福建省福州第三中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州第三中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若集合，，则( )
A.B.C.D.
2、“”是“”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分又不必要条件
3、已知函数,则的值为( )
A.B.C.D.
4、定义:对于定义域内任意一个自变量的值,都存在唯一一个使得成立,则称函数为“正积函数”.下列函数是“正积函数”的是( )
A.B.C.D.
5、函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为( )
A.B.
C.D.
6、若函数有极值,则实数的取值范围是( )
A.B.C.D.
7、设,,,则( )
A.B.C.D.
8、高斯函数是数学中的一个重要函数,在自然科学社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影.设,用符号表示不大于的最大整数,如,,则叫做高斯函数.给定函数,若关于的方程有5个解,则实数的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、a,b,,下列命题正确是( )
A.若,则B.若,则
C.若,,则D.若,则
10、下列说法正确的是( )
A.若函数的定义域为,则函数的定义域为
B.函数是减函数
C.函数的图象关于点成中心对称
D.幂函数在上为减函数,则m值为1
11、已知函数,设(,2,3)为实数,,且,则( )
A.函数的图象关于点对称
B.不等式的解集为
C.
D.
12、已知函数是定义域为R且周期为4的奇函数,当时,,,则下列结论正确的是( )
A.
B.当,的图象是一条抛物线
C.函数的图象关于对称
D.函数的值域为
三、填空题
13、曲线在点处的切线方程是__________.
14、已知,其中a,b,,则的最小值为________.
15、已知函数在区间上是增函数,则实数的取值范围是________.
16、若直线分别与曲线,交于A,两点,则线段AB长度的最小值为_____________.
四、解答题
17、已知函数,.
（1）当时,求的极小值;
（2）若在区间上单调递增,求实数的取值范围.
18、已知函数,.
（1）若是奇函数,求不等式的解集;
（2）若关于的方程在区间上有实数解,求实数的取值范围.
19、已知函数,关于的不等式的解集为.
（1）求不等式的解集;
（2）令,已知的解集为D,且,求实数的取值范围.
20、设为实数,函数,.
（1）求的解析式;
（2）当时,求的最大值.
21、某校高一年段“生态水果特色区”研究小组,经过深入调研发现:某水果树的单株产量W(单位:千克)与施用肥料(单位:千克)满足如下关系:,且单株施用肥料及其它成本总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克,且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利润为(单位:元).
（1）求函数的解析式;
（2）当施用肥料为多少千克时,该水果树的单株利润最大?最大利润是多少?请说明理由.
22、已知函数,.
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时,若存在直线l与,的图象都相切,求b的取值范围及相应l的条数.
参考答案
1、答案：B
解析：，；
.
故选B.
2、答案：A
解析：则,则,因为是的充分不必要条件,故“”是“”的充分而不必要条件.
故选:A
3、答案：D
解析：由题意,,故.
故选:D
4、答案：B
解析：对于A,,
由,
当时,则不存在满足情况,故A不是正积函数;
对于B,,
由,
则任意一个自变量的值,都存在唯一一个满足,
故B是正积函数;
对于C,,
由,
得,
当时,则,,,则不唯一,故C不是正积函数;
对于D,,
由,
当时,则不存在满足情况,故D不是正积函数.
故选:B.
5、答案：D
解析：由题意得函数的定义域为,可排除B,C,
,
函数为偶函数,可排除选项A.
故选:D.
6、答案：B
解析：函数有极值点,
有两个不同实数根,
,解得
故选:B
7、答案：B
解析：因为,所以,即,
又,所以;
又,所以,即.
故选:B.
8、答案：D
解析：
所以函数是以为周期的周期函数,当时,,则
要使得有5个解,即函数与函数的图象有5个交点.
当时,函数与函数,的图象如下图所示
不满足题意
当时,函数与函数,的图象如下图所示
要使得函数与函数的图象有5个交点,则函数的图象低于点A,不低于点B
故有,解得:
故选:D
9、答案：BD
解析：A选项,,时,,但,A选项错误;
B选项,由随的增大而增大可得,B选项正确;
C选项,,,,时,,,但,C选项错误;
D选项,若,由不等式两边同时乘以负数则变号可得,且,即,D选项正确.
故选:BD
10、答案：CD
解析：对于A,函数的定义域为,由得,
则函数的定义域为,A错误;
对于B,函数在区间和上分别是减函数,在整个定义域内不为减函数,B错误;
对于C,函数的图象的对称中心为,
将函数的图象先向左平移2个单位,再向上平移1个单位得到函数的图象,
则函数的图象的对称中心为,C正确;
对于D,因为函数为幂函数,
所以,
解得,D正确.
