2022-2023学年广东省揭阳市揭西县凤江中学九年级(上)期末数学试卷(含解析)
展开1.下列图形中,主视图和左视图一样的是( )
A. B. C. D.
2.一元二次方程x2−6x−11=0配方后是( )
A. (x−3)2=2B. (x−3)2=20C. (x+3)2=2D. (x+3)2=20
3.如图,在△ABC中,∠A=∠DEC,若AE=4,CE=2,CD=3,则BD等于( )
A. 4
B. 5
C. 5.5
D. 6
4.一个不透明的口袋中装有若干个红球和8个白球,它们除颜色外其它完全相同.通过多次摸球试验后发现,摸到红球的频率稳定在20%附近,口袋中红球最有可能有个.( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若一元二次方程ax2+bx+c=0的系数满足−ca<0,则方程根的情况是( )
A. 没有实数根B. 有两个相等的实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 无法判断
6.正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 四边相等B. 对角线相等C. 对角相等D. 对角线互相垂直
7.如图,将一张矩形纸片沿两长边中点所在的直线对折,如果得到的两个矩形都与原矩形相似,则原矩形长与宽的比是( )
A. 2:1
B. 1:2
C. 3:2
D. 2:1
8.顺次连接矩形ABCD各边中点所得四边形必定是( )
A. 平行四边形B. 矩形C. 正方形D. 菱形
9.若点(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3)都是反比例函数y=−a2−1x图象上的点,且x1
A. 2
B. 52
C. 32
D. 1
二、填空题:本题共5小题,每小题3分,共15分。
11.小丽身高1.5米,经太阳光照射,在地面的影长为2米,同一时刻,她测得旗杆在地面的影长为16米,那么旗杆高为______米.
12.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,BC=6,BD=DC,则AD=______.
13.如图,在△ABC与△ADE中,点E在边AB上,DE⊥AB,AC⊥CB,添加一个条件后,能判定△ABC与△DAE相似,这个条件可以是______(添加一个即可)
14.如图,在矩形ABCD中,AB=3,AD=4,P是AB上不与A和B重合的一个动点,过点P分别作AC和BD的垂线,垂足分别为E、F、则PE+PF=______.
15.如图,在正方形ABCD中,DE=CE,AF=3DF,过点E作EG⊥BF于点H,交AD于点G.下列结论:
①△DEF∽△CBE;
②∠EBG=45°;
③AD=3AG.正确的有______ .
三、解答题:本题共8小题,共75分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
已知矩形的面积为定值,矩形的一组邻边a(cm)与b(cm)之间的函数关系如图所示.
(1)求出a与b之间的函数关系式.
(2)如果a=b,求矩形的周长.
17.(本小题8分)
李老师和王老师报名参加了“新冠肺炎”社区抗疫志愿服务工作.根据社区防疫安排,志愿者被随机分到A组(体温检测)、B组(便民代购)、C组(环境消杀)和D组(入户排查).
(1)王老师被分到B组的概率是______;
(2)用列表法或画树状图法,求李老师和王老师被分配到同一个组的概率.
18.(本小题8分)
因新冠肺炎疫情,市场对口罩需求量大增,为满足市场需求.某工厂决定从2月份起扩大产能,如图是2022年1~4月份的口罩产量统计如图所示.设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x.
(1)求口罩日产量的月平均增长率;
(2)按照这个增长率,预计5月份平均日产量能否超过600万只?
19.(本小题9分)
如图,已知∠AOB,P、F是OA、OB上一点.
(1)用尺规作图法作▱OPEF;
(2)若∠AOB=30°,OP=4,OF=5,求OP与EF的距离.
20.(本小题9分)
如图,菱形ABCD中,对角线BD的长为8,菱形的边长是方程x2−9x+20=0的一个根,求该菱形的面积是多少?
21.(本小题9分)
如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6cm,BC=8cm,点D从点C开始沿CA边运动,速度为1cm/s,与此同时,点E从点B开始沿BC边运动,速度为2cm/s,当点E到达点C时,点D同时停止运动,连接AE,设运动时间为t s,△ADE的面积为S.
(1)是否存在某一时刻t,使DE//AB?若存在,请求出此时刻t的值,若不存在,请说明理由.
(2)点D运动至何处时,S=18S△ABC?
22.(本小题12分)
▱ABCD中,点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若四边形ABCD是正方形,写出AF与AE之间的数量关系:______;(直接写出结论)
(2)如图2,若四边形ABCD是矩形,且AD=32AB,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;
(3)如图3,若四边形ABCD是菱形,且∠ABC=60°,过点A作AE⊥BC于点E,过点A作AF⊥AB,交过D点与AD垂直的直线干点F、且DF=1,求ABBF.
