河南省驻马店市正阳县2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份河南省驻马店市正阳县2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：100分钟，满分：120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故A错误；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B正确；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
A. 投一次骰子，朝上面的点数是
B. 任意画一个三角形，其内角和是
C. 从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了随机事件定义，根据随机事件的定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件，进行逐一判断即可．
【详解】解：A. 投一次骰子，朝上面的点数是，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
B. 任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，故该选项不正确，不符合题意；更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 C. 从一个只装有白球与黑球的袋中摸球，摸出红球，是不可能事件，故该选项不正确，不符合题意；
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数，是随机事件，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3. 若点、、三点在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论（利用二次函数的性质解决问题亦可（离对称轴越远，值越大）．
【详解】解：点、、三点在二次函数的图象上，
， ，．
，
．
故选：C．
4. 如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆周角定理解决问题即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
5. 若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（ ）
A. 正九边形B. 正八边形C. 正七边形D. 正六边形
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的中心角的计算公式计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，，
解得，，
故选：D．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键．
6. 已知的直径为10，点P在内，则的长可能是（ ）
A. 4B. 5C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系， 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当时，点在圆外，当时，点在圆上，当时，点在圆内，据此可得答案．
【详解】解：∵的直径为10，
∴的半径为5，
∵点P在内，
∴，
∴四个选项中，只有A选项符合题意，
故选A．
7. 一个不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，5个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了概率的定义，概率的公式，理解概率的定义是解题的关键．
【详解】解：∵一个不透明的袋子中装有2个红球，3个黄球，5个白球，
∴袋子里总共有个球
∵白球的个数为5个，
∴摸出的小球是白球的概率为，
故选：A．
8. 某玩具店销售某款玩具，单价为20元，为扩大销售，该玩具店连续两次对该款玩具进行降价促销，已知降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，列方程即可．
【详解】解：∵降价后的单价为元，且两次降价的百分比均为x，
∴可列方程为：，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意并列出方程是解决本题的关键．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为．
9. 如图，要用一个半径为扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆半径长为，则这个扇形的圆心角的度数（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据扇形面积公式求出圆锥母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：设扇形的圆心角为，
∵圆锥的底面圆周长为，母线长为，
∴，
解得，
即扇形的圆心角为．
故选：C．
10. 如图，在中，，，于点，点从点出发，沿的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两段来分析：①点P从点A出发运动到点D时，写出此段的函数解析式，则可排除C和D；②P点过了D点向C点运动，作出图形，写出此阶段的函数解析式，根据图象的开口方向可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
又∵，
∴，，
∵，，
∴四边形是矩形，
I．当在线段上时，即时，如解图1
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向下，故选项错误；
II．当在线段上时，即时，如解图2：
依题意得：，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形的面积为，此阶段函数图象是抛物线，开口方向向上，故选项B错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图形的性质，矩形的性质；分段写出函数的解析式并数形结合进行分析是解题的关键．
二、填空题．（8小题，共75分）
11. 一元二次方程的根的判别式______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据，进行计算即可求解．
【详解】解：一元二次方程的根的判别式，
故答案为：．
12. 某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：
则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是_____．（精确到0.01）
【答案】0.95
【解析】
