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    考点07 比较大小(选填题11种考法)讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练(新高考).zip

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    考点07 比较大小(选填题11种考法)讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练(新高考).zip

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    这是一份考点07 比较大小(选填题11种考法)讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练(新高考).zip,文件包含考点07比较大小选填题11种考法原卷版docx、考点07比较大小选填题11种考法解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共48页, 欢迎下载使用。



    考法一 与特殊值比较大小
    【例1-1】(2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测)已知,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为在R上单调递增,且,
    所以;
    因为在R上单调递减,且,
    所以;
    因为在上单调递增,且,
    所以.
    综上所述,,
    故选:A.
    【例1-2】(2023·西藏林芝·校考模拟预测)若,,,则下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】由对数函数在上单调递增可知,,可得;
    由对数函数在上单调递增可知,,可得;
    由对数函数在上单调递增可知,,可得;
    所以可得.
    故选:B
    【变式】
    1.(2023·陕西安康 )设,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,,所以.故选:A
    2.(2022·天津·统考高考真题)已知,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】因为,故.故答案为:C.
    3.(2021·天津·统考高考真题)设,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】,,
    ,,
    ,,
    .
    故选:D.
    4.(2023·西藏拉萨 )设,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】,所以;
    ,所以;
    ,所以,则.故选:C.
    考法二 指数式比较大小
    【例2-1】(2023·天津·统考高考真题)若,则的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】由在R上递增,则,
    由在上递增,则.所以.
    故选:D
    【例2-2】(2023·山东聊城·统考三模)设,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】由单调递减可知:.
    由单调递增可知:,所以,即,且.
    由单调递减可知:,所以.
    故选:D
    【例2-3】(2023·安徽淮南·统考一模)若,,,则实数a,b,c的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】由已知可得,,,
    由可得,,所以.
    设,则,
    因为,故,
    所以即,
    所以在上为增函数,又,,,又,所以.故选:B.
    【变式】
    1.(2023秋·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)设,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,
    而在上单调递增,所以,即,
    又,而,则,所以.故选:D.
    2.(2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测)已知,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】在上单调递增,;
    又在上单调递减,,,即;
    ,;
    综上所述:.故选:A.
    3.(2022·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【分析】构造函数,利用导数判断函数的单调性,可得,从而可得,再由在上单调递增,即可得出选项.
    【详解】构造函数,则,
    当时,,故在上单调递减,
    所以,所以,所以,,
    因为在上单调递增,所以,同理,
    所以,故选:B
    考法三 函数的性质比较大小
    【例3-1】(2022·江西)函数.若,,,则有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】因为函数,所以,
    当时,,所以在上递增,
    因为,所以,
    所以,故选:
    【例3-2】(2023·江苏苏州·苏州中学校考模拟预测)已知,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,定义域关于原点对称,

    所以为上的偶函数,
    当时,,设,
    则,,,
    所以即在上单调递减,所以,
    所以在上单调递减,又因为为偶函数,
    所以在上单调递增,
    又因为,,
    又因为,
    因为,,所以,
    所以,即,
    所以,
    所以,即.故选:D.
    【变式】
    1(2022·江苏 )已知函数,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由,,即,
    所以,又,
    所以,而递增,
    故故选:D
    2.(2023·全国·统考高考真题)已知函数.记,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】令,则开口向下,对称轴为,
    因为,而,
    所以,即
    由二次函数性质知,
    因为,而,
    即,所以,
    综上,,
    又为增函数,故,即.
    故选:A.
    3.(2023·河北沧州·统考三模)已知为奇函数,当时,,当时,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】因为当时,,
    则在上单调递增,在上单调递减,
    当时,,
    则在上单调递减,在上单调递增.
    且,所以在上单调递增,
    在上单调递减,在上单调递增.
    因为,,