23.(本小题12分)
如图,矩形ABCD的面积为8,它的边CD位于x轴上.双曲线y=4x经过点A,与矩形的边BC交于点E,点B在双曲线y=4+kx上,连接AE并延长交x轴于点F,点G与点O关于点C对称,连接BF,BG.
(1)求k的值;
(2)求△BEF的面积;
(3)求证:四边形AFGB为平行四边形.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查简单几何体的三视图,掌握各种几何体的三视图的形状是正确判断的关键.
根据各个几何体的主视图和左视图进行判定即可.
【解答】
解:A.主视图和左视图不相同,故本选项不合题意;
B.主视图和左视图不相同,故本选项不合题意;
C.主视图和左视图不相同,故本选项不合题意;
D.主视图和左视图相同,故本选项符合题意,
故选:D.
2.【答案】B
【解析】解:x2−6x=11,
x2−6x+9=20,
(x−3)2=20.
故选:B.
先把常数项移到方程右侧,再把方程两边加上9,然后把方程左边写成完全平方的形式即可.
本题考查了解一元二次方程−配方法:将一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接开平方法求解,这种解一元二次方程的方法叫配方法.
3.【答案】D
【解析】解:∵∠A=∠DEC,
∴DE//AB,
∴BDCD=AECE,
即BD3=42,
∴BD=6.
故选:D.
由∠A=∠DEC,利用“同位角相等,两直线平行”,可得出DE//AB,再利用平行线分线段成比例,即可求出BD的长.
本题考查了平行线分线段成比例以及平行线的判定,牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例”是解题的关键.
4.【答案】B
【解析】解:设红球个数为x个,
∵摸到红色球的频率稳定在20%左右,
∴口袋中得到红色球的概率为20%,
∴xx+8=0.2,
解得:x=2,
故红球的个数为2个.
故选:B.
由摸到红球的频率稳定在20%附近得出口袋中得到红色球的概率,进而利用概率公式求出红球个数即可.
本题主要考查了利用频率估计概率,根据大数次反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.
5.【答案】D
【解析】解:∵−ca<0,
∴a、c同号,即ac>0.
∴4ac>0.
又∵b2≥0,
∴无法判断b2与4ac的大小.
∴无法判断Δ=b2−4ac的取值范围.
∴无法判断一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况.
故选:D.
先根据−ca<0判断出4ac>0,所以无法判断Δ=b2−4ac的取值范围,从而得出答案.
本题主要考查了一元二次方程根的判别式,熟练掌握Δ=b2−4ac的取值范围与一元二次方程的根的情况之间的关系是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:正方形的性质有:四条边相等;对角线互相垂直平分且相等;
菱形的性质有:四条边相等;对角线互相垂直平分;
因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是:对角线相等.
故选:B.
根据正方形的性质和菱形的性质,容易得出结论.
本题考查了正方形的性质、菱形的性质;熟练掌握正方形和菱形的性质是解决问题的关键.
7.【答案】D
【解析】解:设原来矩形的长为x,宽为y,
则对折后的矩形的长为y,宽为x2,
∵得到的两个矩形都和原矩形相似,
∴x:y=y:x2,
解得x:y= 2:1.
故选:D.
表示出对折后的矩形的长和宽,再根据相似矩形对应边成比例列出比例式,然后求解.
本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质,需要熟练掌握.
8.【答案】D
【解析】解:如图:E,F,G,H为矩形的中点,则AH=HD=BF=CF,AE=BE=CG=DG,
在Rt△AEH与Rt△DGH中,AH=HD,AE=DG,
∴△AEH≌△DGH,
∴EH=HG,
同理,△AEH≌△DGH≌△BEF≌△CGF≌△DGH,
∴EH=HE=GF=EF,∠EHG=∠EFG,
∴四边形EFGH为菱形.
故选:D.
根据三角形的中位线定理和菱形的判定可知,顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形.
此题主要考查了菱形的判定,综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质.
9.【答案】A
【解析】解:∵反比例函数y=−a2−1x中,k=−a2−1<0,
∴该反比例函数的图象在第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,
又∵x1
先判断出函数图象在二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,再根据x1
10.【答案】D
【解析】解:设矩形的边长AB=CD=a,AD=BC=b,
∵点B在反比例函数y=3x的图象上,
∴B(3b,b),
∴OC=3b,
∵点E是AD边上靠近点A的三等分点,
∴DE=23b,
∵AD//y轴,
∴△FOC∽△EDC,
∴OFED=OCDC,即OF23b=3ba,
∴OF=2a,
∴S△CDF=12CD⋅OF=12a⋅2a=1,
故选:D.