【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．
【详解】由生产的瓷砖是合格品的频率都在0.95上下波动，
所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，
故答案为0.95．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．
13. 如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠BAC=25°，则∠P=_________度．
【答案】50
【解析】
【分析】首先利用切线长定理可得PA=PB，再根据∠OBA=∠BAC=25°，得出∠ABP的度数，再根据三角形内角和求出．
【详解】∵PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，
∴PA=PB，∠OBP=90°，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠BAC=25°，
∴∠ABP=90°﹣25°=65°，
∵PA=PB，
∴∠BAP=∠ABP=65°，
∴∠P=180°﹣65°﹣65°=50°，
故答案为：50．
14. 如图，中，，将绕点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，熟记“扇形面积”是解题关键．旋转得到面积不变，即阴影部分的面积为扇形的面积．
【详解】解：旋转得到面积不变，且，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
15. 如图①，点A、B是上两定点，圆上一动点P从定点B出发，沿逆时针方向匀速运动到点A，运动时间是，线段的长度是．图②是y随x变化的关系图象，则图中m的值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】从图2看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，由勾股定理逆定理可知，，则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，此时，走过的角度为，可求出点P运动的速度，当时，，即是等边三角形，进而求解．
【详解】解：从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，
则圆的半径为，
当时，，
∴是直角三角形，且，
则点P从点B走到A、O、P三点共线的位置时，如图所示，
此时，走过的角度为，则走过的弧长为，
∴点P的运动速度是 ，
当时，，即是等边三角形，
∴，
∴，
此时点P走过的弧长为：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，求弧长，勾股定理逆定理，圆的基本知识，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系．
三、解答题．（8小题，共75分）
16. （1）解方程：
（2）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为（），（），（）．
①请画出关于原点对称的
②请画出绕点逆时针旋转后的．
【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，画旋转图形，画中心对称图形；
（1）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解；
（2）①根据中心对称的性质找到点关于原点对称点的点，顺次连接，即可求解．
②根据旋转的性质，画出，即可求解．
【详解】（1）解：移项得：，
因式分解得：，
于是：或，
，．
（2）解：①如图所示即为所求；
②如图所示即为所求．
17. 2022年卡塔尔世界杯倍受世界各地人民的关注．为了进一步普及和推广足球运动，发扬光大“足球精神”，某校初三年级体育组在体育第二课堂活动中安排了班级之间的足球比赛．经过第一轮的比拼后，四个班级A、B、C、D进入半决赛．半决赛中对阵班级按如下方式决定：准备四张一模一样的卡片，在卡片的正面写上四个班级的名字，将卡片背面朝上放在桌上，随机地从中依次无放回地抽取两张卡片，抽取到的两张卡片代表的班级比赛，剩余两个班级进行比赛．
（1）求抽第一张卡片时，抽到D班的概率；
（2）请用树状图或者列表法求出半决赛中A班与B班进行比赛的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解；
（2）画树状图展示所有12种等可能结果数，找出抽到A和B或C和D的结果数，然后概率公式计算．
【小问1详解】
解：抽第一张卡片时，抽到D班的概率为：；
【小问2详解】
根据题意画图如下：

由图可知：共有12种等可能的结果，其中抽到A和B或C和D的有4种，
∴A班与B班进行比赛的概率为．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
18. 阿尔·花拉子米（约780～约850），著名阿拉伯数学家、天文学家、地理学家，是代数与算术的整理者，被誉为“代数之父”．他利用正方形巧妙地解出了一元二次方程的一个解，具体做法如下：
将边长为x的正方形和边长为1的正方形，外加两个长为x，宽为1的长方形拼合在一起，面积就是，即．而由原方程变形得，即边长为的正方形面积为．所以，则．
（1）上述求解过程中所用的解题方法是______；
A．直接开平方法 B．公式法 C．配方法 D．因式分解法
（2）所用的数学思想是______；
A．分类讨论思想 B．数形结合思想 C．转化思想
【答案】（1）C （2）B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解法，读懂题中的方法是解题的关键．
（1）由阅读材料所用方法可知答案；
（2）需要结合图形求解即为数形结合思想；
【小问1详解】
解：将方程变为（完全平方形式），是配方法；
故选：C．
【小问2详解】
利用正方形解出一元二次方程的一个解，是数形结合思想；
故选：B．
19. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率定于0.25．
（1）请估计摸到白球的概率将会接近________；
（2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？
（3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）0.25；（2）盒子里白、黑两种颜色的球各有15个、45个；（3）15
【解析】
【分析】（1）根据摸到白球的频率，可得“摸到白色球”的概率；
（2）用总数乘以摸到白球的概率，得出白球的数量，进而得到黑球的数量；
（2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】（1）∵摸到白球的频率为0.25，∴“摸到白色球”的概率=0.25．
（2）∵60×0.25＝15，60﹣15＝45，∴盒子里白球为15个，黑球45个；
（3）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得：
