2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省金华一中高二（上）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.过点(0,−2)且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程为( )
A. 2x−y+2=0B. x+2y+2=0C. 2x−y−2=0D. 2x+y−2=0
2.已知数列{an}，a2=1，an+an+1=2n,n∈N*，则a1+a3的值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 8
3.若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. 12B. 34C. 64D. 32
4.“点A(1,−2)，B(5,6)到直线l：ax+y+1=0的距离相等”是“a=−2”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5.若圆x2+y2=4上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1，则实数b的值为( )
A. 2B. − 2C. ±1D. ± 2
6.已知数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，Sn是其前n项和，若Sn存在最大值，则( )
A. 在S1,S22,S33,…,S20232023中最大的数是S1
B. 在S1,S22,S33,…,S20232023中最大的数是S20232023
C. 在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S1
D. 在S1，S2，S3，…，S2023中最大的数是S2023
7.设双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，右顶点为A，过F作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+ a2+b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A. (−1,0)∪(0,1)B. (−∞,−1)∪(1,+∞)
C. (− 2,0)∪(0, 2)D. (−∞,− 2)∪( 2,+∞)
8.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段B1C的中点，F是棱C1D1上的动点，若点P为线段BD1上的动点，则PE+PF的最小值为( )
A. 1+ 22
B. 3 22
C. 62
D. 5 26
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线C：x23−y2=1，则下列结论正确的是( )
A. 双曲线C的离心率为 3B. 双曲线C的焦距为4
C. 双曲线C的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x=± 3y
10.已知直线l：ax+y+1=0，则下列说法正确的是( )
A. 直线l过定点(0,−1)
B. 直线l与直线x−ay−1=0不可能垂直
C. 若点A(0,1)与点B(b,0)关于直线l对称，则实数a的值为± 3
D. 直线l被圆x2+y2−2y−8=0截得的最短弦长为 5
11.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上存在一点E(2,t)到其焦点的距离为3，点P为直线x=−2上一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点.则( )
A. 抛物线的方程为y2=4xB. 直线AB一定过抛物线的焦点
C. 线段AB长的最小值为4 2D. OP⊥AB
12.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P满足BP=λBC+μBB1，其中λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则( )
A. 当λ=μ时，A1P/​/平面ACD1
B. 当μ=1时，三棱锥P−A1BC的体积为定值
C. 当λ=1时，△PBD的面积为定值
D. 当λ+μ=1时，直线A1D与D1P所成角的范围为[π3,π2]
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{an}满足a2+a5+a8=15，则a5= ______ ．
14.已知椭圆x24+y22=1的两个焦点是F1、F2，点P在该椭圆上，若|PF1|−|PF2|=2，则△PF1F2的面积是____．
15.已知球O是直三棱柱ABC−A1B1C1的内切球(点O到直三棱柱ABC−A1B1C1各面的距离都相等)，若球O的表面积为16π，△ABC的周长为4，则三棱锥A1−ABC的体积为______ ．
16.设经过抛物线y2=8x焦点F且斜率为1的直线l，与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，则cs∠ACB= ______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知动圆C：(x−m)2+(y−2m)2=m2(m>0)
(Ⅰ)当m=2时，求经过原点且与圆C相切的直线l的方程；
(Ⅱ)若圆C与圆E：(x−3)2+y2=16内切，求实数m的值．
18.(本小题12分)
如图，ABCD为平行四边形，BCEF是边长为1的正方形，BF⊥BA,∠DAB=π3,AB=2AD．
(1)求证：BD⊥FC；
(2)求直线DE与平面DFC所成角的正弦值．
19.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=x2−1与x轴相交于A，B两点，P是该抛物线上位于第一象限内的点
(1)记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k2−k1为定值
(2)过点A作AD⊥PB，垂足为D，若D关于x轴的对称点恰好在直线PA上，求△PAD的面积
20.(本小题12分)
正项数列{an}中，a1=1，对任意n∈N*都有an+12−an2=2(an+1+an).
