等式组，不等式组无解．
当a＝6时，代入不等式组，不等式组无解．
当a＝7时，代入不等式组，不等式组无解．
综上所述，不存在整数a、b，使得1＜x1＜2和1＜x2＜2同时成立．
5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线解析式及B，C两点坐标；
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点D坐标；
（3）该抛物线对称轴上是否存在点E，使得∠ACE＝45°，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把点A的坐标代入解析式得b＝，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+4，
∴点C的坐标为（0，4），点B的坐标为（1，0）．
（2）以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：
①若AC为对角线，设AC的中点为F，则根据中点坐标公式可得F的坐标为（﹣，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣4，b＝4，此时点D的坐标为（﹣4，4），
②若以AB为对角线，设AB的中点为F，则F的坐标为（﹣1，0），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝﹣2，b＝﹣4，此时点D的坐标为（﹣2，﹣4），
③若以BC为对角线，设BC的中点为F，则点F的坐标为（，2），
设点D的坐标为（a，b），则有，
解得a＝4，b＝4，此时点D的坐标为（4，4），
综上所述，点D的坐标为（﹣4，4）或（﹣2，﹣4）或（4，4）；
（3）存在，理由如下：
∵tan∠ACO＝＝＜1，
∴∠ACO＜45°，
∴E不可能出现在直线AC下方，也不可能在直线AC上，
当点E在直线AC上方时，∠ACE＝45°，过点E作EM⊥AC，如图：
根据点A（﹣3，0）和点C（0，4）可得直线AC的解析式为y＝，设直线AC与对称轴交于点H，
∴点H（﹣1，），HC＝，
∵EH∥y轴，
∴∠EHM＝∠HCO，
∴tan∠EHM＝tan∠HCO＝＝，
∴EM＝HM，
∵∠ACE＝45°，
∴EM＝CM，
∴HC＝HM+CM，即＝HM+HM，
解得HM＝，
∴EM＝，
在Rt△EMH中，EH＝，
解得EH＝，
∴E的纵坐标为＝，
∴点E的坐标为（﹣1，）．
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．
（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；
（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；
（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．
【解答】解：（1）由题意可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点坐标为（﹣1，4），
当y＝0时，则0＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝1，x2＝﹣3，
∴抛物线与x轴的交点坐标为（1，0），（﹣3，0）；
（2）如图，
当y＝3时，3＝﹣x2﹣2x+3，
∴x1＝0，x2＝﹣2，
由图象可得：当﹣2≤x≤0时，y≥3；
（3）∵a+b+c＝0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0，b＝﹣a﹣c，一元二次方程ax2+bx+c＝0必有一根为x＝1，
∵一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，
∴方程的另一个根为1+c﹣a，
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为：直线x＝1+，
∴﹣＝1+，
∴a+c＝﹣a2+ac+2a，
∴（a﹣1）（a﹣c）＝0，
∵a＞c，
∴a＝1，P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2），
∴b＝﹣1﹣c，
∴抛物线解析式为：y＝x2﹣（1+c）x+c，
∴当x＝﹣c时，则y1＝（﹣c）2﹣（1+c）（﹣c）+c＝2c2+c﹣，
当x＝1+3c时，则y2＝（1+3c）2﹣（1+c）（1+3c）+c＝6c2+3c，
∴y2﹣y1＝（6c2+3c）﹣（2c2+c﹣）＝4（c+）2﹣，
∵b＞c，
∴﹣1﹣c＞c，
∴c＜﹣，
∴4（c+）2﹣＞0，
∴y2＞y1．
7．如图，抛物线y＝（x+1）（x﹣a）（其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为△ABC的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为：4，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线y＝（x+1）（x﹣a）上是否存在一点P，使得∠CAP＝∠DBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+1）（x﹣a），令y＝0，可得x＝﹣1或a，
∴B（﹣1，0），A（a，0），
令x＝0，得到y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
∴OA＝OC＝a，OB＝1，
∴AB＝1+a．
∵∠AOC＝90°，
∴∠OCA＝45°．
（2）∵△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
∵点D是△ABC的外心，
∴∠BDC＝2∠CAB＝90°，DB＝DC，
∴△BDC也是等腰直角三角形，
∴△DBC∽△OAC，
∴＝，
∴＝，
解得a＝2，
经检验，a＝2是方程的解，
∴抛物线的解析式为y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2．
（3）作点C关于抛物线的对称轴x＝的对称点C′，连接AC′．
∵C（0，﹣2），C′（1，﹣2），
∴C′C∥AB，
∵BC，AC′关于直线x＝对称，
∴CB＝AC′，
∴四边形ABCC′是等腰梯形，
∴∠CBA＝∠C′AB，
∵∠DBC＝∠OAC＝45°，
∴∠ABD＝∠CAC′，
∴当点P与点C′重合时满足条件，
∴P（1，﹣2）．
作点P关于直线AC的对称点E（0，﹣1），则∠EAC＝∠PAC＝∠ABD，作直线AE交抛物线于P′，点P′满足条件，
∵A（2，0），E（0，﹣1），
∴直线AE的解析式为y＝x﹣1，
由，解得（即点A）或，
∴P′（﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣，﹣）．
8．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+OQ的最小值．
【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC＝＝2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cs∠DEF＝，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcs∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×＝（﹣x2﹣4x﹣3），
∵﹣＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，
PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD＝＝；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，