解得：x＝15．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
20. 如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若的半径为3，BF=2，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②8
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为直角可得∠ADB=90°，由同弧所对的圆周角相等结合题目条件可进一步推出∠DBA=∠DAC，从而得到∠BAC=90°，即可得证；
（2）①由圆周角定理得出∠BAE=∠DAE，由三角形的外角性质得出∠CAF=∠DBA+∠BAE，从而求出∠CFA=∠CAF，即可得出结论；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，在Rt△ABC中，运用勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵∠DEA=∠DBA，∠DAC=∠DEA，
∴∠DBA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∵AB是的直径，∠BAC=90°，
∴AC是的切线；
（2）①∵点E是的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠CFA=∠DBA+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∠DBA=∠DAC，
∴∠CFA=∠CAF，
∴CA=CF；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，
∵的半径为3，
∴AB=6，
在Rt△ABC中，CA2+AB2=BC2，
即：x2+62=(x+2)2，
解得：x=8，
∴AC=8．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，以及三角形相关知识点，综合运用圆的相关定理和性质是解题关键．
21. 特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋元，现在按每袋元出售，平均每天售出袋．由于货源紧缺，现要涨价销售．经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少袋．若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元，
（1）求y与x的函数解析式
（2）求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）
（2）每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为2250元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次函数的实际应用，解题关键是找到题目中的等量关系列出解析式．
（1）根据“总利润每袋利润每天销量”即可求解；
（2）利用配方法及二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：利润为y元，每袋销售单价上涨x元，根据题意得，
【小问2详解】
当x＝5时，y有最大值，此时最大值为，
答：每袋销售单价上涨5元时，获得最大利润为元．
22. 如图，直线与x轴交于B，与y轴交于点，抛物线经过B、C两点，交x轴于点A（点A在点B的左侧），抛物线的对称轴交x轴于点D．连接．
（1）求抛物线解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）结合函数的图象，直接写出不等式的解集______．
【答案】（1）
（2）存在，满足条件的点P坐标为或或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，等腰三角形两腰相等，以及两点之间的距离公式．
（1）把代入，求出b的值，得出直线的函数解析式，进而得出点B的坐标，再将点B和点C的坐标代入，求出a和c的值，即可得出抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式得出该抛物线对称轴为直线，则，根据两点之间的距离公式得出，设，得出，，再进行分类讨论：①当时， ②当时，即可解答；
（3）根据点B和点C的坐标，结合函数图象，找出抛物线图象高于一次函数图象时，自变量的取值范围，即可得出结论．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴直线的函数解析式为，
当时，，
解得：，
∴，
把，代入得：
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为，
∴该抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
设，
∴，，
①当时，，
解得：（舍去），，
②当时，，
解得：，
综上：满足条件的点P坐标为或或；
【小问3详解】
解：∵，，
∴由图可知：当时，，
故答案为：．
23. 综合与探究
问题情境：
如图，已知为的直径，点为上异于、的一点，过点作的切线，过点作于点，连接．
探究发现：
(1)证明：；
探究引申：
(2)如图2，勤奋小组继续探究发现，若是等腰三角形且对称轴经过点，此时，与存在数量关系，请写出结论并证明：
探究规律：
(3)如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当为正三角形时，与存在的数量关系是：______．
【答案】（1）见解析；（2）．见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据切线的性质得到，再证明得到，加上，所以，即可得证；
（2）由于是等腰三角形且对称轴经过点，则根据折叠的性质得到，再证明，接着根据切线的性质得到，则可计算出，然后证明四边形为矩形，则，从而得到；
（3）先根据正三角形的性质得到，，再计算，则利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，，则，从而得到．
【详解】（1）证明：为的切线，
，
，
，
，
，
，
，
（2）．
理由如下：是等腰三角形且对称轴经过点，
，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
；
（3）为正三角形，
，，
，
，
，，
，
，
而，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．抽取瓷砖数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
合格品数m
96
282
382
570
949
1906
2850
合格品频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.949
0.953
0.950