2023-2024学年湖北省襄阳五中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省襄阳五中高一（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知角α的终边经过点(3,−4)，则csα的值为( )
A. −34B. 35C. −45D. −43
2.在平面直角坐标系中，点P(tan2023°,sin2023°)位于第象限．( )
A. 一B. 二C. 三D. 四
3.函数f(x)=lnx−3x的零点所在的大致区间为( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,e)D. (e,3)
4.17世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，设，N=45×910，则N所在的区间为( )
A. (1010,1011)B. (1011,1012)C. (1012,1013)D. (1013,1014)
5.已知奇函数f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，在下列不等式中，一定成立的是( )
A. f(−1)>f(−2)B. f(−1)f(1)D. f(−2)6.已知a=lg32，b=ln3ln4，c=23.则a，b，c的大小关系是( )
A. a7.设a为实数，若关于x的不等式x2−ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，则a的取值范围是( )
A. (−∞,8)B. (−∞,8]C. (−∞,2 7)D. (−∞,112)
8.已知x+y=1，x>0，y>0，则12x+xy+1的最小值为( )
A. 43B. 54C. 1D. 2 33
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x，则( )
A. f(x)的最小值为−1B. f(x)在(−1,1)上单调递减
C. f(x)≤0的解集为(−∞,−2]∪[0,2]D. 存在实数x满足f(x+2)=f(−x)
10.下列说法正确的是( )
A. 若a>b，n为正整数，则an>bn
B. 若b>a>0，m>0，则a+mb+m>ab
C. 2a+2b2≥2a+b2
D. 若0<α<π，则011.某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)性质时，下在几个结论中正确的有( )
A. 函数f(x)的图象关于点(0,0)对称B. 若x1f(x2)
C. 函数f(x)的值域为(−1,1)D. 函数g(x)=f(x)−π2有三个零点
12.已知函数f(x)=x−(x−1)⋅10x(x>1)，g(x)=x−(x−1)⋅lgx(x>1)的零点分别为x1，x2，则( )
A. x1⋅x2<10B. x1=lgx2C. 1x1+1x2=1D. x1+x2>4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为______．
14.已知函数f(x)=lga(x+2)+1(a>0，且a≠1)的图像恒过点P，若点P是角θ终边上的一点，则sinθ= ______ ．
15.已知函数f(x)=(13)x2+1−ln|x|，则满足不等式f(lg2x)<19的x的取值范围是______．
16.已知函数f(x)的定义域为[0,+∞)，且f(x)=2x−1,x∈[0,1)lg2(3−x),x∈[1,2)2f(x−2),x∈[2,+∞)，函数g(x)=f(x)−2x−12在区间[0,a]内的所有零点为xi(i=1,2,3,…,n).若i=1nxi=16，则实数a的取值范围是______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)= 16−2x−1 2x−1的定义域为集合A，集合B={x|2m−1(1)当m=0时，求A∪B；
(2)若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知集合A={x|lg2(2x)⋅lg2x≤0}．
(1)求集合A；
(2)求函数y=42x+1+4x，x∈A的值域．
19.(本小题12分)
设a为实数，给定区间I，对于函数f(x)满足性质P：存在x∈I，使得2f(x)≥f(x+1)成立．记集合M={f(x)|f(x)具有性质P}．
(1)设I=[0,+∞)，f(x)= x，求证：f(x)∈M；
(2)设I=(0,1]，g(x)=a+lg2x，若g(x)∈M，求a的取值范围．
20.(本小题12分)