设矩形的边长AB=CD=a,AD=BC=b,即可得到B(3b,b),得到OC=3b,根据题意得到DE=23b,通过证得△FOC∽△EDC,求得OF=2a,然后根据三角形面积公式即可求得.
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,三角形相似的判定和性质,三角形的面积等,表示出OF的长是解题的关键.
11.【答案】12
【解析】解:设旗杆高为x米,
根据题意得,1.52=x16,
解得:x=12,
故答案为:12.
设旗杆高为x米,根据同时同地物高与影长成正比列出比例式,求解即可.
本题主要考查同一时刻物高和影长成正比,考查利用所学知识解决实际问题的能力.
12.【答案】3
【解析】解:在△ABC中,∠BAC=90°,
∵BD=DC,
∴AD是斜边BC的中线.
又∵BC=6,
∴AD=12BC=3.
故答案为:3.
由“在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半”进行解答.
本题主要考查了直角三角形斜边上的中线,在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.(即直角三角形的外心位于斜边的中点).
13.【答案】∠BAC=∠D或ACDE=BCAE或DA//BC(答案不唯一)
【解析】解:∵DE⊥AB,AC⊥CB,
∴∠C=∠AED=90°,
故只需要增加一组角对应相等即可,
可添加∠BAC=∠D,
此时△ABC∽△DAE,
也可添加∠B=∠EAD,或ACDE=BCAE或DA//BC都可以,
故答案为:∠BAC=∠D或ACDE=BCAE或DA//BC(答案不唯一).
根据三角形相似的判定方法可再添加一组角对应相等,或添加∠AED和∠ACB的两边对应成比例,或添加DA//BC.
本题主要考查三角形相似的判定,掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
14.【答案】125
【解析】解:连接OP,如图,
∵矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,
∴S矩形ABCD=AB⋅BC=12,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AC= AB2+BC2=5,
∴S△AOD=14S矩形ABCD=3,OA=OB=52,
∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OB⋅PF=12OA(PE+PF)=12×52×(PE+PF)=3,
∴PE+PF=125,
故答案为:125.
首先连接OP.由矩形ABCD的两边AB=3,BC=4,可求得OA=OB,S△AOD=14S矩形ABCD=3,然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=12OA⋅PE+12OB⋅PF=12OA(PE+PF)=12×52×(PE+PF)=3,求得答案.
此题考查了矩形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.
15.【答案】①②③
【解析】解:设DF=x,则AF=3x,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠D=∠C=∠ABC=90°,AD=CD=BC=AB=4x,
∴DE=CE=12CD=2x,
∴DFDE=CEBC=12,
∴△DEF∽△CBE;
故①正确;
∵△DEF∽△CBE,
∴EFBE=CEBC=12,∠FED=∠EBC,
∵∠CEB+∠EBC=90°,
∴∠FED+∠CEB=90°,
∴∠FEB=90°,
∴∠FEB=∠C,
∴△FEB∽△ECB,
∴∠FBE=∠EBC,
∵EG⊥BF,
∴∠EHB=90°,
在△HBE和△CBE中,
∠EHB=∠C∠HBE=∠CBEBE=BE,
∴△HBE≌△CBE(AAS),
∴BC=BH,CE=HE,
∴AB=BH,
在Rt△ABG和Rt△HBG中,
BG=BGAB=BH,
∴Rt△ABG≌Rt△HBG(HL),
∴∠ABG=∠HBG,AG=GH,
∴∠EBG=∠HBG+∠HBE=12∠ABC=12×90°=45°;
故②正确;
∵△HBE≌△CBE,
∴HE=CE,
∵DE=CE,
∴DE=EH,
在Rt△DEF和Rt△HEF中,
EF=EFDE=HE,
∴Rt△DEF≌Rt△HEF(HL),
∴DF=FH,
∵∠FGH=∠EGD,∠FHG=∠GDE=90°,
∴△FHG∽△EDG,
∴GHDG=FHDE,
∴AGDG=DFDE=12,
∴AGAD=13,
∴AD=3AG.
故③正确.
故答案为:①②③.
