福建省泉州市永春县永春华侨中学、汤城中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份福建省泉州市永春县永春华侨中学、汤城中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题4分，共40分）
1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：A、属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2. 一元二次方程的解是（ ）
A. B. C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．根据已知得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，，
，，
故选：C．更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 3. 若，相似比为，的周长为10，则的周长是（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键在于熟知相似三角形的周长之比等于相似比．
【详解】解：∵，相似比为，
∴的周长与的周长之比为，
∵的周长为10，
∴的周长是20，
故选D．
4. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：由题意得：，
∴一元二次方程无实数根，
故选D．
5. 如图，在中，，，，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了正弦的定义：在直角三角形中，一锐角的正弦等于它的对边与斜边的比．也考查了勾股定理．首先利用勾股定理求得斜边的长度，然后根据锐角三角函数的定义进行解答．
【详解】解：在中，，若，，
由勾股定理得到：．
则．
故选：A．
6. 一个布袋里放着4个白球和2个黑球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．把布袋中的球搅匀后，从中任取3个球，则下列事件中属于必然事件的是（ ）
A. 3个都是黑球B. 2个白球1个黑球C. 至少有1个白球D. 2个黑球1个白球
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，在一定条件下，可能发生也有可能不会发生的事件叫做随机事件，在一定条件下，不会发生的事件叫做不可能事件，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、∵布袋中总共只有2个黑球，
∴从中取出3个黑球是不可能事件，不符合题意；
B、∵布袋里有4个白球和2个黑球，
∴从中取出3个球可能是2个白球1个黑球，是随机事件，不符合题意；
C、布袋中总共只有2个黑球，
∴从中取出3个球至少有1个白球，是必然事件，符合题意；
D、∵布袋里有4个白球和2个黑球，
∴从中取出3个球可能是2个黑球1个白球，是随机事件，不符合题意；
故选C．
7. 为做好疫情常态化防控工作，某校2020年投入疫情防控专项资金28万元，预计到2022年底三年累计共投入140万元．设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则下列方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，设每年投入的专项资金的年平均增长率为，则2021年投入万元，2020年投入万元，再根据三年累计投入140万元，列出方程即可．
【详解】解：设每年投入的专项资金的年平均增长率为，
由题意得，，
故选B．
8. 如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两组对应边成比例，且夹角相等的两个三角形相似以及根据两个角对应相等，则两个三角形相似；再结合有两组边对应成比例的两个三角形不一定相似得出答案．
【详解】解：、，，
，故此选项正确，不符合题意；
、，
，故此选项正确，不符合题意；
、，，
，故此选项正确，不符合题意；
、两组边对应成比例的两个三角形不一定相似，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
9. 如图，在中，．边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和．将正方形沿x轴向右平移．当点E落在边上时，点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件得到AC＝3，OC＝1，OB＝5，求得BC＝6，根据正方形的性质得到DE＝OC＝OE＝1，求得O′E′＝O′C′＝1，根据相似三角形的性质得到BO′＝2，于是得到结论．
【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形，
∵顶点A，B的坐标分别为（﹣1，3）和（5，0）．
∴AC＝3，OC＝1，OB＝5，
∴BC＝6，
∵四边形OCDE是正方形，
∴DE＝OC＝OE＝1，
∴O′E′＝O′C′＝1，
∵E′O′⊥BC，
∴∠BO′E′＝∠BCA＝90°，
∴E′O′∥AC，
∴△BO′E′∽△BCA，
∴＝，
∴，
∴BO′＝2，
∴OC′＝5﹣2﹣1＝2，
∴当点E落在AB边上时，点D的坐标为（2，1），
故选：B．
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，证得△BO′E′∽△BCA是解题的关键．
10. 如图，将等边折叠，点落在边上的点处，折痕交于，交于．若，，则的长是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先由翻折性质得到，所以，再利用一线三等角证明出，设，，则，最后根据相似三角形对应边的比相等计算出的长即可解答．
【详解】∵边长为4，
∴，
∵由翻折性质得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，，则
∴，
解得：
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查了折叠的两个图形全等，等边三角形的性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解二元一次方程组；解题关键是利用一线三等角证明三角形相似．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 若二次根式有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≥1
【解析】
【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．
【详解】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握被开方数大于等于0．
12. 如图，在中，，，与相交于点O，若，则__________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据题意可知：点O是的重心，根据重心的性质，即可求解．
【详解】解：在中，，，
，分别是中线，
点O是的重心，
∵,
，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了三角形重心的性质，熟练掌握和运用三角形重心的性质是解决本题的关键．
13. 若关于的一元二次方程的一个解是，则的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】将代入中即可得出答案．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个解是，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解即为能使方程成立的未知数的值是解本题的关键．
14. 如图，河堤横断面迎水坡的坡度，若米，则高度为__________米．

【答案】15
【解析】
【分析】在直角三角形中，已知坡面AC的坡比以及BC的值，通过解直角三角形可得出铅直高度AB的值．
【详解】解：由题意可得：，
∵米,
∴AB=15米．
故答案为：15．
【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的实际应用，掌握坡度、坡角．坡比的概念是解此题的关键．
15. 如图，在中，分别为上的点，分别交于点、，且，有下面四个结论：①；②；③点是的中点；④．其中所有正确结论的序号是_____．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据，得出，，根据相似三角形的性质，即可判断①；根据平行线的性质得出，根据三角形的外角的性质得出，继而得出，则可判断②；证明，进而得出，根据，设，则，得出，进而证明，即可判断③；证明，根据相似三角形的性质得出， 即可判断④．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴．
∵，
∴．
∴①的结论正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴与不可能相似．
∴②的结论不正确；
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴点是的中点．
∴③的结论正确；
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
∴．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，将绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上，连接，则
（1）与的位置关系是________；
（2）求点的坐标是_______．
【答案】 ①. 平行 ②.