已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)满足f(xy)+1=f(x)+f(y)，且f(x)在(0,+∞)上单调递减．
(1)证明：函数f(x)是偶函数；
(2)解关于x的不等式f(x−1)+f(2)≥2．
21.(本小题12分)
已知产品利润等于销售收入减去生产成本．若某商品的生产成本C(单位：万元)与生产量x(单位：千件)间的函数关系是C=3+x；销售收入S(单位：万元)与生产量x间的函数关系是S=3x+18x−8+5,0(Ⅰ)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(Ⅱ)当该商品生产量x(千件)定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln1−xx+1．
(1)求不等式f(f(x))+f(ln2)>0的解集；
(2)函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，若存在x1，x2∈[0,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数a的取值范围；
(3)已知函数h(x)=lnx−(x−1)在区间(1,+∞)单调递减.试判断f(12)+f(14)+f(16)+⋯+f(12n)+2n>0(n∈N*)是否恒成立，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵角α的终边经过点(3,−4)，
∴x=3，y=−4，r=5，
则csα=xr=35，
故选：B．
由条件利用本任意角的三角函数的定义，求得csα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：∵tan2023°=tan(5×360°+223°)=tan223°>0，
sin2022°=sin(5×360°+222°)=sin222°<0，
∴P(tan2023°,sin2023°)在第四象限．
故选：D．
直接利用诱导公式判断得答案．
本题考查三角函数的象限符号，考查诱导公式的应用，是基础题．
3.【答案】D
【解析】解：易知函数f(x)=lnx−3x在(0,+∞)上单调递增，
∵f(e)=1−3e<0，f(3)=ln3−1>0，
∴f(e)⋅f(3)<0，
∴函数f(x)=lnx−3x的零点所在的大致区间为(e,3)．
故选：D．
先判断出f(x)在(0,+∞)上单调递增，再根据函数的零点判定定理求解即可．
本题主要考查了函数的零点判定定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由于N=45⋅910⇒lgN=5lg4+10lg9=10lg2+20lg3≈12.552，
所以N所在的区间为(1012,1013).
故选：C．
直接利用对数的运算的应用求出结果．
本题考查的知识要点：对数的运算，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
所以f(x)在(0,+∞)单调递增，则f(1)因为f(x)是定义域为(−∞,0)⋃(0,+∞)的奇函数，则f(1)=−f(−1)，f(2)=−f(−2)，
所以−f(−1)<−f(−2)，即f(−1)>f(−2)，故A正确，B错误；
而CD，由于f(x)不连续，故无法判断f(−2)，f(1)的大小关系，故CD错误．
故选：A．
由题意得到f(x)在(0,+∞)单调递增，可得到f(1)本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解；∵c=23=lg3323=lg339>lg338=lg32=a，∴c>a，
又c=23=lg4423=lg4316∴a故选：B．
根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可．
本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：若关于x的不等式x2−ax+7≥0在区间(2,7)上有实数解，
则a≤x2+7x在区间(2,7)上有实数解，
因为y=f(x)=x2+7x=x+7x在(2,7)上先减后增，
又f(2)=112，f(7)=8，
故a<8．
故选：A．
由题意可得a≤x2+7x在区间(2,7)上有实数解，然后结合不等式的存在性问题与对勾函数的单调性可求．
本题考查一元二次不等式在给定区间有解的问题，转化为对勾函数研究即可，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：因为x+y=1，x>0，y>0，
