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考点07 比较大小(选填题11种考法)讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练(新高考).zip
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考法一 与特殊值比较大小
【例1-1】(2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测)已知,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为在R上单调递增,且,
所以;
因为在R上单调递减,且,
所以;
因为在上单调递增,且,
所以.
综上所述,,
故选:A.
【例1-2】(2023·西藏林芝·校考模拟预测)若,,,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】由对数函数在上单调递增可知,,可得;
由对数函数在上单调递增可知,,可得;
由对数函数在上单调递增可知,,可得;
所以可得.
故选:B
【变式】
1.(2023·陕西安康 )设,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为,,所以.故选:A
2.(2022·天津·统考高考真题)已知,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】因为,故.故答案为:C.
3.(2021·天津·统考高考真题)设,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】,,
,,
,,
.
故选:D.
4.(2023·西藏拉萨 )设,,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】,所以;
,所以;
,所以,则.故选:C.
考法二 指数式比较大小
【例2-1】(2023·天津·统考高考真题)若,则的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由在R上递增,则,
由在上递增,则.所以.
故选:D
【例2-2】(2023·山东聊城·统考三模)设,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】由单调递减可知:.
由单调递增可知:,所以,即,且.
由单调递减可知:,所以.
故选:D
【例2-3】(2023·安徽淮南·统考一模)若,,,则实数a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由已知可得,,,
由可得,,所以.
设,则,
因为,故,
所以即,
所以在上为增函数,又,,,又,所以.故选:B.
【变式】
1.(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)设,则的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为,
而在上单调递增,所以,即,
又,而,则,所以.故选:D.
2.(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知,,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】在上单调递增,;
又在上单调递减,,,即;
,;
综上所述:.故选:A.
3.(2022·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【分析】构造函数,利用导数判断函数的单调性,可得,从而可得,再由在上单调递增,即可得出选项.
【详解】构造函数,则,
当时,,故在上单调递减,
所以,所以,所以,,
因为在上单调递增,所以,同理,
所以,故选:B
考法三 函数的性质比较大小
【例3-1】(2022·江西)函数.若,,,则有( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为函数,所以,
当时,,所以在上递增,
因为,所以,
所以,故选:
【例3-2】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】因为,定义域关于原点对称,
,
所以为上的偶函数,
当时,,设,
则,,,
所以即在上单调递减,所以,
所以在上单调递减,又因为为偶函数,
所以在上单调递增,
又因为,,
又因为,
因为,,所以,
所以,即,
所以,
所以,即.故选:D.
【变式】
1(2022·江苏 )已知函数,则的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由,,即,
所以,又,
所以,而递增,
故故选:D
2.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.记,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】令,则开口向下,对称轴为,
因为,而,
所以,即
由二次函数性质知,
因为,而,
即,所以,
综上,,
又为增函数,故,即.
故选:A.
3.(2023·河北沧州·统考三模)已知为奇函数,当时,,当时,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为当时,,
则在上单调递增,在上单调递减,
当时,,
则在上单调递减,在上单调递增.
且,所以在上单调递增,
在上单调递减,在上单调递增.
因为,,
则
所以.
故选:A
4.(2023春·广西·高三校联考阶段练习)已知函数在上单调递减,,为偶函数,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数,得的图象关于直线对称,
且,由得,
所以,即,则,
所以函数的一个周期为6,则,
当时,,又的图象关于直线对称,
所以,
由得,的图象关于点对称,
又函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,
又,
所以,所以.故选:A
考法四 导函数模型比较大小
【例4-1】(2022·四川遂宁 )已知定义在R上的函数满足:函数为奇函数,且当时,成立(为的导函数),若,,,则a、b、c的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】设,则,
因为当时,成立,所以,为递增函数,
又因为函数为奇函数,可得,
则,所以函数为偶函数,
所以函数在为单调递减函数,
由,,,
因为,所以,即.故选:B
【例4-2】(2023·广西柳州·统考模拟预测)设函数的导数为,且为偶函数,,则不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设,则,
可得在上递增,又为偶函数,
则,,
,,
由,可得,
即有.
故选:B.
【例4-3】(2022·吉林)(多选)已知函数是偶函数,对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
A.B.
C.D.
【答案】ABD
【解析】构造函数,其中,则,
∵对于任意的满足,
∴ 当时,,则函数在上单调递增,
又函数是偶函数,,∴,
∴在上为偶函数,
∴函数在上单调递减.
∵,则,即,即,化简得,A正确;
同理可知,即,即,化简得,B正确;
,且即,即,化简得,C错误;
,且,即,即,化简得,D正确.故选:ABD.
【变式】
1.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为的函数,其导函数为,且满足,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,则,
因为在上恒成立,
所以在上恒成立,
故在上单调递减,
所以,,故A不正确;
所以,即,即,故B不正确;
,即,即,故C正确;
,即,即,故D不正确;故选:C.