【解析】
【分析】（1）通过中线倍长构造全等三角形，然后二次全等证明几点共线，直接判定平行即可．
（2）先利用点在函数上求出点的横纵坐标数量关系，然后利用勾股定理直接求出边长；再通过一线三等角构造相似三角形，利用相似比求出点的坐标即可．
【详解】（1）如图所示，延长至H，使得，连接
绕点O顺时针旋转得到，使点A的对应点在线段上
，，
，
那么在和中
(SAS)
，
那么在和中
(SAS)
三点共线
（2）如图所示，过作于M，过作于N
，
设AB所在直线解析式为
带入，
，解得
设
在中，
，解得
故答案为：平行；
【点睛】此题考查利用相似求坐标，涉及到勾股定理和一次函数相关知识点，比较综合，且计算量较大，解题关键是构造一线三等角的相似来求解．
三、解答题：（共86分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的乘法、除法，特殊的三角形函数值．熟练掌握二次根式的乘法、除法，特殊的三角形函数值是解题的关键．
先分别计算二次根式的乘法、除法，特殊的三角形函数值，然后进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
18. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：“利用因式分解求出方程的解的方法”，是解一元二次方程最常用的方法，本题利用因式分解法，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
或，
所以．
19. 已知关于x方程．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根．
（2）当时，，是该方程的根，求的值．
【答案】（1）见解析；
（2）的值为3．
【解析】
【分析】（1）首先求出方程的根的判别式，然后得出根的判别式为非负数，得出答案；
（2）将代入方程，化为一般形式后利用方程的解和根与系数的关系可求得，，，然后带入化简求值及可．
【小问1详解】
（1）证明：方程可变形为，
即，
所以，这个方程总有两个不相等的实数根；
【小问2详解】
当时，
原方程为
，是该方程的根
，，
，
．
【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系；灵活运用根的判别式判断方程的解、和根与系数的关系求解是解题的关键．
20. 某区大力发展绿色农产品，有一种有机水果A特别受欢迎，某水果批发商以市场价每千克10元的价格收购了6000千克水果A，立即将其冷藏，请根据下列信息解决问题：
①水果A的市场价格预计每天每千克上涨0.1元；
②这批水果平均每天有10千克损坏，不能出售；
③每天的冷藏费用为300元；
④该水果最多保存110天；
将这批水果A存放x天后按当天市场价一次性出售，
（1）x天后这批水果的销售价格为每千克________元；
（2）若x天后一次性出售所得利润为9600元，求x的值．
【答案】（1）（10+0.1x）
（2）80
【解析】
【分析】（1）利用销售价格＝10+0.1×储存的时间，即可用含x的代数式表示出x天后这批水果的销售价格；
（2）利用利润＝销售单价×销售数量﹣300×储存的时间﹣总成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该水果最多保存110天，即可得出x的值为80．
【小问1详解】
解：依题意得：x天后这批水果的销售价格为（10+0.1x）元．
故答案为：（10+0.1x）．
【小问2详解】
解：依题意得：（10+0.1x）（6000﹣10x）﹣300x﹣10×6000＝9600，
整理得：x2﹣200x+9600＝0，
解得：x1＝80，x2＝120（不合题意，舍去）．
答：x的值为80．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 5月12日是全国防灾减灾日，某校举行了安全知识竞赛，从全校学生中随机抽取n名学生的成绩，其不完整的统计表和统计图如下所示：
学生成绩分布统计表

请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）求n与a值，并补全学生成绩频数分布直方图；
（2）若E组有2名男生和2名女生，现随机抽选2人作为安全知识宣传志愿者，求抽选结果恰好是“一男一女”的概率．
【答案】（1），40，补图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率之和等于1，频数除以百分比等于总人数求解；
（2）列出表格得出所有可能，再求概率即可．
【小问1详解】
解：；
；
B组学生数为（人），
补全统计图如图：
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到的学生恰好是一男一女的结果有8种，
∴抽到的学生恰好是一男一女的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22. 如图，在矩形中，．
（1）尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法与证明）
（2）连结，若点为边的中点，连结，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查尺规作图和证明相似，
（1）根据题意找到斜边为直角边的一半，以点A为圆心长为半径交于点E；或以点D和点A为圆心长为半径画交点，连接点A与交点，并延长交于于点E即为所求；
（2）根据三线合一的性质得到，进一步得到，结合即可证明；
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
法一： 法二：
【小问2详解】
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
．
又，
．
23. 将一副直角三角尺按如图所示方式放置，点、、在同一条直线上，，，，，，，求的长.