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
(Ⅱ)设bn=anan+t，试问是否存在正整数t，m，使得b1，b2，bm(m≥3)成等差数列？若存在，求出所有满足要求的t，m；若不存在，请说明理由．
21.(本小题12分)
在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD=2DC=2 2，且E、F分别为PD、PB的中点．
(Ⅰ)求证：CF/​/平面PAD；
(Ⅱ)若直线PA与平面CEF的交点为G，且PG=1，求截面CEF与底面ABCD所成锐二面角的大小．
22.(本小题12分)
已知点P(x,y)与定点M(−1,0)的距离和它到定直线x=−4的距离的比是12．
(Ⅰ)求点P的轨迹E的标准方程；
(Ⅱ)设点N(1,0)，若点A，C是曲线E上两点，且在x轴上方，满足AM/​/NC，求四边形AMNC面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：设过点(0,−2)且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程为2x−y+m=0，
则0+2+m=0，求得m=−2，
故过点(0,−2)且与直线x+2y−3=0垂直的直线方程为2x−y−2=0，
故选：C．
由题意，利用两直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程．
本题主要考查两直线垂直的性质，用待定系数法求直线的方程，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力，属于基础题．
利用递推关系式，转化求解即可．
【解答】
解：在数列{an}中，a2=1，an+an+1=2n,n∈N*，
可得a1+a2=2，a2+a3=4，
解得a1=1，a3=3，
故a1+a3=4．
故本题选A．
3.【答案】D
【解析】解：由椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，
得a=2b，则a2=4b2=4(a2−c2)，
整理得：3a2=4c2，即e=ca= 32．
故选：D．
由题意可得a=2b，两边平方后结合隐含条件得答案．
本题考查椭圆的几何性质，是基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为点A(1,−2)，B(5,6)，
所以直线AB的斜率为kAB=6−(−2)5−1=2，方程为y+2=2(x−1)，即2x−y−4=0，
必要性：
当a=−2时，直线l：ax+y+1=0为−2x+y+1=0，即2x−y−1=0，
此时直线l/​/AB，
所以点A(1,−2)，B(5,6)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，即必要性成立；
充分性：
因为点A(1,−2)，B(5,6)到直线l：ax+y+1=0的距离相等，
所以分两种情况：
①当A，B在直线l的同侧时，直线l/​/AB，则a2=1−1≠1−4，所以a=−2；
②当A，B在直线l的异侧时，线段AB的中点(3,2)在直线l上，
将其代入直线l的方程，有3a+2+1=0，解得a=−1，
综上，a=−2或a=−1，即充分性不成立．
故选：B．
求出直线AB的方程，必要性：把a=−2代入直线l的方程，发现直线l/​/AB；充分性：分A，B在直线l的同侧或异侧两种情况，结合两条直线平行的条件，中点坐标公式，求解即可．
本题考查充分必要条件的判断，两条直线平行的条件，中点坐标公式等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】D
【解析】解：由圆的方程为x2+y2=4可得：圆的圆心坐标为(0,0)，半径为2，
则圆x2+y2=4上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1等价于圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为1，
则|b| 2=1，
即b=± 2，
故选：D．
由直线与圆的位置关系可得：圆x2+y2=4上恰有三个点到直线y=x+b的距离为1等价于圆心(0,0)到直线y=x+b的距离为1，然后结合点到直线的距离公式求解即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，属基础题．
6.【答案】A
【解析】解：由题设知数列{an}是等差数列，且前n项和Sn=d2n2+(a1−d2)n存在最大值，
∴公差d0)，
由x=my−1x24+y23=1，得：(3m2+4)y2−6my−9=0，
∴y1+y2=6m3m2+4,y1y2=−93m2+4，
|AB|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2= 1+m2⋅ 48(3m2+3)3m2+4=12(1+m2)3m2+4，
又∵AM//NC，∴点C到直线AB的距离即为点N到直线AB的距离，
∵点N到直线AB的距离d=2 1+m2，
∴S=12|AB|⋅d=12 1+m23m2+4=12 1+m2(3m2+4)2．
设3m2+4=t，则m2=t−43,t≥4，
∴S=12 1+t−43t2=12 t−13t2=4 3⋅ −1t2+1t=4 3⋅ −(1t−12)2+14，
又1t≤14，∴当1t=14，即m=0时，四边形AMNC面积取得最大值，最大值为3．
【解析】(Ⅰ)依题意列关于x，y的方程，化简得答案；
(Ⅱ)设O为坐标原点，连接CO并延长交椭圆E于点B，连接BM，AN，CM，可得四边形CMBN为平行四边形，得到四边形AMNC的面积S=S△ACM+S△COM+S△CON=S△ACM+S△COM+S△BCM=S△ABC，设直线AB：x=my−1，A(x1,y1)，B(x2,y2)(y1>0)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用弦长公式求弦长，再由点到直线的距离公式求点N到直线AB的距离，代入三角形面积公式，再由换元法及配方法求最值．
本题考查轨迹方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，是中档题．