DQ+OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
设DK交x轴于点T，
则直线OK的表达式为：y＝x，
则tan∠KOT＝，
∵DK⊥OK，
则tan∠DTO＝，
故设直线DK的表达式为：y＝﹣x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，
而直线DK的表达式为：y＝﹣x+2﹣，
故点Q（0，2﹣），
由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角（设为α）的正切值为，则csα＝，
则DQ＝＝＝，而OQ＝（2﹣），
则DQ+OQ为最小值＝+（2﹣）＝．
9．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝2，OC＝6，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE．请你求出四边形ABEC面积最大时，点E的坐标；
（3）若点M是x轴上的动点，在抛物线的对称轴上是否存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵OA＝2，OC＝6，
∴A（﹣2，0），C（0，﹣6），
将A、C点坐标代入y＝x2+bx+c，
∴，
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6；
（2）连接BC，过点E作EF∥y轴交BC于点F，
当y＝0时，x2﹣x﹣6＝0，
解得x＝3或x＝﹣2，
∴B（3，0），
设直线BC的解析式为y＝kx﹣6，
∴3k﹣6＝0，
解得k＝2，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣6，
设E（t，t2﹣t﹣6），则F（t，2t﹣6），
∴EF＝2t﹣6﹣（t2﹣t﹣6）＝﹣t2+3t，
∴S△BCE＝3×（﹣t2+3t）＝﹣t2+t，
∵AB＝5，CO＝6，
∴S△ABC＝5×6＝15，
∴S四边形ABEC＝15﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，四边形ABEC面积最大，最大值为，
此时E（，﹣）；
（3）存在点N，使以点A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵y＝x2﹣x﹣6＝（x﹣）2﹣，
∴抛物线的解析式为直线x＝，
设M（x，0），N（，n），
①当AM为平行四边形的对角线时，﹣2+x＝，
解得x＝，
∴M（，0）；
②当AC为平行四边形的对角线时，﹣2＝x+，
解得x＝﹣，
∴M（﹣，0）；
③当AN为平行四边形的对角线时，﹣2+＝x，
解得x＝﹣，
∴M（﹣，0）；
综上所述：M点点坐标为（，0）或（﹣，0）或（﹣，0）．
10．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0），B（﹣3，0），与y轴的正半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F．
①连接CF、BF，当△FBC的面积最大时，求此时点F的坐标；
②探究是否存在点D使得△CEF为直角三角形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（﹣3，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）①令x＝0，代入y＝﹣x2﹣2x+3，得：y＝3，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（﹣3，0），C（0，3），代入y＝kx+b得，
，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝x+3．
设F（x，﹣x2﹣2x+3），则E（x，x+3），
∴FE＝﹣x2﹣2x+3﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，
∴△FBC的面积＝＝（﹣x2﹣3x）＝，
∴x＝﹣时，△FBC的面积最大，此时F（﹣，）；
②（Ⅰ）当∠CFE＝90°时，如图：
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠ODF＝∠CFE＝90°，
∴CF∥OB，
∴点F的纵坐标为3，
∴3＝﹣x2﹣2x+3，
解得x1＝0（舍去），x2＝﹣2，
∴F（﹣2，3），
（Ⅱ）当∠ECF＝90°时，过点C作CH⊥EF于H，
∵DF∥y轴，
∴DF⊥x轴，
∴∠BDE＝90°，
∵C（0，3），B（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，
∴∠OBC＝45°，
∴∠DEB＝∠CEH＝45°，
∵∠ECF＝90°，
∴CE＝CF，
∵CH⊥EF，
∴EF＝2CH，
设D（m，0），则E（m，m+3），F（m，﹣m2﹣2m+3），
∴EF＝﹣m2﹣2m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣3m，CH＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣2m，
∴m1＝0（舍去），m2＝﹣1，
∴点D坐标为（﹣1，0），
∴F（﹣1，4），
综上，点F的坐标为（﹣2，3）或（﹣1，4）．
11．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x+3经过B，C两点，连接AC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E为直线BC上方的抛物线上的一动点（点E不与点B，C重合），连接BE，CE，设四边形BECA的面积为S，求S的最大值；
（3）若点Q在x轴上，则在抛物线上是否存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得：，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过E作EF⊥x轴于点F，与BC交于点H，
∵A（﹣1，0），B（3，0），
∴AB＝4
当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3），
∴OC＝3，
设E（a，﹣a2+2a+3），则H（a，﹣a+3），
∴EH＝﹣a2+2a+3+a﹣3＝﹣a2+3a，
∵S四边形BECA＝S△ABC+S△BCE，
∴S＝×4×3+（﹣a2+3a）×3
＝6+（﹣a2+3a）
＝，
∴当a＝时，S的最大值为；
（3）存在一点P，使得以B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
∵B（3，0），C（0，3），
设Q（x，0），P（m，n），
∵B，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，
①当BQ∥PC时，
∵四边形BCPQ是平行四边形，
∴BP与CQ是对角线，则有0+n＝3+0，
∴n＝3，
将P（m，3）代入y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣m2+2m+3＝3，
∴m＝0（舍去）或m＝2，
∴P（2，3）；
②当BQ∥PC时，
∵四边形BPCQ是平行四边形，
∴BC与PQ是对角线，则有0+n＝0+3，
∴n＝3，
∴P（2，3）；
③当BP∥CQ时，
∵四边形BCQP是平行四边形，
∴BQ与CP是对角线，则有3+n＝0+0，
∴n＝﹣3，
将P（m，﹣3）代入y＝﹣x2+2x+3，
∴﹣m2+2m+3＝﹣3，
∴m＝，
∴P（1+，﹣3）或P，﹣3）；