2.(2021·山东·高三开学考试)(多选)已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
A.0
C.>D.>
【答案】CD
【解析】令,则,
因为,所以在上恒成立,因此函数在上单调递减,故,即,即,故A错;
又,所以,所以在上恒成立,
因为,所以,故B错;
又,所以,即,故C正确;
又,所以,即,故D正确.
故选:CD
3.(2023湖南)设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设函数,则,
因为,所以,
所以在上是增函数,
,,,
所以,故选:A
考法五 根据图像交点比较大小
【例5】(2023秋·广东江门)已知,,的零点分别是,,,则,,的大小顺序是( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】函数,,的零点,
即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标,
如图所示:
由图可得.故选:B
【变式】
1.(2023·天津和平·统考三模)已知满足,则的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由题意知:把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
因为,,易知;
把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
,易知;
把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
,与,易知.
所以.
故选:B.
2.(2023秋·北京)已知,,满足,,,则,, 的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】在同一平面直角坐标系内作出
的图像
过点;过点;
过点;过点,
则与图像交点横坐标依次增大,
又与图像
交点横坐标分别为,则.
故选:C
3.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则、、的大小关系是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】构造函数,因为函数、在上均为增函数,
所以,函数为上的增函数,且,,
因为,由零点存在定理可知;
构造函数,因为函数、在上均为增函数,
所以,函数为上的增函数,且,,
因为,由零点存在定理可知.
因为,则,因此,.故选:B.
考法六 导数法之同构函数
【例6-1】(2023·河南·校联考模拟预测)设,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意可得,,,
设,,则,
故当时,,单调递增;
当时,,单调递减;
因为,,,且,
可得,,所以.
故选:D.
【例6-2】(2023·全国·模拟预测)已知,且,,,其中是自然对数的底数,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意可得,,,
令,则,
因为当时,单调递增,
所以,即,
令,则,
因为当时,,所以在上单调递增,
又因为且,所以,故选:A
【变式】
1.(2022·山西吕梁)已知,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,,
,令,则,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减,
由,所以,所以.故选:B.
2.(2022·内蒙古 )已知,,,则、、的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】构造函数,其中,
则,
所以,函数在上单调递增,
因为,,,
因为,所以,.
故选:B.
3(2023·广西桂林·统考一模)已知、、,,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】因为、、,由可得,由可得,
由可得,
构造函数,其中,则,
当时,;当时,.
所以,函数的增区间为,减区间为,
因为,所以,,即,即,
因为、、,则、、,所以,,
因此,.
故选:A.
4.(2022·贵州毕节·三模(理))已知,,(为自然对数的底数),则,,的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】令,,所以,
当时,,函数单调递减
当时,,函数单调递增;
所以,,,
所以,故选:A.
考点七 作差作商比较大小
【例7-1】(2023·全国·模拟预测)已知,,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】因为,,
所以,
又,所以,所以,所以,故,
因为,
又,所以,所以,所以,又,所以,所以,
故选:A.
【例7-2】(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】令得
令,解得,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,故
即,当且仅当时,等号成立,所以,
则,所以
因为,所以
令得,
令得令得
所以在上单调递增,在上单调递减,所以
所以即所以则
所以,故选:B.
【变式】
1.(2023·云南·校联考模拟预测)已知,则( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】,,
,
所以,,所以.故选:A
2.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)若,,,则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】,
,故,
由于,所以,故,
因此,故选:B
3.(2023·江西·校联考模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意可得:
∵,利用三角函数线可得当时,
,∴
构造函数
∴,,即,
令
∴在上单调递增,即,
∴,∴,∴.
故选:A.
4.(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】由题意得,
可得,
设,可得,所以单调递减,
则,即,所以;
又由,
设函数,可得,
当时,,单调递增,
所以,即,所以,
所以.故选:C.
考点八 指对数切线比较大小
【例8】(2023·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】设,,所以,
,所以单调递增,
则,
所以,则;
,,
当时,,所以在上单调递增,
所以,
所以,故,故.
故选:C.
【变式】
1.(2023·新疆·高三校联考阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】设函数,则,
当时,,递减;当时,,递增,
故,即,当时取等号;
∵,∴,∴,
由以上分析可知,则时,有成立,当时取等号,,
即,当时取等号,∴,∴,
故,
故选:B.
2.(2023·河南开封·统考模拟预测)已知,,,则( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,,,
设,
所以,
所以在上单调递增,所以,即.
所以,即.
设,
则,
所以在上单调递减,所以,即.
所以,即.
所以.
故选:C.
3.(2023秋·四川成都·高三校考阶段练习),,,则的大小关系为( ).
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】令,则,
则在上单调递增,故,则.
