吉林省松原市前郭县2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题

这是一份吉林省松原市前郭县2023-2024学年八年级上学期期末考试数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共12分）
1. 第届亚运会于年9月日-年月8日在中国杭州举行．下列四个图案是历届会徽图案，其中可以看作是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查轴对称图形判断，根据把一个图形沿一条直线折叠两边完全重合的图形叫轴对称图形逐个判断即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
A选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
B选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
C选项图形不是轴对称图形，故不符合题意，
D选项图形是轴对称图形，符合题意，
故选：D．
2. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ）
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理和三个内角的度数之比，即可求得三个内角的度数，再根据三个内角的度数进行判断即可．
【详解】解：∵三角形三个内角度数的比为，
∴三个内角分别为：、、，
∴三角形是直角三角形，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和和三角形的分类，熟练掌握三角形的内角和是和三角形的分类是更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则分别进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、a3和a2不是同类项，不能合并，该选项不符合题意；
B、原式计算错误，该选项不符合题意；
C、正确，该选项符合题意；
D、原式计算错误，该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方的运算法则，解题的关键是熟练掌握运算法则进行判断．
4. 下列分式中，最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式．根据最简分式的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 的分子和分母有公因式2，故不是最简分式，该选项不符合题意；
B. 的分子和分母没有公因式，是最简分式，该选项符合题意；
C. 分子和分母有公因式，故不是最简分式，该选项不符合题意；
D. 的分子和分母有公因式，故不是最简分式，该选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了最简分式的知识，理解并掌握最简分式的定义是解题关键．
5. 下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方差公式：两个数的和乘两个数的差，等于两个数的平方差，字母表示为：（a＋b）（a−b）＝，找出整式中的a和b，进行判定即可．
【详解】解：A、（x＋2）（x＋2）＝ ，不符合平方差公式的特点，故选项A错误；
B、（−x＋y）（x−y）＝，不符合平方差公式的特点，故选项B错误；
C、（2x−y）（2x＋y）＝ ，符合平方差公式的特点，故选项C正确；
D、（−x−y）（x＋y）＝ 不符合平方差公式的特点，故选项D错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方差公式，注意抓住整式的特点，灵活变形是解题关键．
6. 小明同学只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（ ）
A. 在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形的三条高交于一点
D. 三角形三边的垂直平分线交于一点
【答案】A
【解析】
【分析】过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，因为是两把完全相同的长方形直尺，可得PE=PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB
【详解】如图所示：过两把直尺的交点P作PF⊥BO与点F，由题意得PE⊥AO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选A．
【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上这一判定定理．
二、填空题(每小题3分，共24分)
7. 人体中枢神经系统中约含有1千亿个神经元，某种神经元的直径约为．将0.000052用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8. 当x__时，分式有意义．
【答案】x≠1
【解析】
【分析】利用分式有意义条件可得x-1≠0．
【详解】解：由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式的分母不为零．
9. 一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是_______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于，列式求解即可．
【详解】解：设多边形的边数是n，则
，
整理得，
解得．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键．
10. 如图所示的是一款手机支架，能非常方便地支起手机，由图分析这款手机支架的设计原理是三角形的______．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】根据三角形的稳定性解答．
【详解】解：由于三角形具有稳定性，
故能支撑住手机，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握三角形的稳定性并应用于实际是解题的关键．
11. 如图，，点B、C、D在同一直线上，且，，则长为____________．
【答案】5
【解析】
【分析】由可得出，，再根据求解即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
12. 一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，则的值为_______．
【答案】48
【解析】
【分析】根据题意可知，，将代数式因式分解再代入求值即可
【详解】解：一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为16，面积为6，
故答案为：48
【点睛】本题考查了列代数式，因式分解，代数式求值，根据题意求得的值是解题的关键．
