河南省南阳市第十一完全学校2023-2024学年六年级上学期12月月考数学试题

这是一份河南省南阳市第十一完全学校2023-2024学年六年级上学期12月月考数学试题，共20页。

1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．
【详解】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故选B．
2. 用配方法解方程时，原方程应变形（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，配方，即可得出选项．
【详解】解：，
，
，
故选：C．
3. 下列四条线段中，不是成比例线段的是（ ）
A. B. 更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查线段成比例的知识，可以根据定义判定，也可以计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例．
【详解】解：A、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意；
B、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意；
C、，，，故四条线段不是成比例线段，符合题意；
D、，，，故四条线段是成比例线段，不符合题意．
故选：C．
4. 下列根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式性质化简，根据将几个二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的即为同类二次根式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意；
B、，与不是同类二次根式，不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，不符合题意；
D、，与是同类二次根式，符合题意．
故选：D．
5. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色以外没有任何其他区别，从中任取个球，记下颜色后放回，摇匀．诚诚通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在左右，则袋子中红球的个数最有可能是（ ）．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率，根据红球出现的频率和球的总数，可以计算出红球的个数，解题的关键是理解利用频率估计概率的原理．
【详解】解：由题意得，个，
∴袋子中红球的个数最有可能是个，
故选：．
6. 在中，，若各边都扩大3倍，则的值（ ）
A. 缩小3倍B. 扩大3倍C. 不变D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的余弦值，根据直角三角形中一个锐角的余弦值等于该锐角相邻的直角边比斜边进行求解即可．
【详解】解：∵中，，
∴，
当各边都扩大3倍时，则，
∴的值不变，
故选C．
7. 图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），将其倒出部分液体后，放在水平的桌面上（如图2），此时液面（ ）
图1 图2
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，，高脚杯前后的两个三角形相似，根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 在如图所示的电路中，随机闭合开关，，中的两个，能让红灯发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能让红灯发光的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让红灯发光的有2种情况，
∴能让红灯发光的概率为．
故选：A．
9. 位于河南省三门峡市的三门峡大坝诞生于1957年，被誉为“万里黄河第一坝”．它的建成不仅为黄河流域的灌溉和发电提供了重要的保障，也为国家的经济发展和生态环境保护做出了贡献．如图，大坝的横截面为梯形，迎水坡的坡角为，坡度约为，坝面宽，坝高约为，则坝底的长约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点B作于E，先证明四边形是矩形，得到，再解得到，由此即可求出答案．
【详解】解：如图所示，过点B作于E，
由题意得，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故选D．
10. 定义新运算：对于两个不相等的实数，我们规定符号表示中的较大值，如：，．按照这个规定，若，则的值是（ ）
A. 或B. 或7C. 或7D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查新定义运算解方程，理解新运算，根据新定义的运算，分两种情况：①；②，解一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得：分两种情况：
①，
，即，
，
解得：，
当时，，即，符合题意；
当时，，即，不符合题意；
；
②，
，即，
，
解得：，
当时，，即，不符合题意；
当时，，即，符合题意；
；
综上，的值是或7，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. “同时抛掷两枚普通的骰子，落地后向上一面的点数之和为11”是______（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”）
【答案】随机事件
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的判断，根据随机事件的定义判断即可．
【详解】同时投掷两枚普通的骰子，落地后向上一面的点数之和可能是11，所以是随机事件．
故答案为：随机事件．
12. 在如图所示的正方形网格中，______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，先根据网格的特点和勾股定理求出，再根据正弦的定义进行求解即可．
【详解】解：由网格的特点可知，
∴，
∴在中，，
故答案为：．
13. 比较大小：______．（填“”“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，根据与都为正数，利用完全平方公式进行二次根式化简，然后比较大小即可．
【详解】解：根据题意得：，，
则，，
，
，
，
故答案为：．
14. 如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将的面积扩大为原来的4倍，得到，若点的坐标为，则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
【详解】解：将的面积扩大为原来的4倍，得到，
∴与关于原点的位似比为2，
∵点的坐标为，
∴点的坐标是，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于点，两点．则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，设，则，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得，则，，最后证出，，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：在中，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
设，则，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，即，
解得或（舍去），
，，
，
，
，
又，
，
，即，
解得，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），；（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