设DF=x,则AF=3x,由正方形的性质得出∠A=∠D=∠C=∠ABC=90°,AD=CD=BC=AB=4x,可得出DFDE=CEBC=12,则可得出①正确;证明△HBE≌△CBE(AAS),由全等三角形的性质得出BC=BH,CE=HE,证明Rt△ABG≌Rt△HBG(HL),得出∠ABG=∠HBG,则可得出②正确;证明Rt△DEF≌Rt△HEF(HL),由全等三角形的性质得出DF=FH,证明△FHG∽△EDG,由相似三角形的性质可得出③正确.
本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定与性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题.
16.【答案】解:(1)设矩形的面积为k,则a=kb,
把(12,3)代入得:
3= k12,
解得k=36,
∴a=36b(b>0);
(2)当a=b时,
b=36b,
解得b=6或b=−6(舍去),
∴a=b=6,
∵2(a+b)=24,
∴矩形的周长为24.
【解析】(1)用待定系数法即可得到答案;
(2)结合(1),令a=b解出a,b的值,可得矩形的周长.
本题考查反比例函数的应用,解题的关键是掌握待定系数法求出函数解析式.
17.【答案】14
【解析】解:(1)由题意可知:王老师被分到B组的概率是14.
故答案为:14;
(2)列表:
∴李老师和王老师被分配到同一个组的概率为:416=14.
(1)利用概率公式求解即可;
(2)利用列表法求解即可.
本题考查简单概率公式,列表法求概率,解题的关键是理解题意,掌握简单概率公式,列表法求概率.
18.【答案】解:(1)设从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为x,
依题意得:150(1+x)2=384,
解得:x1=0.56=67%,x2=−3.56(不符合题意,舍去),
答:从2月份到4月份,该厂家口罩产量的平均月增长率为56%;
(2)由(1)得:384×(1+56%)=599.04(万只),
∵600万只>599.04万只,
∴5月份平均日产量不能超过600万只.
【解析】(1)观察函数图象,找出该厂家2月及4月的口罩产量,再利用该厂家4月份的口罩产量=该厂家2月份的口罩产量×(1+增长率)2,即可得出关于x的一元二次方程,此题得解;
(2)利用(1)中所求增长率,进而得出答案.
本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
19.【答案】解:(1)如图,▱OPEF即为所求;
(2)如图,过点O作OG⊥EF的延长线于点G,
则OG的长度即为OP与EF的距离,
∵OP//EF,
∴∠OFG=∠AOB=30°,
∵OF=5,
∴OG=12OF=52,
即OP与EF的距离为52.
【解析】(1)根据平行四边形的判定即可用尺规作图法作出▱OPEF;
(2)结合(1)根据∠AOB=30°,OF=5,即可求OP与EF的距离.
本题考查了平行四边形的判定与性质,含30度角的直角三角形,解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质.
20.【答案】解:∵x2−9x+20=0可化为(x−4)(x−5)=0,
∴x−4=0或x−5=0,x1=4,x2=5,
当菱形边长是4时,
∵4+4=8,
∴不能组成三角形;
∴该菱形的边长是5,
如图,连接AC,交BD于点O,
菱形ABCD中,
∵AC⊥BD,OD=12BD=4,
∴OA= AD2−OD2= 52−42=3,
∴AC=2OA=6,
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×6×8=24.
【解析】先利用解一元二次方程−因式分解法,求出x1=4,x2=5,然后利用三角形的三边关系进行判断,再利用菱形的性质及勾股定理即可解答.
本题考查了菱形的性质,解一元二次方程−因式分解法,一元二次方程的解,准确熟练地进行计算是解题的关键.
21.【答案】解:(1)存在,理由如下:
假设存在某一时刻t,使DE//AB,
∴CDCA=CECB,
∵AC=6,BC=8,CD=t,CE=8−2t,
∴t6=8−2t8,
∴t=125,符合题意(t最大为8÷2=4秒),
∴存在某一时刻t=125秒,使DE//AB;
(2)设运动t秒时,S=18S△ABC,
根据图示可知,S=S△ACE−S△DCE=18S△ABC,
∵S△ABC=12AC⋅CB=12×6×8=24平方厘米,
S△ACE=12AC⋅CE=12×6×(8−2t)=(24−6t)平方厘米,
S△DCE=12CD⋅CE=12t(8−2t)=(4t−t2)平方厘米,
∴S=(24−6t)−(4t−t2)=24−6t−4t+t2=(t2−10t+24)平方厘米,
∴S=18S△ABC,
∴t2−10t+24=18×24,
解一元二次方程得:t1=7,t2=3,
∵点E到达点C时,点D同时停止运动,在整个运动过程中0≤t≤4,
∴t=3秒符合题意,
∴此时CD=3(cm),
∴CD=3cm时,S=18S△ABC.