综上所述：P点坐标为（2，3）或（1+，﹣3）或，﹣3）．
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A（1，0），点C（0，3），且BC＝5．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（﹣，0），试判断△DCB的形状，并说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵C（0，3），
∴OC＝3，
在Rt△COB中，OC＝3，BC＝5，∠BOC＝90°，
∴OB＝＝4，
∴点B的坐标是（4，0），
设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣4），
把C（0，3）代入得a•（﹣1）•（﹣4）＝3，解得a＝，
∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x﹣4），即y＝x2﹣x+3；
（2）△DCB是直角三角形，
理由：∵BC＝5，
∴BC2＝52＝25，
在Rt△COD中，DC2＝CO2+DO2＝32+（）2＝，
∵BD2＝[4﹣（﹣）]2＝，
∴BC2+DC2＝BD2，
∴△BCD是直角三角形；
（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以B，C，P三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：
∵抛物线的解析式是y＝x2﹣x+3，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝．
设点P坐标为（，m）．
∵点C（0，3），点B（4，0），
∴BP2＝（4﹣）2+m2＝+m2．
PC2＝（）2+（m﹣3）2＝m2﹣6m+．
BC2＝25．
①当∠PCB＝90°时，BP2＝BC2+PC2．
∴+m2＝25+m2﹣6m+．
解得：m＝．
故点P（，）；
②当∠PBC＝90°时，PC2＝PB2+BC2．
∴m2﹣6m+＝+m2+25，
解得：m＝﹣2．
故点P（，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，有BC2＝BP2+PC2．
∴25＝m2﹣6m+++m2．
解得：m1＝，m2＝．
∴P（，）或P4（，）．
综上所述，存在，点P的坐标为（（，）或（，﹣2）或（，）或（，）．
13．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（2，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）因为y＝ax2+bx+2过点A（2，0）、B（﹣1，0），
则，
解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）对于y＝﹣x2+x+2，令x＝0，则y＝2，
∴点C（0，2），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，由直线过点A、C的坐标得，
，
解得，
直线AC的表达式为：y＝﹣x+2，
设点D的横坐标为m，则点D（m，﹣m2+m+2），
∴点F（m，﹣m+2），
∴DF＝﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣1）2+1，
∵﹣1＜0，
∴DF有最大值，此时m＝1，
∴点D（1，2）；
（3）存在，理由：
点D（m，﹣m2+m+2）（m＞0），则OE＝m，DE＝﹣m2+m+2，
以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似，
∴当△DOE∽△BCO，即时，
＝2，
解得：m＝1或﹣2（舍去），
同理当△DOE∽△CBO时，
m＝，
故m＝，或m＝1．
14．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若∠ACO+∠BCD＝45°，求点D坐标；
（3）如图，直线AD，BD分别与y交于点E，点F，则是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），
∴，解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）过点C作CM⊥y轴交抛物线于点M，过点M作MN⊥CM交CD于点N，
∴∠OCM＝90°，∠CMN＝90°，
∴∠MCN+∠OCD＝90°，
∵点C（0，3），
∴M（2，3），
在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0，得x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），
∴OB＝OC＝3，
∴△BOC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵∠ACO+∠BCD＝45°，
∴∠ACO+∠BCD+∠OCB＝90°，
∴∠OCA+∠OCD＝90°，
∴∠MCN＝∠OCA，
∵∠CMN＝∠COA＝90°，
∴△MNC∽△OAC，
∴，即，
∴MN＝，
∴N（2，），
设直线CN的解析式为y＝sx+t，
∴，解得，
∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，
联立y＝﹣x2+2x+3得，
解得（舍去）或，
∴点D坐标为（，）；
（3）是为定值，这个定值为3．
设D（m，﹣m2+2m+3），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线AD的解析式为y＝﹣（m﹣3）x+3﹣m，
∴E的坐标为（0，3﹣m），
同理可得F的坐标为（0，3m+3），
∴FC＝3m+3﹣3＝3m，
EC＝3﹣3+m＝m，
∴＝3．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D（1，0），将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接BE，求△BCE的面积；
（3）抛物线上是否存在一点P，使∠PEA＝∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处，点A的坐标为（3，0），点D的坐标为（1，0），
∴点E的坐标为（﹣1，0）．
将A（3，0），E（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3，
得：，解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）当x＝0时，y＝﹣1×02+2×0+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3）．
设直线AB的解析式为y＝mx+n（m≠0），
将A（3，0），B（0，3）代入y＝mx+n，
得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3．
∵点C在直线AB上，CD⊥x轴于点D（1，0），当x＝1时，y＝﹣1×1+3＝2，
∴点C的坐标为（1，2）．
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），点C的坐标为（1，2），点E的坐标为（﹣1，0），
∴AE＝4，OB＝3，CD＝2，
∴S△BCE＝S△ABE﹣S△ACE＝AE•OB﹣AE•CD＝×4×3﹣×4×2＝2，
∴△BCE的面积为2．
（3）存在，理由如下：
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∴OA＝OB＝3．
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠BAE＝45°.
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（m，﹣m2+2m+3）．
①当点P在x轴上方时记为P1，过点P1作P1M⊥x轴于点M，
在Rt△EMP1中，∠P1EA＝45°，∠P1ME＝90°，
∴EM＝P1M，即m﹣（﹣1）＝﹣m2+2m+3，
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝2，
∴点P1的坐标为（2，3）；
②当点P在x轴下方时记为P2，过点P2作P2N⊥x轴于点N，
在Rt△ENP2中，∠P2EN＝45°，∠P2NE＝90°，
∴EN＝P2N，即m﹣（﹣1）＝﹣（﹣m2+2m+3），
解得：m1＝﹣1（不合题意，舍去），m2＝4，
∴点P2的坐标为（4，﹣5）．
综上所述，抛物线上存在一点P，使∠PEA＝∠BAE，点P的坐标为（2，3）或（4，﹣5）．
16．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4），抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，点P为线段BC上方的抛物线上的一点，过点P作垂直于x轴的直线l交线段BC于点F．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+c的表达式；
（2）当四边形DEFP为平行四边形时，求点P的坐标；
（3）连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使∠CDE＝∠PCF？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C（0，4），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；
（2）设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得，
解得，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x﹣）2+，
∴点D的坐标为：（，），
将x＝代入y＝﹣x+4，即y＝﹣+4＝，
∴点E的坐标为：（，），
∴DE＝﹣＝，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t＝，
解得：t1＝（不合题意舍去），t2＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为（，）；
（3）存在，理由如下：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴，
∵C（0，4）、E（ ，），
∴CE＝＝，
由（2）得：DE＝，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF＝＝t，
∴，
∵t≠0，
∴（﹣t+4）＝3，
解得：t＝，
当t＝时，﹣t2+3t+4＝﹣（）2+3×+4＝，
∴点P的坐标为：（，）．
17．如图，抛物线y＝ax2+2ax+c经过B（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于另一点A，点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，连接AC，点E在直线AC上方的抛物线上，连接EA，EC，当△EAC面积最大时，求点E坐标；
（3）如图2，连接AC、BC，在抛物线上是否存在点M，使∠ACM＝∠BCO，若存在，求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，3）代入y＝ax2+2ax+c得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，
∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴顶点D（﹣1，4）；
（2）令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，
解得：x＝1或﹣3．
∴A（﹣3，0）．
∴OA＝3．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝x+3．
∵点E在直线AC上方的抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上，
∴设E（m，﹣m2﹣2m+3），﹣3＜m＜0．
过点E作EH⊥x轴于点H，交AC于点F，则F（m，m+3），
∴EH＝﹣m2﹣2m+3，FH＝m+3，
∴EF＝EH﹣FH＝﹣m2﹣3m．
∴△EAC面积＝EF•OA＝（﹣m2﹣3m）×3＝﹣﹣m＝﹣+．
∵﹣＜0，
∴当m＝﹣时，△EAC面积最大．
此时点E的坐标为（﹣，）；
（3）在抛物线上存在点M，使∠ACM＝∠BCO，理由：
分两种情况：
设M（x，﹣x2﹣2x+3），
①如图，当CM交x轴于G时，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACG＝∠OCB，
∵OC＝OA＝3，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∴∠BCM＝45°，
∵∠ACB＝∠BCM+∠ACG，∠BGC＝∠OAC+∠ACG，
∴∠ACB＝∠BGC，
∵∠CBG＝∠CBA，
∴△BCG∽△BAC，
∴，
∵OB＝1，OC＝3，
∴BC＝，
设G（﹣t，0），
∴，
∴t＝，
∴G（﹣，0），
设直线CG的解析式为y＝ex+f，
∴，
解得：．
∴直线CG的解析式为：y＝2x+3，
则，
∴﹣x2﹣2x+3＝2x+3，
x2+4x＝0，
x（x+4）＝0，
x1＝0（舍），x2＝﹣4，
当x＝﹣4时，y＝﹣5，
∴M（﹣4，﹣5）；
②当CM与x轴交于点N时，过B作BP⊥AC于P，如图，
∵∠OAC＝45°，
∴△ABP是等腰直角三角形，
∵AB＝OA+OB＝3+1＝4，
∴AP＝BP＝＝2，
∵AC＝＝3，
∴CP＝AC﹣AP＝，
∵∠BCO＝∠ACM，
∴∠ACB＝∠OCM，
∵∠BPC＝∠COA＝90°，
∴△BCP∽△NCO，
∴，
∴，
∴NO＝6，
∴N（﹣6，0），
设直线NC的解析式为y＝dx+n，
∴，
解得：．
∴直线NC的解析式为：y＝x+3，
联立方程组得：，
解得：x1＝0，x2＝﹣，
当x＝﹣时，y＝，
∴M（﹣，），
综上所述，存在点M（﹣4，﹣5）或（﹣，），使得∠ACM＝∠BCO．
18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c，过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其中D为顶点，对称轴为直线DE．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M是抛物线在BD右上方的一点，设点M的横坐标为m，△MBD面积为S．S是否有最大值？若有，请求出最大值及M的坐标，若无，请说明理由；
（3）在抛物线的对称轴上找一点P，使△PAC是等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴D（1，4），对称轴为直线x＝1，