    所以.
    故选:A
    4.(2023春·广西·高三校联考阶段练习)已知函数在上单调递减,,为偶函数,当时,,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为函数为偶函数,得的图象关于直线对称,
    且,由得,
    所以,即,则,
    所以函数的一个周期为6,则,
    当时,,又的图象关于直线对称,
    所以,
    由得,的图象关于点对称,
    又函数在上单调递减,所以函数在上单调递减,
    又,
    所以,所以.故选:A
    考法四 导函数模型比较大小
    【例4-1】(2022·四川遂宁 )已知定义在R上的函数满足:函数为奇函数,且当时,成立(为的导函数),若,,,则a、b、c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】设,则,
    因为当时,成立,所以,为递增函数,
    又因为函数为奇函数,可得,
    则,所以函数为偶函数,
    所以函数在为单调递减函数,
    由,,,
    因为,所以,即.故选:B
    【例4-2】(2023·广西柳州·统考模拟预测)设函数的导数为,且为偶函数,,则不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】设,则,
    可得在上递增,又为偶函数,
    则,,
    ,,
    由,可得,
    即有.
    故选:B.
    【例4-3】(2022·吉林)(多选)已知函数是偶函数,对于任意的满足(其中是函数的导函数),则下列不等式成立的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】ABD
    【解析】构造函数,其中,则,
    ∵对于任意的满足,
    ∴ 当时,,则函数在上单调递增,
    又函数是偶函数,,∴,
    ∴在上为偶函数,
    ∴函数在上单调递减.
    ∵,则,即,即,化简得,A正确;
    同理可知,即,即,化简得,B正确;
    ,且即,即,化简得,C错误;
    ,且,即,即,化简得,D正确.故选:ABD.
    【变式】
    1.(2023·安徽黄山·统考三模)已知定义域为的函数,其导函数为,且满足,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】,则,
    因为在上恒成立,
    所以在上恒成立,
    故在上单调递减,
    所以,,故A不正确;
    所以,即,即,故B不正确;
    ,即,即,故C正确;
    ,即,即,故D不正确;故选:C.
    2.(2021·山东·高三开学考试)(多选)已知定义在上的函数的导函数为,且,,则下列判断中正确的是( )
    A.0
    C.>D.>
    【答案】CD
    【解析】令,则,
    因为,所以在上恒成立,因此函数在上单调递减,故,即,即,故A错;
    又,所以,所以在上恒成立,
    因为,所以,故B错;
    又,所以,即,故C正确;
    又,所以,即,故D正确.
    故选:CD
    3.(2023湖南)设函数是定义在上的函数的导函数,有,若,,,则a,b,c的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】设函数,则,
    因为,所以,
    所以在上是增函数,
    ,,,
    所以,故选:A
    考法五 根据图像交点比较大小
    【例5】(2023秋·广东江门)已知,,的零点分别是,,,则,,的大小顺序是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】函数,,的零点,
    即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标,
    如图所示:
    由图可得.故选:B
    【变式】
    1.(2023·天津和平·统考三模)已知满足,则的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】由题意知:把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
    因为,,易知;
    把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
    ,易知;
    把的值看成函数与图像的交点的横坐标,
    ,与,易知.
    所以.
    故选:B.
    2.(2023秋·北京)已知,,满足,,,则,, 的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】在同一平面直角坐标系内作出
    的图像
    过点;过点;
    过点;过点,
    则与图像交点横坐标依次增大,
    又与图像
    交点横坐标分别为,则.
    故选:C
    3.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则、、的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】构造函数,因为函数、在上均为增函数,
    所以,函数为上的增函数,且,,
    因为,由零点存在定理可知;
    构造函数,因为函数、在上均为增函数,
    所以,函数为上的增函数,且,,
    因为,由零点存在定理可知.
    因为,则,因此,.故选:B.
    考法六 导数法之同构函数
    【例6-1】(2023·河南·校联考模拟预测)设,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】由题意可得,,,
    设,,则,
    故当时,,单调递增;
    当时,,单调递减;
    因为,,,且,
    可得,,所以.
    故选:D.
    【例6-2】(2023·全国·模拟预测)已知,且,,,其中是自然对数的底数,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由题意可得,,,
    令,则,
    因为当时,单调递增,
    所以,即,
    令,则,
    因为当时,,所以在上单调递增,
    又因为且,所以,故选:A
    【变式】
    1.(2022·山西吕梁)已知,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,,
    ,令,则,
    当时,,当时,,
    所以在上单调递增,在上单调递减,
    由,所以,所以.故选:B.
    2.(2022·内蒙古 )已知,,,则、、的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】构造函数,其中,
    则,
    所以,函数在上单调递增,
    因为,,,
    因为,所以,.
    故选:B.
    3(2023·广西桂林·统考一模)已知、、,,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】因为、、,由可得,由可得,
    由可得,
    构造函数,其中,则,
    当时,;当时,.
    所以,函数的增区间为,减区间为,
    因为,所以,,即,即,
    因为、、,则、、,所以,,
    因此,.
    故选:A.
    4.(2022·贵州毕节·三模(理))已知,,(为自然对数的底数),则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】令,,所以,
    当时,,函数单调递减
    当时,,函数单调递增;
    所以,,,
    所以,故选:A.
    考点七 作差作商比较大小
    【例7-1】(2023·全国·模拟预测)已知,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】因为,,
    所以,
    又,所以,所以,所以,故,
    因为,
    又,所以,所以,所以,又,所以,所以,
    故选:A.
    【例7-2】(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】令得
    令,解得,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,故
    即,当且仅当时,等号成立,所以,
    则,所以
    因为,所以
    令得,
    令得令得
    所以在上单调递增,在上单调递减,所以
    所以即所以则
    所以,故选:B.
    【变式】
    1.(2023·云南·校联考模拟预测)已知,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】,,