【答案】.
【解析】
【分析】作于点，可得，设，进一步得出，，，在中，求出DF的值，即可求出答案．
【详解】解：作于点，
在等腰中，，
∵，∴．
在中，设，
，，，
∵，
∴，解得：，即．
∴，．
在中，，，，
∵，∴．
【点睛】本题考查的知识点是等腰直角三角形的性质以及用勾股定理解直角三角形，解此题的关键是通过作辅助线构造新的直角三角形，利用勾股定理求解．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别相交于B、A两点，点C是的中点，点E、F分别为线段、上的动点，将沿折叠，使点B的对称点D恰好落在线段上（不与端点重合）．连接分别交、于点M、N，连接．
（1）求的值；
（2）试判断与的位置关系，并加以证明；
（3）若，求点D的坐标．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）求出的坐标，进而求出，利用进行计算即可；
（2）证明四点共圆，即可求解；
（3）根据，得到，进而得到，从而得到是等腰三角形，过点作于点，作于点，根据，以及等积法和勾股定理进行线段的转化，求出，设设，则，利用，求出，进而求出，即可得解．
【小问1详解】
解：直线与x轴，y轴分别相交于B、A两点，
当时，；当时，；
∴，，
∴，
∴；
【小问2详解】
，证明如下：
∵，C是的中点，
∴，
∴，
∵将沿折叠，使点B的对称点D恰好落在线段上，
∴，
∴，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，即：；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∵，
由（2）知：，
∴，
∴，
过点作于点，作于点，
∵，
设，则：，
∴，
∵，即：，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∴，
解得∶ ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查一次函数与几何的综合应用．主要考查了解直角三角形，圆内接四边形，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理等知识点．本题的综合性较强，难度较大，解题的关键是利用数形结合的思想，灵活运用所学知识点，进行求解．
25. 如图，，点为内的一个动点，过点作与，使得，分别交、于点、.

（1）求证：；
（2）连接，若，试求的值；
（3）记，，，若，，且、、为整数，求、、的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），，.
【解析】
分析】（1）利用三角形内角和定理可得出即可证明结论；
（2）结合角的三角函数以及相似三角形的性质可得出，利用，得出，最后利用勾股定理求解即可；
（3）设，则，，将式子转化为关于x的一元二次方程求解，利用求根公式以及a，b，的取值范围可求出c的求值范围，再求出整数解即可；同理可以令，求a的取值范围再求解．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
（2）由（1）得：，
∴．
∵，
∴．
又，
∴是等腰三角形．
∴，即，
∴，即．
∵，
∴．
在中，设，则，
由勾股定理，得．
∴．
（3）解法一：由（1）知：，即，
设，则，．
∵，
∴，即（*）
又∵，
∴，即，
∴方程（*）应有根，
∴，
∴，（舍去）
由，解得：．
又∵为整数，
∴．
当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意．
当时，，此时，，．
综上所述，，，．
解法二：由（1）知：，即，
设，则，．
∵，
∴，即（*）
又∵，
∴，
即方程（*）应有根满足．
∴或
解得：或，
∴
又∵为整数，
∴．
当时，方程（*）化为：，
解得：．
∴，．
当时，方程（*）的根为无理数，此时不为整数，不合题意．
综上所述，，，．
【点睛】本题是一道关于相似三角形的综合题目，用到的知识点有相似三角形的判定定理及其性质，解一元二次方程，一元二次方程的根的判别式等，掌握以上知识点是解此题的关键．分组
成绩（分）
频率
A
0.050
B
a
C
0.275
D
0.375
E
0.100