所以12x+xy+1=x+y2x+xy+x+y=2(x+y)2×2x+xx+2y=x+x+2y4x+xx+2y=14+x+2y4x+xx+2y≥14+2 x+2y4x⋅xx+2y=54，
当且仅当x+2y4x=xx+2y且x+y=1时，即x=23,y=13时，取等号．
故选：B．
结合“1”的代换和基本不等式求解即可．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x2−2x=(x−1)2−1，
当x<0时，−x>0，
则f(−x)=x2+2x，
又∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(−x)=−f(x)，
∴f(x)=−x2−2x，
即f(x)=x2−2x,x≥0−x2−2x,x<0，
画出f(x)的大致图象，如图所示：
由图象可知，f(x)没有最小值，f(x)在(−1,1)上单调递减，故A错误，B正确，
由图象可知，f(x)≤0的解集为(−∞,−2]∪[0,2]，故C正确，
由f(0)=0，f(−2)=f(2)=0，即存在实数x满足f(x+2)+f(−x)=0，故D正确；
故选：BCD．
由奇函数的定义可得f(x)的解析式，由二次函数的性质和二次不等式的解法逐个判断各个选项即可．
本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：A：当a=1，b=−2，n=2时，anB：a+mb+m−ab=b(a+m)−a(b+m)b(b+m)=m(b−a)b(b+m)，因为b>a>0，m>0，则a+mb+m>ab，故B正确；
C：因为2a+2b2≥ 2a⋅2b=2a+b2，当且仅当a=b时取等号，故C正确；
D：因为0<α<π，所以0故选：BC．
A：通过举反例即可判断；B：利用作差法比较即可判断；C：利用基本不等式化简即可判断；D：利用正弦函数的性质即可判断．
本题考查了不等式的性质以及基本不等式的应用，涉及到三角函数的性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：因为f(−x)=−x1+|−x|=−x1+|x|=−f(x)，即f(x)的图象关于原点对称，A正确；
当x≥0时，f(x)=x1+x=1−1x+1单调递增，
根据奇函数的对称性可知，f(x)在R上单调递增，
故x1f(x2)错误；
当x≥0时，1+x≥1，即0<11+x≤1，
故f(x)=x1+x=1−1x+1∈[0,1)，
根据奇函数的对称性可知，函数的值域为(−1,1)，C正确；
根据C选项可知y=f(x)与y=π2没有交点，即g(x)=f(x)−π2的零点个数为0，D错误．
故选：AC．
结合函数的奇偶性检验选项A，结合基本初等函数单调性及单调性定义检验选项B，结合基本初等函数的性质检验选项C，D即可判断．
本题主要考查了函数的奇偶性即单调性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在函数值域求解及函数零点个数判断中的应用，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：函数f(x)=x−(x−1)⋅10x(x>1)，令x−(x−1)⋅10x=0，可得10x=xx−1，
函数y=xx−1=1+1x−1，图象关于直线y=x对称，
函数y=10x与y=lgx互为反函数，图象关于直线y=x对称，如图所示：
设y=xx−1(x>1)与y=10x的图象的交点为A，y=xx−1(x>1)与y=lgx的图象的交点为B，
则A(x1,10x1)与B(x2,lgx2)关于直线y=x对称，
所以x1=lgx2，x2=10x1，故B正确；
又因为x1x1−1−10x1=0，所以x1x1−1=10x1=x2，
所以x1=x1x2−x2，即x1+x2=x1x2，
所以1x1+1x2=1.故C正确，
因为y=xx−1(x>1)的图象与y=x的交点为(2,2)，
所以x1+x2>4，故D正确，
因为x1x2=x1⋅10x1，且x1∈(1,2)，
所以10综上所述，正确的结论有BCD．
故选：BCD．
设y=xx−1(x>1)与y=10x的图象的交点为A，y=xx−1(x>1)与y=lgx的图象的交点为B，画出3个函数的图象，根据对称性可得x1=lgx2，x2=10x1，再化简即可判断各个结论的正误．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查了函数图象的对称性，同时考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
13.【答案】6
【解析】解：半径r=l|α|=63=2，
根据扇形面积公式S=12|α|r2=12×3×22=6，
故答案为：6．