【解析】(1)通过三角形内平行线分线段成比例,列式计算,再判断得到的t值是否符合题意,来判断即可;
(2)设运动时间为t时,△ADE的面积为S=S△ACE−S△DCE=18S△ABC,计算t的值,再判断值是否符合题意.
本题考查了一元二次方程的应用,动态几何问题,解题的关键是读懂题意,掌握运动的整个过程,利用一元二次方程解决问题.
22.【答案】AF=AE
【解析】解:(1)AE=AF,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=90°,AB=AD,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∴△EAB≌△FAD(ASA),
∴AF=AE,
故答案为:AF=AE;
(2)2AF=3AE,
证明:∵四边形ABCD是矩形,
∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°,
∴∠FAD+∠FAB=90°,
∵AF⊥AE,
∴∠EAF=90°,
∴∠EAB+∠FAB=90°,
∴∠EAB=∠FAD,
∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=180°−∠ABC=180°−90°=90°,
∴∠ABE=∠ADF.
∴△ABE∽△ADF,
∴ABAD=AEAF,
∵AD=32AB,
∴ABAD=23,
∴AEAF=23,
∴2AF=3AE;
(3)∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=AD,AD//BC,
∵AE⊥BC,
∴AE⊥AD,
∵∠ABC=60°,
∴∠BAE=30°,
∵AF⊥AB,
∴∠BAF=∠EAD=90°,
∴∠BAE=90°−∠EAF=∠DAF=30°,
∵FD⊥AD,DF=1,
∴AF=2DF=2,
∴AD=AB= 3DF= 3,
在Rt△ABF中,根据勾股定理得:
BF= AB2+AF2= 3+4= 7,
∴ABBF= 3 7= 217.
(1)证明△EAB≌△FAD(ASA),由全等三角形的性质得出AF=AE;
(2)证明△ABE∽△ADF,由相似三角形的性质则可得出结论;
(3)根据菱形的性质和∠ABC=60°,得∠BAE=30°,然后根据含30度角的直角三角形求出AD,AF的值,再利用勾股定理求出BF,进而可得结论.
本题是四边形综合题,考查了全等三角形的判定与性质,正方形的性质,矩形的性质,菱形的性质,相似三角形的判定与性质,勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
23.【答案】(1)解:延长BA交y轴于H,
∵双曲线y=4x经过点A,
∴矩形AHOD的面积为4,
∵点B在双曲线y=4+kx上,
∴矩形HOCB的面积为4+k,
∴4+8=4+k,
∴k=8;
(2)解:设A(m,4m),则B(3m,4m),E(3m,43m),
∴△ABE的面积为12AB⋅BE=12⋅2m⋅83m=83,
∵△ABF的面积为4,
∴△BEF的面积为4−83=43;
(3)证明:∵△BEF的面积为4−83=43,
∴12⋅83m⋅CF=43,
∴CF=m,
∵点G与点O关于点C对称,
∴CG=OC=3m,
∴FG=CG−CF=2m,
∴AB=FG,
∵AB//FG,
∴四边形AFGB为平行四边形.
【解析】(1)延长BA交y轴于H,根据反比例函数k的几何意义可得4+8=4+k,即可得出答案;
(2)设A(m,4m),则B(3m,4m),E(3m,43m),利用m的代数式表示AB,BE的长,从而得出△ABE的面积,再根据△ABF的面积是矩形ABCD面积的一半可得答案;
(3)利用△BEF的面积表示出CF的长,从而得出FG的长,根据AB//FG,AB=FG,即可证明结论.
本题是反比例函数综合题,主要考查了反比例函数中k的几何意义,图象上点的坐标的特征,平行四边形的判定等知识,利用坐标表示线段的长是解题的关键.
2023-2024学年广东省揭阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2023-2024学年广东省揭阳市九年级(上)期末数学试卷(含解析),共18页。试卷主要包含了选择题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市揭西县重点中学九年级(上)期末数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年广东省揭阳市揭西县重点中学九年级(上)期末数学试卷(含解析),共22页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省揭阳市揭西县五经富中学八年级(下)期中数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年广东省揭阳市揭西县五经富中学八年级(下)期中数学试卷(含解析),共17页。试卷主要包含了选择题,填空题,计算题,解答题等内容,欢迎下载使用。