令,则,
则在上单调递增,故,则.
所以,即;
令,则,
因为,所以,则,故,
所以在上单调递增,则,即,
易知,所以,则,即;
综上:.
故选:B.
考法九 导数法之异构函数
【例9】(2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测)比较,,的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】构造函数,其中,则,
所以,函数在上为增函数,
所以,,
所以,,
令,其中,
则对任意的恒成立,
所以,函数在上为增函数,
所以,,即,
令,其中,则对任意的恒成立,
所以,函数在上为增函数,则,则,
所以,,
综上所述,.
故选:D.
【变式】
1.(2023·四川·校联考一模)设,,,下列判断正确的是( )
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】因为,,,
设,则构造函数,有,则单调递增,且,所以;
再构造函数,有,则单调递增,且,所以,
综上:.
故选:D
2.(2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测)已知,试比较的大小关系( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】设,
当时,,单调递减,
所以有,
因为,
所以,
设,
设,
当时,,函数单调递减,
因为,
所以,
因为函数是正实数集上的增函数,
故,
即,所以,
故选:C
3(2023·山东烟台·校联考三模)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】令,则,
当时,,且,
所以当时,,单调递减,
所以,即,则.
令,则,当,,
所以在上恒成立,
所以在上单调递减,
所以,即,所以.
综上,
故选:B.
考法十 三角函数比较大小
【例10-1】(2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习)设,则它们的大小关系是( )
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】,
,
在上为增函数,,
.
故选:C.
【例10-2】(2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测)已知,则的大小关系为( )
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】方法一:因为,
所以,
设,
则
设,则,
则在单调递增,,即,
所以在单调递增,,
所以,即.
因为,所以,
设,
设,
则在单调递减,,则,
记可得,
所以,
所以.因此有.
故选:A.
方法二:因为,又,
设,
则,
所以函数在上单调递增,又,
所以当时,,故,
所以,
则.
因为,所以,
设,
设,
则在单调递减,
所以当时,,又,
所以当时,,
所以,
所以,
所以.因此有.
故选:A.
【变式】
1.(2023·河南·模拟预测)已知,,,,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】令函数,求导得,函数在上递减,
当时,,则,于是,即,
令函数,求导得,函数在上递增,
当时,,则,于是,即,
当时,,,则,
即,而,于是,即,
所以a,b,c,d的大小关系是,C正确.
故选:C
2.(2023·江西·校联考模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由题意可得:
∵,利用三角函数线可得当时,
,∴
构造函数
∴,,即,
令
∴在上单调递增,即,
∴,∴,∴.
故选:A.
3.(2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习),,,,则四者的大小关系为( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】构造函数,,,.
考查,,令可得,易得当时,单调递增,故,即,.故,即.
考查,,则,故,为增函数,,即.
故当时,有,,,,即,.
构造函数,,
令,,
当时,,单调递增,
又,所以,又,
所以,在成立,所以,即.
再考查.
令,则,故在定义域上单调递减,,故,
令,,则,对求导有,故为增函数,故,故为增函数,,则,故当时,.
又,故当时,故.
故,,则,即
综上有.
故选:D
考法十一 一题多解
【例11】(2022·全国·统考高考真题)已知,则( )
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】[方法一]:构造函数
因为当
故,故,所以;
设,
,所以在单调递增,
故,所以,
所以,所以,故选A
[方法二]:不等式放缩
因为当,
取得:,故
,其中,且
当时,,及
此时,
故,故
所以,所以,故选A
[方法三]:泰勒展开
设,则,,
,计算得,故选A.
[方法四]:构造函数
因为,因为当,所以,即,所以;设,,所以在单调递增,则,所以,所以,所以,
故选:A.
[方法五]:【最优解】不等式放缩
因为,因为当,所以,即,所以;因为当,取得,故,所以.
故选:A.
【变式】
1.(2022·全国·统考高考真题)设,则( )
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】方法一:构造法
设,因为,
当时,,当时,
所以函数在单调递减,在上单调递增,
所以,所以,故,即,
所以,所以,故,所以,
故,
设,则,
令,,
当时,,函数单调递减,
当时,,函数单调递增,
又,
所以当时,,
所以当时,,函数单调递增,
所以,即,所以
故选:C.
方法二:比较法
解: , , ,
① ,
令
则 ,
故 在 上单调递减,
可得 ,即 ,所以 ;
② ,
令
则 ,
令 ,所以 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,所以
故
2.(2021·全国·统考高考真题)设,,.则( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】[方法一]:
,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,,
由于
所以当0
所以,即,即;
令,则,,
由于,在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即b
故选:B.
[方法二]:
令
,即函数在(1,+∞)上单调递减
令
,即函数在(1,3)上单调递增
综上,,
故选:B.
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