专题01 集合与逻辑用语（选填题8种考法） 讲义-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）.zip

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考法一 数集的运算
【例1-1】（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则.故选：A.
【例1-2】（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意，，，
根据交集的运算可知，.故选：A
【变式】
1．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为全集，集合，所以，
又，所以，故选：A.
2．（2022·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意，，所以,
所以.故选：D.
3．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；故选：A.
考法二 点集运算
【例2】（2023·贵州遵义·统考模拟预测）若集合，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，解得：或，故.故选：A
【变式】
1．（2023·四川雅安·校考模拟预测）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．［1，2]
【答案】C
【解析】.故选:C.
2.（2022·河南省直辖县级单位）已知集合，，则（ ）
A．B．C．MD．N
【答案】D
【解析】，
因为当时，，所以函数过点，所以，所以.
故选：D.
3（2023北京）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【解析】集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以为圆心，为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线上所有的点组成的集合，又圆与直线相交于两点，，则中有2个元素.故选B.
考法三 （真）子集个数
【例3-1】（2023·河南·校联考二模）集合的子集的个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】，
集合的子集个数为.故选：D.
【例3-2】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件的集合有（ ）
A．6个B．5个C．4个D．3个
【答案】C
【解析】∵，
∴或或或，共4个．故选：C．
【变式】
1．（2023·福建泉州·泉州五中校考模拟预测）若集合，集合，则的子集个数为（ ）
A．5B．6C．16D．32
【答案】C
【解析】由得，所以，
解不等式得，
所以，所以的子集个数为.
故选：C
2．（2023·上海宝山·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，
又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，
有，则结合诱导公式易知，
可取的值是4或5.
故选：B
3．（2023·山东·山东省实验中学校考二模）已知集合，集合，则集合的真子集个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】联立可得，因为，解得，
所以，方程组的解为或，
所以，，
所以，集合的真子集个数为.故选：C.
考法四 集合求参
【例4-1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A．或1B．0或1C．1D．
【答案】B
【解析】由集合，
对于方程，
当时，此时方程无解，可得集合，满足；
当时，解得，要使得，则满足，可得，
所以实数的值为或.
故选：B.
【例4-2】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，得，所以，
因为，所以，故．
故选：C．
【例4-3】（2023·江苏镇江）若集合,则能使成立的所有组成的集合为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时,即,时成立;
当时,满足,解得;
综上所述:.
故选:C.
【例4-4】（2022·全国·高三专题练习）已知集合，，则的元素个数为（ ）
A．2B．1C．0D．无法确定
【答案】A
【解析】时，与圆相交有两个交点
时，∴直线与圆相交，有两个交点故选：A
【变式】
1（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）集合，，且，实数的值为（ ）
A．B．C．或D．或或
【答案】D
【解析】由集合，且，
又由，可得，
当时，此时集合，满足；
当时，可得，要使得，则满足或，解得或，
综上可得，实数的值为或或.
故选：D.
2．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知集合，，若且，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】或，
因为，所以，
①当时，，满足题意；
②当时，，
要使，则，解得，
综上所述，实数m的取值范围是．
故选：B.
3．（2023·河北·模拟预测）已知集合，，若，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为或，所以或，由，
所以当时，不成立，所以集合为空集，满足题意，
当时，，由，所以，
所以有，综上所述实数的取值范围是，故选：B.
4．（2022·全国·高三专题练习）已知集合，.若，则实数（ ）
A．-3B．C．D．3
【答案】B
【解析】因为，所以直线与直线平行，
所以所以. 经检验，当时，两直线平行.故选：B.
考法五 韦恩图
【例5】（2023·福建龙岩·统考二模）若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意可知，即，
又，故阴影部分为.故选：D
【变式】
1．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）已知为实数集，集合或，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）

A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由Ven图可知，阴影部分表示为，
因为，或，所以，
所以，故选：C.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题设得，则，
由图知：阴影部分为.
故选：D
3．（2023·海南海口·农垦中学校考模拟预测）图中阴影部分所表示的集合是（ ）

A．B．C．D．
【答案】AC
【解析】如图，

对于A，，则，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，，故，故C正确；
对于D，，故D错误，故选：AC．
考法六 充分、必要条件
【例6-1】（2022·天津·统考高考真题）“为整数”是“为整数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当为整数时，必为整数；
当为整数时，比一定为整数，
例如当时，.
所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.
故选：A.
【例6-2】（2022·北京·统考高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.
若为单调递增数列，则，
若，则当时，；若，则，
由可得，取，则当时，，
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；
若存在正整数，当时，，取且，，
假设，令可得，且，
当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.
所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.
所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.
【变式】
1．（2022·浙江·统考高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为可得：
当时，，充分性成立；
当时，，必要性不成立；
所以当，是的充分不必要条件.
故选：A.
2．（2023·北京·统考高考真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
3．（2023·全国·统考高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.故选：C
考法七 含有一个量词命题
【例7-1】（2023·海南省直辖县级单位·校考模拟预测）命题“，”的否定是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
故“，”的否定是“，”，
故选：B．
【例7-2】（2023·山西吕梁·统考二模）已知命题：，，则为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由题设命题为真，即在上恒成立，所以，
则为真命题的一个充分不必要条件应该是的一个真子集，故选：A．
【例7-3】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）若命题“，使成立”的否定是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”的否定是：
“，使”为真命题，
即；令，
由，得，所以，
所以，
故选：C.
【变式】
1．（2023·河南·模拟预测）已知命题p：“，”，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以“，”的否定是“，”．
故选：C．
2.（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，所以，时，，
因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是故选：C
3.（2023·甘肃兰州·校考一模）若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，1)B．(－∞，1]
C．(－1，1)D．(－1，1]
【答案】A
【解析】命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：对任意的，.
若对任意的，为真命题，则：
当时，，显然不是恒成立，故舍去；
当时，，且，解得.综上所述，.
又因为原命题：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命题，故任意的，是假命题.
故.故选：.
考法八 新定义集合
【例8】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个．
满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．
由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．
故选：C．
【变式】
1．（2023·云南保山·统考二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14B．15C．16D．18
【答案】A
【解析】由题设知，所有元素之和为，故选：A.
2．（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，
故选：D.
3．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】结合新定义可知，又，
所以．故选：A
4．（2023·北京·中央民族大学附属中学校考模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（ ）
A．11B．10C．9D．8
【答案】B
【解析】对于条件①，②，必有，
若集合中所有的元素是由公差为的等差数列构成，例如，集合中有个元素，
又则该集合满足条件①②，不符合条件③，故符合条件③的集合中元素个数最多不能超过10个，
故若要集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，最多有10个元素，例如.故选：B.