专题05 函数性质的综合运用（选填题7种考法）讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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考法一 函数的单调性
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，
则有函数在区间上单调递减，因此，解得，
所以的取值范围是.
故选：D
【例1-2】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知，且，函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为函数在上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故在R上单调递减，
所以，解得：.故选：D.
【变式】
1．（2023·河南·校联考模拟预测）下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数图象的对称轴为，函数在上单调递减，在上单调递增，故A错误；
对于B，当时，，所以函数在上单调递增，故B正确；
对于C，，函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，当时，是常数函数，D错误，
故选：B.
2．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故A选项不符合题意；
对于B选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故B选项不符合题意；
对于C选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递减，故C选项不符合题意；
对于D选项：当时，的导函数为，
所以在时单调递增，
又函数的定义域为，且，故D选项符合题意.
故选：D.
3．（2023·吉林长春·东北师大附中校考一模）下列函数中，即是奇函数又是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A选项，在R上单调递减，不合题意；
B选项，，，当时，，单调递减，不合题意；
C选项，，定义域为R，，函数为奇函数，
由函数和都是R上的增函数，所以为R上的增函数，C选项正确；
D选项，，
当时，结合二次函数性质可知，函数单调递减，则单调递减，不合题意.
故选：C.
4．（2023·河南·校联考模拟预测）（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（ ）
A．函数在R上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数在上单调递减
D．函数在上单调递减
【答案】AB
【解析】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；
因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；
因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，
所以在上的单调性无法判断，故C错误；
因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.
故选：AB.
考法二 函数的奇偶性
【例2-1】（2023·全国·统考高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
【例2-2】（2023·山东·校联考模拟预测）若函数在其定义域上是奇函数，则的值为（ ）
A．B．3C．或3D．不能确定
【答案】B
【解析】函数在其定义域上是奇函数，
由于奇函数定义域关于原点对称，所以，
即，解得或，
由区间定义可知，当时，，不合题意；
当时，，符合题意；
可得.
故选：B．
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A．B．0C．D．1
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
2．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
3．（2023·辽宁鞍山·鞍山一中校考二模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】对于A，因为的定义域为不关于原点对称，所以不是偶函数，
故A选项不符合题意；
对于B，因为，所以的定义域为关于原点对称，
但，所以是奇函数不是偶函数，
故B选项不符合题意；
对于C，因为的定义域为关于原点对称，且，
所以是偶函数，
又，注意到当时，有，
所以此时，所以在上单调递增，
故C选项符合题意；
对于D，因为的定义域为关于原点对称，但，
所以是奇函数不是偶函数，
故D选项不符合题意.
故选：C.
考法三 解不等式
【例3-1】（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知，函数的定义域为.
又因为恒成立，
所以在上单调递减.
则由可得，解得，
即原不等式的解集为.
故选：C.
【例3-2】（2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测）设函数则满足的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】假设，
所以，所以，
所以为奇函数，
而，
则其图象是的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到的，
所以的对称中心为，所以，
因为，所以，
易得，当且仅当时等号成立，
而，则，
所以恒成立，即在上单调递增，
所以在R上单调递增，
因为得，
所以，解得.
故选：B.
【变式】
1．（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）定义在上的函数满足：对，且都有，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意：当时，，
当时,
可得函数在单调递增.
则
，
在同一坐标系中画出与图象.
得，则不等式的解集为，
故选：B.

2．（2023·河南·统考模拟预测）函数是定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，若关于实数t的不等式恒成立，则t的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是定义在上的奇函数，
所以，所以，
所以函数是偶函数，
又，
则，即为，
即，
又因在区间上单调递增，
所以，解得或，
所以t的取值范围是.
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）若定义在上的函数同时满足：①为奇函数；②对任意的，且，都有，则称函数具有性质．已知函数具有性质，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为对任意的，且，都有，
即对任意两个不相等的正实数不妨设，都有，
所以有，
所以函数是上的减函数，
又因为为奇函数，即有，有，
所以有，
所以为偶函数，
所以在上单调递增．
当，即时，有,由，得，
所以，解得，此时无解；
当，即时，由，得，
所以，解得或．
综上所述，不等式的解集为．
故选：C.
4．（2023·江西鹰潭·统考一模）已知函数，且，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】令，定义域为R，
，
所以为奇函数，
又.
当时，令，
则有，
因为，所以，所以在上单调递增，所以，
所以，所以在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在R上单调递增，
所以，可转化为，，
所以，所以，即，解得
即实数a的取值范围是.故选：C.
5．（2023·海南·统考模拟预测）已知函数，若对于一切的实数，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】易知函数的定义域为，
则，
因为，，
所以，
又因为，所以，即恒成立，
故函数是上的单调递增函数，
因为，所以，即，
当时，左边成立，故符合题意；
当时，有，解得：，
综上所述：的取值范围为：.
故选：D.
考法四 函数性质的综合运用
【例4-1】（2023·河南信阳·信阳高中校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．的图象关于直线对称D．的图象关于点成中心对称
【答案】D
【解析】对AB，由，易知选项A，B不正确；
对C，易得，，故，故选项C不正确；
对D，，故，
故的图象关于点中心对称.
故选：D.