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣2x+6，
过点M作MG∥y轴交BD于点G，
∵M（m，﹣m2+2m+3），
∴G（m，﹣2m+6），
∴MG＝﹣m2+4m﹣3，
∴S＝2×（﹣m2+4m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，S有最大值1，
此时M（2，3）；
（3）设P（1，t），
∴PA＝，PC＝，AC＝，
①当PA＝PC时，＝，
解得t＝1，
∴P（1，1）；
②当PA＝AC时，＝，
解得t＝或t＝﹣，
∴P（1，）或（1，﹣）；
③当PC＝AC时，＝，
解得t＝0或t＝6，
∴P（1，6）（舍）或（1，0）；
综上所述：P点坐标为（1，1）或（1，）或（1，﹣）或（1，0）．
19．如图，抛物线与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于C（0，3）．D是第一象限内抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，BD，当∠ABD＝∠ACB时，求点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线AD方向平移m个单位，平移后A，D的对应点分别为M，N，在x轴上是否存在点P，使△PMN是等腰直角三角形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将C（0，3），A（﹣1，0）代入，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+3；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
∴BC＝5，
∴AB＝BC＝5，
∴∠ABD＝∠ACB＝∠BAC，
∴点D与点C关于抛物线对称轴对称，
由（1）得对称轴为，
∴D（3，3）；
（3）在x轴上存在点P，使是等腰直角三角形，理由如下：
设直线AD的解析式为y＝kx+n，
∴，
解得，
∴直线AD的解析式为，
平移中，A，D两点的距离保持不变，
∴MN＝AD＝BC＝5，
∴；
①当MP⊥MN时，此时MP＝MN＝5，
∴，
∴AM＝MP＝；
②当NP⊥MN时，此时NP＝MN＝5，
∴，
∴，
∴；
③当PM＝PN，PM⊥PN时，
作过点P作PH⊥MN于点H，
∴，
∴，
∴AM＝AH﹣MH＝﹣＝；
综上所述，m的值为或或，△PMN是等腰直角三角形．
20．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（0，3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在第一象限，连接AM，BM．当线段PM最长时，求△ABM的面积；
（3）是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）将点A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）设线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+3，
∵P（t，﹣t+3）（0＜t＜3），则M（t，﹣t2+2t+3），
∴PM＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PM最长为，
此时S△ABM＝×3×＝；
（3）存在点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
由（2）知，P（t，﹣t+3），M（t，﹣t2+2t+3），
①当PB为平行四边形的对角线时，
﹣t+3+3＝﹣t2+2t+3，
此时t无解；
②当PO为平行四边形的对角线时，
﹣t+3＝﹣t2+2t+3+3，
解得t＝或t＝，
∴P（，）或（，）；
综上所述：P点坐标为（，）或（，）．
21．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．
（1）求抛物线解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积最大；
（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC＝∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）代入y＝ax2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2+x+1；
（2）设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+1，
过P点作PH∥y轴交BC于点H，连接PC，PB，
设P（t，﹣t2+t+1），则H（t，﹣t+1），
∴PH＝﹣t2+t，
∴S△PBC＝3×（﹣t2+t）＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
∴当t＝时，S△PBC的面积最大值为，
此时P（，）；
（3）存在点Q，使∠BQC＝∠BAC，理由如下：
∵y＝﹣x2+x+1＝﹣（x﹣1）2+，
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∵A（﹣1，0），C（0，1），
∴OA＝OC，
∴∠CAO＝45°，
作△ABC的外接圆M，⊙M与对称轴的交点为Q，
∴∠BQC＝∠CAB＝45°，
设M（1，m），
∴MC＝MB，
∴1+（m﹣1）2＝4+m2，
∴m＝1，
∴M（1，﹣1），
∴MB＝，
∴MQ＝，
∴Q（1，﹣1﹣）．
22．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，且点D为（4，3）．
（1）求抛物线及直线l的函数关系式；
（2）点F为抛物线顶点，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使△AFG为等腰三角形，若存在，求出点G的坐标；
（3）若点Q是y轴上一点，且∠ADQ＝45°，请直接写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）设抛物线函数关系式为y＝a（x+2）（x﹣6），
将点D（4，3）代入得，
a＝﹣，
∴y＝﹣x2+x+3；
设直线l的函数关系式为y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝x+1；
（2）存在点G，使△AFG为等腰三角形，理由如下：
由题知，点F（2，4），
∴，
设G（2，y），
∴AG＝，
当点A为顶点，AF为腰时，AF＝AG，
∴4＝，
∴y＝±4，
此时G（2，﹣4），
当点F为顶点，AF为腰时，FA＝FG，
∴4＝|4﹣y|，
∴y＝4﹣4或y＝4+4，
此时，
当点G为顶点，AF为底时，GA＝GF，
∴，
解得y＝0，
∴G（2，0），
综上所述：；
（3）如图1，当Q点在y轴正半轴上时，
过点D作DF⊥y轴交于F点，取点M（0，2），连接AM，过点E作EK⊥AM交于点K，
∵DF∥AO，
∴∠FDA＝∠EAO，
∵OM＝OA，
∴∠MAO＝45°，
∵∠ADQ＝45°，