（1）先移项，然后利用因式分解法求解即可；
（2）先计算特殊角三角函数值，再计算乘方和负整数指数幂，最后计算加减法即可．
【详解】解：（1）
，
方程左边分解因式，得，
∴或，
解得，；
（2）原式
．
17. 乐乐是一个集邮爱好者，正值2024年甲辰龙年来临之际，乐乐收集了自己感兴趣的4张龙邮票（除正面图案不同外，其余均相同），现将这四张邮票背面朝上，洗匀放好．
（1）乐乐从中随机抽取一张邮票抽到的是“8分”邮票的概率是______；
（2）乐乐从中随机抽取一张邮票，放回后再从中随机抽取一张，请你用列表法或画树状图法求抽到的两张邮票恰好都是“1.20元”邮票的概率．（这四张邮票依次用字母A，B，C，D表示）
【答案】17.
18. 图见解析，
【解析】
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）先画树状图列出所有等可能的结果数，抽到的两张邮票恰好是两张邮票恰好都是“1.20元邮票”的结果有4种，再根据概率公式求解可得．
【小问1详解】
解：乐乐从中随机地抽取一张邮票是8分的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
画树状图如图：
共有16种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好都是“1.20元”邮票的结果有4种，
（抽到的两张邮票恰好都是“1.20元”邮票）．
18. 如图，在中，点F在的延长线上，且，点D，E分别在边，上，四边形是平行四边形．求证：是的中位线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，三角形中位线的证明等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．首先根据平行四边形的性质得到，，然后证明出，得到，然后由，得到，进而求解即可．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，．
，．
．
．
，
．
．
即点D，E分别是，边的中点．
∴是的中位线．
19. 近几年，中国的无人机技术发展迅速，处于世界领先水平．月日，南阳市某中学组织了“无人机进校园”活动，用科技结合所学知识，为孩子们点亮科技梦．如图，无人机操控者在一综合楼外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度处时，无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为．已知操控者和综合楼之间的距离为，综合楼的高度为．求此时无人机的高度．（假设点，，，都在同一平面内．参考数据：，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用——仰角、俯角．熟练掌握解直角三角形的应用是解题的关键．
如图，过点作于点，过点作于点．则四边形为矩形．，，由题意知，，，则．，即．设，则．．由．计算求解，然后求即可．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点．则四边形为矩形．
∴，．
∵无人机测得操控者的俯角为，测得综合楼的顶点处的俯角为
∴，，
∴．
∵，
∴．
设，则．
∴．
∵，
∴．
解得，．
∴．
∴此时无人机的高度约为．
20. 如图，，分别是的两条高，点是的中点．于点．
（1）求证：点是的中点；
（2）若，，则______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由三线合一定理即可证明结论；
（2）根据（1）所求得到，，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：如图，连接，．
，分别是的两条高，
．
是的中点，
，．
．
，
点是的中点．
【小问2详解】
解；∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
在，由勾股定理得，
∴．
21. 像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造两数和（差）的平方公式进行化简：
如：；
再如：．
请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）请你尝试化简：；
（2）若，且，，均为正整数，则的值为______．
【答案】（1）
（2）6或9
【解析】
【分析】本题考查二次根式的化简，将二次根式的被开方数变为完全平方式是求解本题的关键．
（1）将被开方数写成完全平方式，再化简；
（2）变形已知等式得，建立，，的方程组求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
∵，
即：，
∴，
∵，，均为正整数，
∴或，
∴当时，；
当时，；
故答案为：6或9．
22. 今年秋冬季是支原体肺炎的感染高发期，多见于5岁及以上儿童，如果外出时能够戴上口罩、做好防护，可以有效遏制支原体肺炎病毒的传染，现在，有一个人患了支原体肺炎，经过两轮传染后共有49人患了支原体肺炎（假设每个人每轮传染的人数同样多）．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）某药房最近售出了普通医用口罩和医用口罩共180盒，已知售出的普通医用口罩的盒数不少于医用口罩的5倍，每盒医用口罩的价格为10元，每盒普通医用口罩的价格为4元，则售出医用口罩和普通医用口罩各多少盒时，总销售额最多？请说明理由．
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染了6个人
（2）售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程，一次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是找到等量(或不等量)关系，列方程或列不等式．
（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有49人患了流感，列方程求解；
（2）设售出的医用口罩的数量是a盒，普通医用口罩的数量是盒，根据题意得列不等式得到，设总销售额为y元，根据题意得到，根据一次函数的性质得到结论．
【小问1详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
由题意，得解得，．经检验，符合题意．
答：每轮传染中平均一个人传染了6个人．
【小问2详解】
设售出医用口罩的盒数是a盒，则售出普通医用口罩的盒数是盒．总销售额为y元．
由题意，得，解得．
．
∵，
∴y随a的增大而增大．
∴当时，y有最大值，此时．
答：售出医用口罩和普通医用口罩各30盒和150盒时，总销售额最多．
23. 如图1，的内角和外角的平分线相交于点，平分并交于点．
（1）当时，求的度数；（用含的代数式表示）
（2）若，且，求的值；（提示：三角形的三条角平分线交于一点）
（3）如图2，过点作，垂足为，其中，，，当点为的三等分点时，直接写出点到射线的距离．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】对于（1），根据角平分线定义得，，再根据三角形的外角的性质得，即可得出答案；
对于（2），连接并延长，交于点，则平分，根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形外角的性质可得，进而得出， 结合相似三角形的对应边成比例得出答案；
对于（3），先取三等分点，，并作，，再根据勾股定理求得，进而求出，，再说明∽，代入数值可得，同理可求出．
【小问1详解】
证明：的内角和外角的平分线相交于点，
，．
又，分别是，的一个外角，
．
，
．
【小问2详解】
解：如图，连接并延长，交于点，则平分．

，
，．
，
．
．
，．
，．
，
即的值为．
【小问3详解】
点到射线距离为或．

取的三等分点，，作，．
∵，，
根据勾股定理，得．
∵，
∴，，
∴，．
∵，，
∴∽，
∴，
即，
解得.
同理：∽，
∴，
即，
解得
点到射线的距离为或．
【点睛】本题主要考查了角平分线定义，内心，三角形外角的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等，构造辅助线是解题的关键．