    所以,,所以.故选:A
    2.(2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测)若,,,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】,
    ,故,
    由于,所以,故,
    因此,故选:B
    3.(2023·江西·校联考模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由题意可得:
    ∵,利用三角函数线可得当时,
    ,∴
    构造函数
    ∴,,即,

    ∴在上单调递增,即,
    ∴,∴,∴.
    故选:A.
    4.(2023·甘肃定西·统考模拟预测)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】由题意得,
    可得,
    设,可得,所以单调递减,
    则,即,所以;
    又由,
    设函数,可得,
    当时,,单调递增,
    所以,即,所以,
    所以.故选:C.
    考点八 指对数切线比较大小
    【例8】(2023·全国·高三专题练习)已知,则的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】设,,所以,
    ,所以单调递增,
    则,
    所以,则;
    ,,
    当时,,所以在上单调递增,
    所以,
    所以,故,故.
    故选:C.
    【变式】
    1.(2023·新疆·高三校联考阶段练习)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】设函数,则,
    当时,,递减;当时,,递增,
    故,即,当时取等号;
    ∵,∴,∴,
    由以上分析可知,则时,有成立,当时取等号,,
    即,当时取等号,∴,∴,
    故,
    故选:B.
    2.(2023·河南开封·统考模拟预测)已知,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】,,,
    设,
    所以,
    所以在上单调递增,所以,即.
    所以,即.
    设,
    则,
    所以在上单调递减,所以,即.
    所以,即.
    所以.
    故选:C.
    3.(2023秋·四川成都·高三校考阶段练习),,,则的大小关系为( ).
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【解析】令,则,
    则在上单调递增,故,则.
    令,则,
    则在上单调递增,故,则.
    所以,即;
    令,则,
    因为,所以,则,故,
    所以在上单调递增,则,即,
    易知,所以,则,即;
    综上:.
    故选:B.
    考法九 导数法之异构函数
    【例9】(2023·全国·河南省实验中学校考模拟预测)比较,,的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】构造函数,其中,则,
    所以,函数在上为增函数,
    所以,,
    所以,,
    令,其中,
    则对任意的恒成立,
    所以,函数在上为增函数,
    所以,,即,
    令,其中,则对任意的恒成立,
    所以,函数在上为增函数,则,则,
    所以,,
    综上所述,.
    故选:D.
    【变式】
    1.(2023·四川·校联考一模)设,,,下列判断正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【解析】因为,,,
    设,则构造函数,有,则单调递增,且,所以;
    再构造函数,有,则单调递增,且,所以,
    综上:.
    故选:D
    2.(2023·辽宁·大连二十四中校联考模拟预测)已知,试比较的大小关系( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】设,
    当时,,单调递减,
    所以有,
    因为,
    所以,
    设,
    设,
    当时,,函数单调递减,
    因为,
    所以,
    因为函数是正实数集上的增函数,
    故,
    即,所以,
    故选:C
    3(2023·山东烟台·校联考三模)已知,,,则a,b,c的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】令,则,
    当时,,且,
    所以当时,,单调递减,
    所以,即,则.
    令,则,当,,
    所以在上恒成立,
    所以在上单调递减,
    所以,即,所以.
    综上,
    故选:B.
    考法十 三角函数比较大小
    【例10-1】(2023秋·江西宜春·高三校考阶段练习)设,则它们的大小关系是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【解析】,