13. 如图，将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，点D落在点G处，若，则的度数为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形折叠中角度问题，根据折叠得到，，从而得到，结合三角形内外角关系直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵将矩形纸片沿折叠，点C落在边上的点H处，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程解决应用题，根据速度关系列方程求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
三、解答题（每题5分，共20分）
15. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】应用同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行计算即可得出答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了同底数乘除法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握同底数幂乘除法，幂的乘方与积的乘方运算法则进行求解是解决本题的关键．
16. 先化简分式，再从2≤x≤4中选一个合适的整数代入求值．
【答案】，2
【解析】
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法；求出不等式组的整数解，取x=4，最后把x=4代入求出答案即可．
【详解】解：原式
，
∵2≤x≤4，
又∵且，
∴x=4，
∴原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值与一元一次不等式组的整数解，能正确根据分式的运算法则进行化简是解本题的关键．
17. 解方程
【答案】无解
【解析】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的计算得出到x的值,经检验即可得到分式方程的解．
【详解】解：对方程进行变形可以得到
去分母可得到整式方程：
解得：x=3，
检验当x=3时最简公分母，
所以x=3是分式方程的增根，
方程无解．
【点睛】解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，解分式方程一定注意要验根，去分母时不要漏乘不含未知数的项﹣1．
18. 如图，在中，，，平分，是上的高．求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得，根据垂直可得，得到的度数，即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴
∵平分，
∴
∵
∴
∵
∴
∴．
【点睛】此题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线以及高，解题的关键是熟练掌握相关基础知识，正确求解．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格纸中，点在小正方形的顶点上．
（1）在图中画出与关于直线成轴对称的；
（2）在上找一点，使得；
（3）在上找一点，使得最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）直接利用对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用线段垂直平分线的判定可得出答案；
（3）利用轴对称求最短路线的方法得出答案．
小问1详解】
如图，根据题意，可得：
点、、关于直线对称的点分别为点、、，则即为所作．
【小问2详解】
作线段的垂直平分线交直线于点，即点为所求；
【小问3详解】
如图，连接交直线于点，连接，
点和点关于直线对称，
直线垂直平分，
∴，
∴，
这时的长最短，
点即为所求．
【点睛】本题考查作图—轴对称变换，轴对称—最短路线．解题的关键是根据轴对称的定义作出变换后的对应点．
20. 观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式：___________；
（2）写出你猜想第个等式：__________（用含的等式表示），并证明．
【答案】（1）
（2），证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目中前5个等式，可以发现式子的变化特点，从而可以写出第6个等式；
（2）把上面发现的规律用字母n表示出来，并运用分式的混合运算法则计算等号的右边的值，进而得到左右相等便可．
【小问1详解】
解： ；
【小问2详解】
解：，理由如下：
左边右边，
∴等式成立．
【点睛】本题考查数字的变化类，明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式，并证明猜想的正确性是解答本题的关键．
21. 某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一直线上，测得大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°，若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该居民楼ED的高度．
【答案】52米
【解析】
【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD可以推出≌，从而得到，进而计算出即可．
【详解】解：由题意可知：，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
又CD=12米，BD=64米，
米，
米，
答：该居民楼ED的高度为52米．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明≌是解题的关键．
22. 在理解例题的基础上，完成下列两个问题：
例题：若，求m和n的值；
解：由题意得：，
∴∴，解得．
请解决以下问题：
（1）若，求的值；
（2）若a，b，c是的边长，满足，c是的最长边，且c为奇数，则c可能取何值？
【答案】（1）
（2）或9
【解析】
【分析】（1）本题考查完全平方的非负性的应用，根据非负式子和为0，它们分别等于0求解即可得到答案；
（2）本题考查完全平方的非负性的应用及三角形三边关系，根据非负式子和为0，它们分别等于0求出字母值，再结合三边关系求解即可得到答案
【小问1详解】
解：由题意得：，
∴，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∴，
∴，解得：
又∵a，b，c是的边长，
∴ ，
又∵c为奇数，且c为最长边，
∴或9．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 数学课上，老师用图1中的一张边长为a的正方形纸片A，1张边长为b的正方形纸片B和2张宽与长分别为a与b的长方形纸片C，拼成了如图2所示的大正方形，观察图形并解答下列问题：