先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
本题主要考查了扇形面积公式，是基础题．
14.【答案】 22
【解析】解：f(x)=lga(x+2)+1(a>0，且a≠1)的图像恒过点P，
令x+2=1，则x=−1，y=1，∴P(−1,1)，
∴sinθ=1 (−1)2+12= 22．
故答案为： 22．
利用对数函数的性质求得定点P，再利用三角函数的定义即可得解．
本题考查对数型函数的图象与性质，考查任意角的三角函数的定义，是基础题．
15.【答案】(0,12)∪(2,+∞)
【解析】解：函数f(x)=(13)x2+1−ln|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
且f(−x)=f(x)，所以f(x)为偶函数，
因为y=(13)x2+1在(0,+∞)上单调递减，y=ln|x|在(0,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)=(13)x2+1−ln|x|在(0,+∞)上单调递减，
又因为f(1)=(13)2−ln1=19，
所以不等式f(lg2x)<19等价于f(lg2x)所以|lg2x|>1，即lg2x>1或lg2x<−1，
解得x>2或0即满足不等式f(lg2x)<19的x的取值范围是(0,12)∪(2,+∞)．
故答案为：(0,12)∪(2,+∞)．
判断函数的奇偶性与单调性，利用函数的性质将不等式合理转化，求解即可．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的解法，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】[7,9)
【解析】解：当x≥2时，f(x)=2f(x−2)，
则当2≤x≤4时，0≤x−2≤2，
当2≤x<3时，0≤x−2<1，此时f(x)=2f(x−2)=2(2x−2−1)，
当3≤x<4时，1≤x−2<2，此时f(x)=2f(x−2)=2lg2(5−x)，
依次类推：作出函数f(x)的图象如图：
由g(x)=f(x)−2x−12=0，得f(x)=2 x−12，
作出h(x)=2 x−12的图象如图：
由图象知，当x=1时．f(1)=lg22=1，h(1)=20=1，
即x=1是函数f(x)=h(x)在[0,2]内的唯一一个根，
则x=3是函数f(x)=h(x)在[2,4]内的唯一一个根，
x=5是函数f(x)=h(x)在[4,6]内的唯一一个根，
x=7是函数f(x)=h(x)在[6,8]内的唯一一个根，
x=9是函数f(x)=h(x)在[8,10]内的唯一一个根，
∵i=1nxi=16，
∴1+3+5+7=16，
∴f(x)=h(x)在[8,a]内没有根，
则7≤a<9，
故实数a的取值范围是[7,9)．
故答案为：[7,9)．
根据函数f(x)的类周期性作出函数f(x)的图象，利用方程与函数之间的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数与方程的应用，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，利用数形结合以及分类讨论进行求解是解决本题的关键，是中档题．
17.【答案】解：(1)因为f(x)= 16−2x−1 2x−1，
所以16−2x≥02x−1>0，解得12当m=0时，集合B={x|−1所以A∪B=x|−1(2)因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B是A的真子集，
因为B={x|2m−1当B=⌀时，2m−1≥m+1，解得m≥2，符合题意；
当B≠⌀时，则2m−1综上，m≥34，故m的取值范围为[34,+∞)．
【解析】(1)先利用具体函数定义域与指数函数解不等式求得集合A，从而利用集合的并集运算即可得解；
(2)由题意得到B是A的真子集，分别讨论B=⌀和B≠⌀两种情况，根据集合的包含关系即得解．
本题主要考查了集合的基本运算及集合包含关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由lg2(2x)⋅lg2x=lg22x+lg2x≤0，得−1≤lg2x≤0
解得12≤x≤1∴A=[12,1]
(2)令4x=t，则t∈[2,4]
y=g(t)=4t2+t，对称轴为t=−18
∴g(t)在[2,4]上单调递增
故ymin=g(2)=18，ymax=g(4)=68
∴y=42x+1+4x的值域为[18,68]．
【解析】(1)利用对数函数的运算法则将已知的不等式化为关于lg2x的二次不等式，通过解二次不等式求出lg2x的范围，再利用对数函数的单调性求出x的范围．