故选:CD
11、答案：ABD
解析：对A,,函数的图象关于点对称,故A正确;
对B,在R上单调递增,且,则化为,则,解得,故不等式的解集为,故B正确;
对CD,,则可得,且关于点对称,在R上单调递增,可得函数图象如下:
B,C均在直线AD上方,其中直线AD方程为,
则可得,,
所以,
,
,即,故C错误,D正确.
故选:ABD.
12、答案：ACD
解析：对A,当时,,对称轴为,又由于是奇函数,故当时,,结合周期为4可得的图象:
故的对称轴为,,故,
,
同理,故A正确;
对BCD,当时,,,
当时,,,
则当,,
;
当,,
;
当,,
;
当,,
;
因为是周期为4的函数,故也是周期为4的函数,因此也是周期为4的函数,函数图像如图所示:
当,的图象是一条线段,故B错误;
函数图像对称轴为,,易知,时,故C正确;
由图可得,在处有最大值,在处有最小值,所以函数的值域为,故D正确.
故选:ACD
13、答案：
解析：由题意,的导函数,故曲线在点处的切线斜率为,则切线方程.
故答案为:
14、答案：16
解析：因为,a,b,,
则,当且仅当,即,时取等号,
所以的最小值为16.
故答案为:16
15、答案：
解析：函数在区间上是增函数,
令,则在上是增函数,
而对数函数在定义域内为减函数,
则由复合函数单调性满足“同增异减”,
可知在上是减函数且恒成立,对称轴.
则,即,解得:,
所以实数的取值范围是.
故答案为:.
16、答案：,其中.
解析：设,,则,故,,,.
故,
设,
则在区间上为增函数,且当时,,且,
故在区间上存在使得,即,故
则当时,,单调递减;当时,,单调递增.
故有最小值,其中
故答案为:,其中.
17、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）函数的定义域为,
当时,
求导得,
整理得:.
令可得,或
当时,,函数单调递减;
当或时,,函数单调递增;
所以当时,函数取极小值,极小值为.
（2）,则.
由已知时,恒成立,
所以恒成立,
即恒成立,则.
设,,则,
故在区间上单调递增,则,
故实数的取值范围为.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）是奇函数则,即,故恒成立,故.
当时,,定义域为,即或,满足题意;
当时,,不满足题意,故.
则即,则,即,,解得.
即不等式的解集为;
（2）由题意在区间上有实数解,即,在区间上有实数解.
设,,则,,则当时取最大值1;当时取最小值0,
故.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）的解集为,则1和2是的两个根,
所以代入,解得,由,则,
,即的解集为
（2）由,又的解集为D,且.
①当判别式时,满足条件,此时,解得;
②当判别式时,或,由抛物线图象性质可得,即,解得,则.
综上有.
故实数m的取值范围为
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）令,则,故,即
（2）由（1）可得,故,易得抛物线开口向上,对称轴为,区间的中线为.
故当,即时,;
当,即时,.
故.
21、答案：（1）见解析
（2）当施用肥料为3千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是390元
解析：（1）由已知,
又,
,
整理得:;
（2）当时,,
当时,;
当时,
,
当且仅当,即时,,
,的最大值为390,
故当施用肥料为3千克时,该水果树的单株利润最大,最大利润是390元.
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）依题意,的定义域为,
求导得,
当时,由得,函数递增,由得,函数递减,
当时,,函数在上递减,
当时,由得,递增,由得或,递减,
当时,由得,递增,由得或,递减,
所以当时,函数递增区间为,递减区间为,;
当时,函数的递减区间为;
当时,函数递增区间为,递减区间为,;
当时,函数递增区间为,递减区间为.
（2）当时,,
令直线l与,图象分别切于点,而,,
有,,于是直线l方程为,即,
或者,即,
因此,消去得,令,
求导得,当时,,当时,,
即函数在上单调递减,在上单调递增,,
令函数,,求导得,函数在上单调递减,
当时,,即,,
显然,函数无最大值,因此当时,的值域为,
当时,函数的值域为,而函数在上单调递减,取值集合为,
因此当时,的值域为,
当时,,,直线,只有一条切线;
当时,,b值对应两个不同的t值,有两条切线,
所以当时,有一条切线;当时,有两条切线.