    在上为增函数,,
    .
    故选:C.
    【例10-2】(2023·安徽·池州市第一中学校考模拟预测)已知,则的大小关系为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【解析】方法一:因为,
    所以,
    设,

    设,则,
    则在单调递增,,即,
    所以在单调递增,,
    所以,即.
    因为,所以,
    设,
    设,
    则在单调递减,,则,
    记可得,
    所以,
    所以.因此有.
    故选:A.
    方法二:因为,又,
    设,
    则,
    所以函数在上单调递增,又,
    所以当时,,故,
    所以,
    则.
    因为,所以,
    设,
    设,
    则在单调递减,
    所以当时,,又,
    所以当时,,
    所以,
    所以,
    所以.因此有.
    故选:A.
    【变式】
    1.(2023·河南·模拟预测)已知,,,,则a,b,c,d的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】令函数,求导得,函数在上递减,
    当时,,则,于是,即,
    令函数,求导得,函数在上递增,
    当时,,则,于是,即,
    当时,,,则,
    即,而,于是,即,
    所以a,b,c,d的大小关系是,C正确.
    故选:C
    2.(2023·江西·校联考模拟预测)已知,,,则,,的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】由题意可得:
    ∵,利用三角函数线可得当时,
    ,∴
    构造函数
    ∴,,即,

    ∴在上单调递增,即,
    ∴,∴,∴.
    故选:A.
    3.(2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习),,,,则四者的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【解析】构造函数,,,.
    考查,,令可得,易得当时,单调递增,故,即,.故,即.
    考查,,则,故,为增函数,,即.
    故当时,有,,,,即,.
    构造函数,,
    令,,
    当时,,单调递增,
    又,所以,又,
    所以,在成立,所以,即.
    再考查.
    令,则,故在定义域上单调递减,,故,
    令,,则,对求导有,故为增函数,故,故为增函数,,则,故当时,.
    又,故当时,故.
    故,,则,即
    综上有.
    故选:D
    考法十一 一题多解
    【例11】(2022·全国·统考高考真题)已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【解析】[方法一]:构造函数
    因为当
    故,故,所以;
    设,
    ,所以在单调递增,
    故,所以,
    所以,所以,故选A
    [方法二]:不等式放缩
    因为当,
    取得:,故
    ,其中,且
    当时,,及
    此时,
    故,故
    所以,所以,故选A
    [方法三]:泰勒展开
    设,则,,
    ,计算得,故选A.
    [方法四]:构造函数
    因为,因为当,所以,即,所以;设,,所以在单调递增,则,所以,所以,所以,
    故选:A.
    [方法五]:【最优解】不等式放缩
    因为,因为当,所以,即,所以;因为当,取得,故,所以.
    故选:A.
    【变式】
    1.(2022·全国·统考高考真题)设,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【解析】方法一:构造法
    设,因为,
    当时,,当时,
    所以函数在单调递减,在上单调递增,
    所以,所以,故,即,
    所以,所以,故,所以,
    故,
    设,则,
    令,,
    当时,,函数单调递减,
    当时,,函数单调递增,
    又,
    所以当时,,
    所以当时,,函数单调递增,
    所以,即,所以
    故选:C.
    方法二:比较法
    解: , , ,
    ① ,

    则 ,
    故 在 上单调递减,
    可得 ,即 ,所以 ;
    ② ,

    则 ,
    令 ,所以 ,
    所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,
    所以 在 上单调递增,可得 ,即 ,所以

    2.(2021·全国·统考高考真题)设,,.则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【解析】[方法一]:

    所以;
    下面比较与的大小关系.
    记,则,,
    由于
    所以当0所以在上单调递增,
    所以,即,即;
    令,则,,
    由于,在x>0时,,
    所以,即函数在[0,+∞)上单调递减,所以,即,即b综上,,
    故选:B.
    [方法二]:

    ,即函数在(1,+∞)上单调递减

    ,即函数在(1,3)上单调递增
    综上,,
    故选:B.

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