(2)令4x=t，则将函数转化为二次函数，求出二次函数的对称轴，判断出二次函数的单调性，求出二次函数的值域．
本题考查二次不等式的解法、二次函数最值的求法、利用对数函数的单调性求对数不等式的解、换元法要注意新变量的范围．
19.【答案】解：(1)证明：取x=1，则2f(1)=2> 2=f(2)，
故f(x)∈M；
(2)因为g(x)=a+lg2x，g(x)∈M，
所以2g(x)≥g(x+1)⇔2a+2lg2x≥a+lg2(x+1)，
所以a≥lg2x+1x2，
令h(x)=lg2x+1x2(0令t=x+1x2=1x+1x2=(1x+12)2−14，
因为0所以t=(1x+12)2−14≥(1+12)2−14=2，
所以h(x)∈[1,+∞)，
所以a的取值范围[1,+∞)．
【解析】(1)根据函数满足性质P的定义取值证明即可；
(2)根据函数满足性质P的定义列不等式求解即可．
本题属于新概念题，考查了对数的运算及对数函数的性质、二次函数的性质，属于中档题．
20.【答案】(1)证明：令x=y=1，解得f(1)=1，
令x=y=−1，解得f(−1)=1，
令y=−1可得f(−x)=f(x)，又因为定义域关于原点对称，所以f(x)为偶函数；
(2)解：f(x−1)+f(2)=f(2x−2)+1≥2，即f(2x−2)≥1=f(1)，
又因为f(x)在(0,+∞)上单调递减，且为偶函数，
所以2x−2∈[−1,0)∪(0,1]，
解得x∈[12,1)∪(1,32]．
【解析】(1)由已知结合函数奇偶性的定义即可判断；
(2)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性定义的应用，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)设商品的利润为y万元，
由题意可得，y=S−C=2x+18x−8+2,0(Ⅱ)当0当且仅当8−x=98−x，即x=5时取等号，
所以当0当x≥6时，y=11−x≤5，
综上所述，当x=5时，y取得最大值6，
所以当该商品生产量x(千件)定为5千件时获得的利润最大，最大利润为6万元．
【解析】(Ⅰ)设商品的利润为y万元，由产品利润等于销售收入减去生产成本，列式求解即可；
(Ⅱ)分0本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=ln1−xx+1的定义域为(−1,1)，f(−x)=ln1+x1−x=−ln1−xx+1=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，
当0所以f(x)在(−1,1)上单调递减，
不等式f(f(x))+f(ln2)>0，可化为f(f(x))>−f(ln2)=f(−ln2)，
所以−1即−1则原不等式的解集为(13,e−1e+1)．
(2)函数g(x)=2−ax(a>0,a≠1)，
若存在x1，x2∈[0,1)，使得f(x1)=g(x2)成立，
则f(x)和g(x)在x∈[0,1)上的值域的交集不为空集；
由(1)可知：当0≤x<1时，f(x)=ln1−xx+1=ln(−1+2x+1)单调递减，
所以f(x)的值域为(−∞,0]；
若a>1，则g(x)=2−ax在[0,1)上单调递减，
所以g(x)的值域为(2−a,1]，
此时只需2−a<0，即a>2，所以a>2；
若0可得g(x)的值域为[1,2−a)，
此时[1,2−a)与(−∞,0]的交集显然为空集，不满足题意；
综上，实数a的范围是(2,+∞)．
(3)f(12)+f(14)+f(16)+⋯+f(12n)+2n>0(n∈N*)恒成立，理由如下：
因为f(12n)=ln1−12n12n+1=ln2n−11+2n，
所以f(12)+f(14)+f(16)+⋯+f(12n)=ln13+ln35+ln57+⋯+ln2n−11+2n
=ln(13×35×57×⋯×2n−11+2n)=ln11+2n=−ln(2n+1)，
因为h(x)=lnx−(x−1)在区间(1,+∞)单调递减，
所以当x>1时，h(x)即ln(2n+1)−[(2n+1)−1]<0，即ln(2n+1)−2n<0，
所以−ln(2n+1)+2n>0，即f(12)+f(14)+f(16)+⋯+f(12n)+2n>0(n∈N*)．
【解析】(1)先求出f(x)的定义域，判断其奇偶性及单调性，从而将所求不等式化为−1(2)将问题转化为f(x)和g(x)在x∈[0,1)上的值域的交集不为空集；分类讨论a>1和0(3)将问题转化为判断−ln(2n+1)+2n>0，再利用h(x)=lnx−(x−1)的单调性即可得解．
本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性解不等式，属于难题．