∴∠QDF＝∠MAE，
∵ME＝1，
∴KM＝KE＝，
∵OM＝OA＝2，
∴AM＝2，
∴AK＝，
∴tan∠KAE＝＝＝，
∴tan∠QDF＝＝＝，
∴QF＝，
∴OQ＝+3＝，
∴Q（0，）；
如图2，当Q点在y轴负半轴上时，
过点D作DH⊥x轴交于点H，
∵∠ADQ＝45°，
∴∠FDA+∠QDH＝45°，
∵∠FDE＝∠EAO，
∴∠MAE＝∠QDH，
∴tan∠QDH＝＝＝，
∴PH＝1，
∴OP＝3，
∵∠PDH+∠DPH＝90°，∠OPQ+∠OQP＝90°，∠OPQ＝∠DPH，
∴∠OQP＝∠PDH，
∴tan∠OQP＝＝＝，
∴OQ＝9，
∴Q（0，﹣9）；
综上所述：Q点坐标为（0，﹣9）或（0，）．
23．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，在AD边上取一点F，连接BF交AC于点E，并延长BF交CD的延长线于点G．
（1）若∠ABF＝∠ACF，求证：CE2＝EF•EG；
（2）若DG＝DC，BE＝7，求EF的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CG，
∴∠ABF＝∠G，
又∵∠ABF＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠G，
又∵∠CEF＝∠CEG，
∴△ECF∽△EGC，
∴，
即CE2＝EF•EG；
（2）解：∵平行四边形ABCD中，AB＝CD，
又∵DG＝DC，
∴AB＝CD＝DG，
∴AB：CG＝1：2，
∵AB∥CG，
∴，
即，
∴EG＝14，BG＝21，
∵AB∥DG，
∴＝1，
∴BF＝BG＝，
∴EF＝BF﹣BE＝﹣7＝．
24．如图，▱ABCD中，CG⊥AB于点G，∠ABF＝45°，F在CD上，BF交CG于点E，连接AE，AE⊥AD．
（1）若BG＝1，BC＝，求EF的长度；
（2）求证：AB﹣BE＝CF．
【解答】解：（1）∵CG⊥AB，BG＝1，，
∴．
∵∠ABF＝45°，
∴△BGE是等腰直角三角形，
∴EG＝BG＝1，
∴EC＝CG﹣EG＝3﹣1＝2，
∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABF＝45°，CG⊥AB，
∴∠CFE＝∠ABF＝45°，∠FCE＝∠BGE＝90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴EF＝＝2；
（2）证明：过E作EH⊥BE交AB于H，
∵∠ABF＝45°，∠BEH＝90°，
∴△BEH是等腰直角三角形，
∴，BE＝HE，
∴∠BHE＝45°，
∴∠AHE＝180°﹣∠BHE＝180°﹣45°＝135°，
由（1）知，△BGE和△ECF都是等腰直角三角形，
∴∠BEG＝45°，CE＝CF，
∴∠BEC＝180°﹣∠BEG＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AHE＝∠CEB，
∵AE⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠DAE+∠EAB＝90°+∠EAB，
由（1）知，∠FCE＝90°，
∴∠BCD＝∠FCE+∠BCG＝90°+∠BCG，
∵在平行四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD，
∴90°+∠EAB＝90°+∠BCG，
∴∠EAB＝∠BCG，
即∠EAH＝∠BCE，
在△EAH和△BCE中，
∴△EAH≌△BCE（AAS），
∴AH＝CE＝CF，
∴AB﹣BE＝AB﹣BH＝AH＝CF，
即AB﹣BE＝CF．
25．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连接DE，F为线段DE上一点，连接AF，若∠DAF＝∠EDC．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若，AD＝12，，求DE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝6，
∵△ADF∽△DEC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝18．
26．如图，点E是正方形ABCD的对角线CA延长线上一点，连接BE，将BE绕点B顺时针旋转90°至BF，连接EF，EF交AD于点G．
（1）求证：△ABE∽△AEG；
（2）若正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，求AE的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝AD＝CD，∠ABC＝∠D＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝∠DAC＝∠DCA＝45°，
∴∠BAE＝∠EAG＝180°﹣45°＝135°，
∵将BE绕点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
∵∠BEF＝∠F＝45°，
∴∠AEG＝45°﹣∠AEB，
∵∠ABE＝∠BAC﹣∠AEB＝45°﹣∠AEB，
∴∠ABE＝∠AEG，
∴△ABE∽△AEG．
（2）解：∵正方形ABCD的边长为4，点G为AD的中点，
∴AB＝AD＝4，
∴AG＝AD＝2，
∵△ABE∽△AEG，
∴＝，
∴AE2＝AB•AG＝4×2＝8，
∴AE＝2，
∴AE的长是2．
27．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N．
（1）求证：△BFM∽△NFA；
（2）求证：DF2＝FM•FN；
（3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长．
【解答】（1）证明∵DF⊥AB，AD，BE是△ABC的高，
∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°，
∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC，
∴∠FBM＝∠N，
又∵∠BFD＝∠AFD，
∴△BFM∽△NFA；
（2）证明：∵△BFM∽△NFA，
∴，
∴FM•FN＝FB•FA，
∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠FAD＝90°，
∴∠FDB＝∠FAD，
∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD，
∴△BFD∽△DFA，
∴，
∴DF2＝FM•FN；
（3）解：∵AC＝BC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°，
∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，
∴△ENM∽△FBM∽△FDB，
∴，
∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM，
∵DF2＝FM•FN，
∴（4FM）2＝FM•（4FM+12），
解得：FM＝1或0（舍去），
∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16，
∵＝，
∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10，
在Rt△BFD中，
BD＝＝2，
在Rt△ADB与Rt△ADC中，
AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2，
解得：AC＝5．
28．如图，在菱形ABCD中，DE⊥BC交BC的延长线于点E，连结AE交BD于点F，交CD于点G，连结CF．
（1）求证：AF＝CF；
（2）求证：AF2＝EF•GF；
（3）若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，求FG的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，
∵BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF．
（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BE，
∴∠DAF＝∠FEC，
∵△ABF≌△CBF，
∴∠BAF＝∠BCF，
∴∠DAF＝∠DCF，
∴∠GCF＝∠CEF，
∵∠CFG＝∠EFC，
∴△CFG∽△EFC，
∴，
∴CF2＝EF•GF，
∵AF＝CF，
∴AF2＝EF•GF．
（3）解：∵∠BAD＝120°，
∴∠DCE＝60°，
∵菱形边长为2，
∴CD＝AD＝2，
∵DE⊥BC，
∴∠ADE＝∠CED＝90°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝＝1，DE＝，
∴AE＝＝，BE＝BC+CE＝2+1＝3，
∵AD∥BE，
∴△FAD∽△FEB，△GAD∽△GEC，
∴＝，＝，
∴AF＝＝，AG＝AE＝，
∴FG＝AG﹣AF＝﹣＝．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）求证：；
（3）若CE＝5，EF＝2，BD＝6．求AD的长．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴△AEB∽△CFB．
（2）证明：∵∠ABE＝∠CBE，∠A＝∠BCD，
∴∠CFE＝∠BCD+∠CBE＝∠A+∠ABE，
∵∠CEF＝∠A+∠ABE，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，
∵△AEB∽△CFB，
∴＝，
∴＝．
（3）解：如图，作CH⊥EF于H．
∵CE＝CF，CH⊥EF，
∴EH＝FH＝，
∴CH＝＝＝2，
由△BFD∽△CFH，
∴＝，
∴＝，
∴DF＝3，CD＝CF+DF＝8，
由△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝．
30．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．
（1）如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．
①求证：AE•AB＝AD•AC；
②求BF的长；
（2）如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．
【解答】（1）①证明：∵D、E分别是AB、AC边的中点，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴AE•AB＝AD•AC；
②解：如图1，
作CG⊥AB于G，作FH⊥AB于H，
在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∴AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝6，
∵BG＝BC•cs∠ABC＝6•＝6×＝，
CG＝BC•sin∠ABC＝6×＝，
∴EG＝BE﹣BG＝6﹣＝，
∴tan∠FEH＝tan∠CEG＝，
∴tan∠FEH＝，
设EH＝a，FH＝2a，
∵tan∠FBE＝＝＝，
∴BH＝4a，
∵BH﹣EH＝BE，
∴4a﹣a＝6，
∴a＝2，
∴FH＝4，BH＝8，
∴BF＝＝＝4；
（2）如图2，
当AF平分∠DAE时，AF⊥BD，
∴∠AFD＝∠AED＝90°，
∴点A、E、F、D共圆，
∴∠DEF＝∠DAF，
设AF与DE的交点为O，作OG⊥AD于G，作AH⊥CF于H，
∵AF平分∠DAE，
∴OG＝OE，AG＝AE＝4，
∴DG＝AD﹣AG＝1，
设OG＝OE＝x，
∴OD＝3﹣x，
在Rt△DOG中，
（3﹣x）2﹣x2＝12，
∴x＝，
∴OG＝OE＝，
∴tan∠DAF＝，sin∠DAF＝，cs∠DAF＝，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEH+∠DEF＝90°，
∵∠AEH+∠EAH＝90°，
∴∠EAH＝∠DEF＝∠DAF，
∴EH＝AE•sin∠EAH＝4×＝，
AH＝AE•cs∠EAH＝4×＝，
∴CH＝＝＝，
∴CE＝EH+CH＝．
31．如图，已知正方形ABCD，AC交BD于点O，在线段BC上任取一点P（不含端点），连接AP，延长AP交DC延长线于点N，交BD于点M．
（1）当AC＝CN时；
①求∠BAP的度数；
②△AMB和△BMP的面积分别为S1和S2，求的值；
（2）探索线段AM，MP，MN，用等式表示三者的数量关系并证明．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB＝45°，∠BCD＝90°，
∴∠BCN＝90°，
∴∠ACN＝135°，
∵CA＝CN，
∴∠CAN＝∠N＝22.5°，
∵AB∥CD，
∴∠BAP＝∠N＝22.5°；
②设AD＝a，则AC＝a，
∴CN＝CA＝a，
∴ND＝（+1）a，
∵AD∥BC，
∴△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝（2﹣）a，
∴BP＝a﹣（2﹣）a＝（﹣1）a，
∵AD∥BC，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝+1，
∴＝＝+1；
（2）AM2＝MP•MN，
理由如下：设AD＝x，CN＝y，
∵△NCP∽△NDA，
∴＝，即＝，
解得，CP＝，
则BP＝x﹣＝，
∵AB∥CD，
∴△AMB∽△NMD，
∴＝＝，
∵AD∥CB，
∴△AMD∽△PMB，
∴＝＝＝，
∴•＝1，
∴AM2＝MP•MN．
32．如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，D是⊙O上异于A、B的一个动点，连接AD，过O作OC∥AD交BC于点C．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若EA＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
【解答】解：（1）如图，连接OD，
由OD＝OA得：∠OAD＝∠ODA，
∵OC∥AD，
∴∠DOC＝∠ODA，
∠BOC＝∠OAD，
∴∠DOC＝∠BOC，
又∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△ODC≌△OBC，