【例4-2】（2023·安徽·池州市第一中学校联考模拟预测）已知定义在上的偶函数满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数的一个周期为2
C．
D．函数的图象关于直线对称
【答案】C
【解析】函数关于点中心对称，因此选项D不正确；
又因为函数为偶函数，所以，
由，
所以函数的周期为，所以选项B不正确；
因为函数是周期为的偶函数，
所以，因此选项A不正确；
在中，令，得，
因为函数的周期为，因此选项C正确，
故选：C
【例4-3】（2023·陕西汉中·校联考模拟预测）已知函数是上的偶函数，且的图象关于点对称，当时，，则的值为（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】D
【解析】因为函数是上的偶函数，所以，
因为的图象关于点对称，所以，即，
所以，所以，所以函数是上周期为4的函数，
当时，，所以，，
又，，所以，
所以.故选：D.
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
2．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数及其导函数定义域均为，记，且，为偶函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【解析】因为为偶函数，，
所以，
对两边同时求导，得，所以有
所以函数的周期为，
在中，令，所以，
因此，
因为为偶函数，
所以有，
，
由可得：，
所以，
故选：C
3．（2023·陕西西安·校考三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个B．个C．个D．个
【答案】B
【解析】因为的最小正周期为1，所以；
即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；
故选：B
4．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）（多选）已知函数是定义域为的奇函数，，若，，，则（ ）
A．的图象关于点对称B．是周期为4的周期函数
C．D．
【答案】ABD
【解析】由，，得，
当时，可得；
当时，，也满足；
综上所述：，对任意实数都成立，
因此函数的图象关于点对称，A正确；
又是定义域为的奇函数，则，因此是周期为4的周期函数，B正确；
显然，C错误；
由是定义域为的奇函数，得，，
又，
于是，，因此，
所以
，D正确．
故选：ABD
考法五 函数的图像
【例5-1】（2022·天津·统考高考真题）函数的图像为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为，
且，
函数为奇函数，A选项错误；
又当时，，C选项错误；
当时，函数单调递增，故B选项错误；
故选：D.
【例5-2】（2023·天津·统考高考真题）函数的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且，
由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除；
当时、，即A、C中上函数值为正，排除；
故选：D
【变式】
1．（2022·全国·统考高考真题）如图是下列四个函数中的某个函数在区间的大致图像，则该函数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则，故排除B;
设，当时，，
所以，故排除C;
设，则，故排除D.
故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，
则，
所以为奇函数，排除BD；
又当时，，所以，排除C.
故选：A.
3．（2023·河南·统考模拟预测）函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设，，
由，得为奇函数，故B,D错误；
由，故A正确，C错误，故选：A．
考法六 抽象函数
【例6】（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【变式】
1（2023·河南·模拟预测）已知不恒等于零的函数的定义域为，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．的图象关于原点对称
C．D．的最小正周期是6
【答案】D
【解析】由，
令，，有，可得, 故A错；
因为，令，则，则，
函数是偶函数，故B错误，
令，则，故C错误，
令，则,
所以，
则，
，
所以，
则周期为6，D正确．
故选：D
2．（2023·黑龙江佳木斯·佳木斯一中校考模拟预测）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【解析】取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
3．（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.故选：.
考法七 函数角度解三角函数
【例7】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知，则下列结论错误的是（ ）
A．是周期函数
B．在区间上是增函数
C．的值域为
D．关于对称
【答案】D
【解析】由题知，，
，
是函数的一个周期，故A正确；
在区间上是增函数，其值域为在区间上是增函数，根据复合函数同增异减法则知，在区间上是增函数，故B正确；的值域为在区间上是增函数，
的值域为，故C正确；
不关于对称，故错误，
故选：D.
【变式】
1．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）（多选）下列函数中，以为最小正周期的函数是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】对于A，，最小正周期为，故A正确；
对于B，令，，故B错误；
对于C，令，，故C正确；
对于D，令，，
故的最小正周期为，故D错误.
故选：AC.
2．（2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数，则（ ）
A．函数在区间上单调递增
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的值域为
D．方程最多有8个根，且这些根之和为
【答案】BCD
【解析】，
，
则是偶函数，图象关于轴对称.
，
是周期函数，周期.
又
且，
，即图象关于轴对称，
故直线都是的对称轴.
当时，，
则，
令，则可看成由与复合而成的函数，
单调递增，
当，则，单调递增，则单调递增；
当，则，单调递减，则单调递减；
且.
结合以上性质，作出函数的大致图象.
选项A，函数在区间上单调递减，故A项错误；
选项B，直线是函数图象的一条对称轴，故B项正确；
选项C，当时，函数的值域为，由函数周期，函数的值域为，故C项正确；
选项D，如图可知，方程最多有8个根，设为，不妨设，
当时，函数的图象关于对称，
则，
即这些根之和为，故D项正确.
故选：BCD.
3．（2023·河北保定·河北省唐县第一中学校考二模）（多选）已知函数，则（ ）
A．是的周期
B．的图象有对称中心，没有对称轴
C．当时，
D．对任意，在上单调
【答案】ACD
【解析】对于A选项：因为，
则是的周期，所以A选项正确；
对于B选项：因为，
且，
所以，，
则的图象关于点成中心对称，关于直线成轴对称，所以B选项错误；
对于C选项：当时，易知，，
且，即，
则，
所以，
则，所以C选项正确；
对于D选项：由A选项知：是的周期，所以只需考虑，即可，
当时，，所以和均单调递增，所以单调递增；
当时，，所以和均单调递减，所以单调递减，所以D选项正确.
故选：ACD．