（1）由图1和图2可以得到的等式为 （用含a，b的等式表示）；
（2）莉莉想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，求需A，B，C三种纸片各多少张；
（3）如图3，S1，S2分别表示边长为p，q的正方形的面积，且A，B，C三点在一条直线上，，．求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）或
（2）需A纸片2张 B纸片2张 C纸片5张
（3）8
【解析】
【分析】（1）图形整体面积等于各部分面积之和；
（2）根据多项式乘多项式的乘法解决此题；
（3）根据多项式乘多项式的乘法解决此题．
【小问1详解】
（a+b）2=a2+2ab+b2或a2+2ab+b2=（a+b）2．
【小问2详解】
（2a+b）（a+2b）
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2．
∴需A纸片2张，B纸片2张，C纸片5张．
【小问3详解】
由题意得，p2+q2=20，p+q=6．
∵（p+q）2=p2+q2+2pq=62，
∴2pq=62-20=16．
∴pq=8．
∴S阴＝pq×2＝pq＝8．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的乘法法则是解决本题的关键．
24. 【探究与发现】（1）如图1，是的中线，延长至点E，使，连接，写出图中全等的两个三角形 ．
【理解与应用】（2）填空：如图2，是的中线，若，，设，则x的取值范围是 ．
（3）已知：如图3，是的中线，，点Q在的延长线上，，求证：．
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据中线得到，结合，即可得到答案；
（2）本题考查三角形全等的判定与性质及三边关系，延长至点Q，使，连接，证明结合三边关系求解即可得到答案；
（3）本题考查三角形全等的判定与性质，延长到M，使，连接，先证，再证即可得到答案；
【详解】解：（1）∵是的中线，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）：如图2，延长至点Q，使，连接，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
即，
∴x的取值范围是；
（3）证明：如图3，延长到M，使，连接，
∴，
∵是的中线，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 为提升青少年的身体素质，郑州市在全市中小学推行“阳光体育”活动，河南省实验中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用800元购买篮球和足球，购买篮球的个数比足球的个数少2个，足球的单价为篮球单价的．
（1）求篮球、足球的单价分别为多少元？
（2）学校计划用不多于5200元购买篮球、足球共60个，那么至少购买多少个足球？
（3）在（2）的条件下，若篮球数量不能低过15个，那么有多少种购买方案？哪种方案费用最少？最少费用是多少？
【答案】（1）篮球的单价为100元/个，足球的单价为80元/个；（2）至少要购买40个足球；（3）6种方案，买足球45个，篮球15个费用最少，最少费用是5100元．
【解析】
【分析】（1）设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为0.8x元/个，根据用800元购买篮球的个数比购买足球的个数少2个，即可得出关于x的分式方程，解方程即得结果；
（2）设购买m个足球，则购买（60﹣m）个篮球，根据总价＝单价×购买数量结合总价钱不多于5200元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其范围内的最小正整数即可；
（3）由篮球数量不能低过15个并结合（2）题的结果可得关于m的取值范围，进而可得相应的购买方案；设总费用为w元，由题意可得w与m的一次函数关系式，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）设篮球的单价为x元/个，则足球的单价为0.8x元/个，
根据题意得：，解得：x＝100，
经检验，x＝100是原方程的解，∴0.8x＝80．
答：篮球的单价为100元/个，足球的单价为80元/个；
（2）设购买m个足球，则购买（60﹣m）个篮球，
根据题意得：80m+100（60﹣m）≤5200，解得：m≥40．
答：至少要购买40个足球；
（3）由题意得，60﹣m≥15，解得：m≤45，
∵m≥40，∴40≤m≤45，
∵m为整数，∴m可取40，41，42，43，44，45，共6种购买方案；
设总费用为w元，由题意得，w＝80m+100（60﹣m）＝﹣20m+6000，
∵﹣20＜0，∴w随着m的增大而减小，
∴当m＝45时，w最小＝5100，
答：共有6种购买方案，买足球45个，篮球15个费用最少，最少费用是5100元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，属于常见题型，正确理解题意、找准相等关系是解（1）题的关键，正确列出不等式、灵活应用一次函数的性质是解后两个小题的关键．
26. 在等边中，，动点P以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，设点P的运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示线段的长；
（2）连结，当时，求t的值；
（3）若在线段上存在一点D，且．在点P运动的同时有一动点Q以每秒2个单位长度的速度从点C出发在线段上运动，当点Q运动到点D时，立即以原速度返回至终点C，当为等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）
（2）
（3）当为等腰三角形时，或
【解析】
【分析】（1）本题考查列代数式，根据运动路程问题结合线段关系直接列式即可得到答案；
（2）本题考查直角三角形所对直角边等于斜边一半及等边三角形性质，分别讨论P在线段上或延长线上两类结合所对直角边等于斜边一半列式求解即可得到答案；
（3）本题考查等腰三角形的性质，分类讨论P在线段上或延长线上，根据腰长列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：设点的运动时间为t秒．
∴，
∵，动点以每秒3个单位长度的速度从点A出发在射线上运动，
当时，，
当时， ，
综上所述，；
【小问2详解】
解：如图所示，
① 当P在线段上时，
∵是等边三角形，，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
解得：，
②当P在的延长线上时，
∵，∴
∴，
∴，
∴，
解得： ；
【小问3详解】
解：如图所示，当时，P在上运动时，
∵，当为等腰三角形时，则为等边三角形，
∴，
∵，，
P点在上运动的时间为：，Q在上运动的时间为，当Q点从点C运动到点D的过程中，，，
∴，
解得：，
当，即点P在的延长线上时，此时点Q从D运动回点C，
当点Q从D点返回时，，，
∴，
解得： ，
综上所述，当为等腰三角形时，或．