∴∠ODC＝∠OBC，
∵BC⊥AB，
∴∠ODC＝∠OBC＝90°，
又∵D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为x，
则：OD＝x，OA＝x+1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODE＝90°，
在Rt△ODE中，由勾股定理得：ED2+OD2＝OE2，
∴32+x2＝（x+1）2，
解得：x＝4，
∴⊙O的半径为4．
33．如图，AB是⊙O的直径，CD＝CB，AC，BD相交于点E，过点C作CF∥BD，CF与AB的延长线相交于点F，连接AD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若AB＝10，BC＝6，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接OD，连接OC交BD于M，
∵CD＝CB，
∴＝，
∴∠COD＝∠COB，
∵OD＝OB，
∴OC⊥BD，DM＝BM，
∵CF∥BD，
∴半径OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；
（2）解：设OM＝x，
∵OC＝AB＝5，
∴MC＝5﹣x，
∵BM2＝BC2﹣CM2＝OB2﹣OM2，
∴62﹣（5﹣x）2＝52﹣x2，
∴x＝1.4，
∵AO＝OB，DM＝BM，
∴OM是△BAD的中位线，
∴AD＝2OM＝2x＝2.8．
34．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF＝BF；
（2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠A＝90°﹣∠ABC．
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠ECB＝90°﹣∠ABC，
∴∠ECB＝∠A．
又∵C是的中点，
∴＝，
∴∠DBC＝∠A，
∴∠ECB＝∠DBC，
∴CF＝BF；
（2）解：∵＝，
∴BC＝CD＝6，
∵∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝10，
∴⊙O的半径为5，
∵S△ABC＝AB•CE＝BC•AC，
∴CE＝＝＝．
35．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠CEA+∠CAD＝90°．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）如果AB＝10，CD＝6，求BE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴＝，
∴∠CAB＝∠DAB，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵∠COB＝∠OAC+∠OCA＝2∠OAC＝∠CAD，
∵∠CEA+∠CAD＝90°，
∴∠CEA+∠COB＝90°，
即∠OCE＝90°，
∴OC⊥CF，
∵OC是半径，
∴CF是⊙O的切线；
（2）∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，
∴CH＝HD＝CD＝3，
在Rt△COH中，OC＝AB＝5，CH＝3，
∴OH＝＝4，
∴HB＝OB﹣OH＝5﹣4＝1，
设BE＝x，则HE＝1+x，OE＝5+x，
∵HE2+HC2＝CE2＝OE2﹣OC2，即（1+x）2+32＝（5+x）2﹣52，
∴x＝，
即BE＝．
36．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，交⊙O于G，CF⊥AB于F，点C是弧BG的中点．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，求CE和AG的长．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵点C是弧BG的中点，
∴＝，
∴∠EAC＝∠CAF，
∵OA＝OC，
∴∠CAF＝∠OCA，
∴∠OCA＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OC⊥DE，
∵OC为⊙O半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）连接CG，
∵＝，
∴CG＝BC，
∵AF，BF（AF＞BF）是一元二次方程x2﹣8x+12＝0的两根，
∴AF＝6，BF＝2，
∴AB＝8，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CF⊥AB，
∴AC2＝AF•AB＝6×8＝48，BC2＝BF•AB＝16，
∴AC＝4，BC＝4，
∴tan∠CAB＝＝，
∴∠CAE＝∠CAB＝30°，
∴CE＝AC＝2，AE＝AC＝6，
∵CG＝BC＝4，
∴EG＝＝＝2，
∴AG＝4．
37．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
38．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴DF⊥OD，
∴DF⊥AC．
（2）解：连接OE，
∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，
∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，
∴∠BAC＝45°，
∵OA＝OE，
∴∠AOE＝90°，
∵⊙O的半径为4，
∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，
∴S阴影＝4π﹣8．
39．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，点E在AB的延长线上，连接OC，AD，CD∥AB，CO∥DE，∠A＝22.5°．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）当CD＝2时，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵∠A＝22.5°，
∴∠BOD＝2∠A＝45°，
∵CD∥AB，
∴∠CDO＝∠BOD＝45°，
∵OC＝OD，
∴∠DCO＝∠CDO＝45°，∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵CO∥DE，
∴∠ODE＝∠COD＝90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵CD∥AB，CO∥DE，
∴四边形CDEO是平行四边形，
∴OE＝CD＝2，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∵∠DOE＝45°，
∴∠DEO＝90°﹣45°＝∠DOE，
∴OD＝DE，
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2＝（2）2，
∴OD＝DE＝2，
∴S阴影＝S△ODE﹣S扇形OBD＝×22﹣＝2﹣π．